具有射影向量场的近Ricci-Bourguignon孤立子

摘要： 用几何分析的方法， 研究具有射影向量场的近Ricci-Bourguignon孤立子. 首先， 证明势向量场是射影向量场的近Ricci-Bourguignon孤立子的Cotton张量场为零， Bach张量场散度自由， Ricci张量场是共形Killing张量场; 其次， 证明势向量场为射影向量场的K-切触近Ricci-Bourguignon孤立子是Einstein流形.

关键词： 近Ricci-Bourguignon孤立子; 射影向量场; 共形Killing; K-切触

中图分类号： O186.12""文献标志码： A""文章编号： 1671-5489（2024）06-1359-04

Ricci-Bourguignon Almost Solitons with "Projective Vector Field

ZHANG Xiaoli， LIU Jiancheng

（College of Mathematics and Statistics， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： By using the method of geometric analysis， we study Ricci-Bourguignon almost solitons with projective vector field.

Firstly， if the potential vector field is projective one， we prove that the Ricci-Bourguignon almost solitons have vanishing Cotton tensor field， divergence-free Bach tensor field and Ricci tensor field is

conformal Killing tensor field. Secondly， "we prove the K-contact Ricci-Bourguignon almost soliton whose potential vector field is a projective vector field is an Einstein mainfold.

Keywords： Ricci-Bourguignon almost soliton; projective vector field; conformal Killing; K-contact

1"引言及主要结果

设（Mn，g）是n维Riemann流形， n≥3. 若Mn上存在光滑向量场V， 光滑函数λ和常数ρ， 使得Ric+12LVg-ρRg=λg，（1）则（Mn，g）称为近Ricci-Bourguignon孤立子（简称近RB孤立子）， 记为（M，g，V，λ，ρ）^［1］， 其中Ric，R分别表示Mn的Ricci曲率张量场和数量曲率， LVg表示度量g沿V方向的Lie导数.

特别地， 当ρ=0时， 方程（1）即为近Ricci孤立子方程.

若在（Mn，g）上存在光滑函数σ， 使得LVg=2σg成立， 则称V是共形向量场. 特别地， 当σ=0时， 称V是Killing向量场.

在（Mn，g）上定义一个（1，2）-型张量场LV： X（M）×X（M）→X（M）， 使得

LV（Y，Z）=LV（YZ）-Y（LVZ）-［V，Y］Z，

其中X（M）表示流形M上的全体光滑向量场， Y，Z∈X（M）. 若存在1-形式P， 使得向量场V满足（LV）（X，Y）=P（X）Y+P（Y）X，（2）则势向量场V称为射影向量场^［2］. 特别地， 若P=0， 则称V是仿射Killing的. 射影向量场是Killing向量场和仿射Killing向量场的推广.

文献［1］首次提出了近RB孤立子的概念， 证明了： 如果近RB孤立子的势向量场V是一个非平凡的共形向量场， 则R和λ-σ是常数； 对于紧致的近RB孤立子， 如果势向量场V是一个非平凡的共形向量场， 则孤立子等距于欧氏球面. 自Sharma^［3］研究了切触流形上的Ricci孤立子以来， 关于切触流形的研究目前也取得了一些成果^［4-5］.

受上述工作的启发， 本文将文献［6］中近Ricci孤立子情形下的定理1和定理4推广到近RB孤立子的情形， 得到如下结果.

定理1"设（Mn，g，V，λ，ρ）是近RB孤立子， 如果势向量场V是射影向量场， 则：

1） Mn的Cotton张量场为零;

2） Mn的Bach张量场散度自由;

3） Mn的Ricci张量场Ric是共形Killing张量场， Ric-2Rn+2g是Killing张量场.

定理2"设（M^2m+1，g，V，λ，ρ）是K-切触近RB

孤立子， 如果势向量场V是射影向量场， 则（M^2m+1，g）是Einstein流形.

2"预备知识

如果在Riemann流形（Mn，g）上存在1-形式k， 使得二阶对称张量T满足

（XT）（Y，Z）+（YT）（Z，X）+（ZT）（X，Y）=k（X）g（Y，Z）+k（Y）g（Z，X）+k（Z）g（X，Y），（3）

则T称为二阶共形Killing张量场^［7］. 当k=0时， 称T是一个Killing张量场.

在（Mn，g）上选取局部标准正交标架场{ei}， 用Rijkl，Rij，R分别表示Mn的Riemann曲率张量的分量、 Ricci曲率张量的

分量和数量曲率， 则Weyl张量场W^［8］可局部地表示为

Wijkl=Rijkl-1n-2（Rjkgil-Rikgjl+gjkRil-gikRjl）+1（n-1）（n-2）（gjkg

il-gikgjl）.

二阶无迹对称Bach张量场B^［9］可局部地表示为

Bij=1n-1klWiklj+1n-2RklWiklj.类似地， 由文献［10］可知， Riemann流形上的Cotton张量场C可局部地表示为

Cijk=iRjk-jRik-12（n-1）（gjkiR-gikjR）.

文献［11］证明了Cotton张量场C与Weyl张量场W和Bach张量场B的如下关系：

Cijk=-n-2n-3∑llWijkl，""∑jjBij=n-4（n-2）2∑j，kCijkRjk.（4）

设Mn是一个n=2m+1维的光滑流形， 若该流形上存在一个（1，1）-型张量场∅、 向量场ξ及1-形式η， 满足∅2=-I+ηξ，""η（ξ）=1，（5）

则称三元组（∅，ξ，η）是一个近切触结构. 由式（5）易见∅ξ=0， η∅=0. 赋予近切触结构的流形称为近切触流形. 如果近切触流形上存在Riemann度量g， 满足

g（∅X，∅Y）=g（X，Y）-η（X）η（Y），（6）

则g称为Mn上的相容度量. 赋予相容度量的近切触流形称为近切触度量流形. 在式（6）中令Y=ξ， 可得g（X，ξ）=η（X）.

进一步， 定义一个斜对称张量Φ， 使得Φ（X，Y）=g（X，∅Y）=-g（∅X，Y）. 如果dη=Φ， 则η即为一个切触形式， 即η∧（dη）n≠0， 此时Mn称为切触度量流形. 特别地， 当ξ是Killing向量场时， Mn称为K-切触度量流形， 此时有如下等式成立：

Xξ=-∅X，（7）Ric（ξ，X）=2mg（ξ，X）.（8）

3"主要结果的证明

3.1"定理1的证明

由文献［2］知， 关于任意切向量场X，Y和势向量场V， 有

（LVXg-XLVg-［V，X］

g）（Y，Z）=-g（（LV）（X，

Y），Z）-g（（LV）（X，Z），Y）.（9）

将近RB孤立子方程（1）和射影向量场满足的方程（2）代入式（9）， 得

-2（XRic）（Y，Z）+ "2X（λ+ρR）g（Y，Z）

= "g（P（X）Y+P（Y）X，Z

）+g（P（X）Z+P（Z）X，Y）.（10）

利用Ricci算子Q的定义式Ric（X，Y）=g（QX，Y）， 式（10）可改写为

-2（XQ）Y+2（Xλ）Y+2ρ（XR）Y=2P（X）Y+P（Y）X+g（X，Y），（11）

其中是使得g（，X）=P（X）成立的向量场.

设{ei}是Mn上的一个局部标准正交标架场， 在式（11）中令Y=ei， 并与ei做内积， 再关于i求和得

∑ni=1（-2g（（XQ）ei，ei）+2（Xλ）g

（ei，ei）+2ρ（XR）g（ei，ei））

=""""""""""""∑ni=1（2P（X）g（e

i，ei）+2P（ei）g（X，ei））.

注意到

∑ni=1g（Qei，ei）=R，

P（ei）g（X，ei）=P（X），

由向量场X的任意性， 得

ndλ+（ρn-1）dR=（n+1）P，（12）

其中d为外微分算子. 同理， 在式（11）中令X=ei， 再关于i求和， 并由Y的任意性知

2dλ+（2ρ-1）dR=（n+3）P.（13）

结合式（12），（13）可得

P=2-n（n-1）（n+2）dR，""dλ=2（n-1）（n+2）-ρdR.（14）

将式（14）代入式（11）， 得

（XQ）Y=1（n-1）（n+2）n（XR）Y+（n-2）2

（（YR）X+g（X，Y）R），（15）

其中R为数量曲率R的梯度. 关于X，Y反对称化作用式（15）， 得

（YQ）X=1（n-1）（n+2）n（YR）X+（n-2）2

（（XR）Y+g（X，Y）R），

从而

（XQ）Y-（YQ）X=12（n-1）

（（XR）Y-（YR）X）.（16）

于是Cotton张量场C可表示为

C（X，Y，Z）=（XQ）Y-（YQ）X-12（n-1）（（XR）Y-（YR）X）=0.

结论1）得证. 从而由式（4）可知当Cotton张量场C为零时， div B=0. 结论2）得证. 最后， 由式（15）可得

（XRic）（Y，Z）+ "（YRic

）（Z，X）+（ZRic）（X，Y）

= "2n+2（（XR）g（Y，Z）+（YR）g

（X，Z）+（ZR）g（X，Y）），（17）

再由式（3）可知Ric是共形Killing的. 此外， 式（17）也可以写为

XRic-2Rn+2g（Y

，Z）+YRic-2Rn+2g（Z，X）

+ZRic-2Rn+2g（X，Y）=0，

从而Ric-2Rn+2g是Killing的. 定理1证毕.

3.2"定理2的证明

在K-切触度量流形中， ξ是Killing的， 所以LξQ=0， 于是

（LξQ）X=LξQX-Q

（LξX）=ξQX-QXξ-

Q（ξX-Xξ）=（ξQ）X-QX

ξ+QXξ，

从而

（ξQ）X=QXξ-QXξ.（18）

将式（7）代入式（18）得

ξQ=Q∅-∅Q.（19）

在式（16）中令Y=ξ， 由于ξ是Killing的， 因此ξR=0， 从而式（16）可化为

（XQ）ξ-（ξQ）X=14m

（XR）ξ.（20）

根据Ricci算子Q的定义， 式（8）可改写为Qξ=2mξ. 对该式沿X方向求协变导数， 并利用式（8）可得

（XQ）ξ=Q∅X-2m∅X.（21）

整理式（19）～（21）， 得

∅QX-2m∅X=14m（XR）ξ.（22）

用∅作用式（22）并利用式（5），（8）可得QX=2mX， 即（M^2m+1，g）是Einstein流形. 定理2证毕.

参考文献

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2019， 57（6）： 1403-1406. （CHEN J R， LIU J C. Rigidity of Complete Non-compact Gradient Expanding Ricci Solitons ［J］.

Journal of Jilin University （Science Edition）， 2019， 57（6）： 1403-1406.）

（责任编辑： 赵立芹）