一维反转对称组合光子晶体结构界面态的可调性

摘要： 通过电磁波在介质中的传播， 以及介质与介质界面处电场和磁场的切线分量的连续条件， 分别给出光在介质中传播的传输矩阵以及光在介质界面处的匹配矩阵， 从而得到组合结构光子晶体总的传输矩阵， 并给出其反射率. 在此基础上， 研究具有反转对称组合结构为（ABA）N（BAB）M的光子晶体界面态， 改变介质A的折射率系数na0、 参数e， 厚度da和周期数N与介质B（葡萄糖溶液）的质量浓度、 温度、 厚度db和周期数M以及入射角的大小， 给出界面态的位置和峰值大小随参数的变化曲线， 并研究葡萄糖溶液质量浓度对组合结构PC1+PC2+PC1和PC1+PC2+PC1+PC2+PC1多个界面态的影响. 数值计算结果表明， 当改变葡萄糖质量浓度时， 可改变界面态的位置和峰值大小， 从而实现对界面态的调节.

关键词： 光子带隙材料; 传输矩阵; 匹配矩阵; 界面态

中图分类号： O436""文献标志码： A""文章编号： 1671-5489（2024）06-1455-09

Tunability of Interfacial States of One-Dimensional InvertedSymmetric Combined Photonic Crystal Structures

LIU Xiaojing1， ABUDUSAIMAITI Yimiti1， ZHAO Dongxu1，ZHAO Ruoqin1， LI Hong2， ZHANG Siqi2， MA Ji3

（1. College of Physics， Jilin Normal University， Siping 136000， Jilin Province， China;

2. School of Data Science and Artificial Intelligence， Jilin Engineering Normal University， Changchun 130052， China;

3. College of Science， Liaoning Petrochemical University， Fushun 113001， Liaoning Province， China）

Abstract： Through the propagation of electromagnetic waves in the medium and the continuous conditions of the tangential components of electric a

nd magnetic fields at the interface between the medium and the medium， we gave the transmission matrix of light propagation in the medium and the matching matrix of light at the i

nterface of the medium， respectively， so as to obtain the total transmission matrix of the combined structure photonic crystal and their reflectance. On this bas

is， we studied the inverted symmetric combined structures for （ABA）N（BAB）M photonic crystal interface states. By changing the refractive index coefficient na0， parameter e， thickness da and period number N of the medium A， as well as the mass concentration of medium B （glucose solution）， temperature， the thickness of db and

period number M， and the size of the incident angle， we gave the location of the interface state and the peak size curve along with the change of these pa

rameters， and studied the effects of the mass concentration of glucose solution on multiple interface states of combined structures PC1+PC2+PC1 and PC1+

PC2+PC1+PC2+PC1. The numerical calculation results show that the location of the interface state and peak size can be changed when the mass concentration of glucose

is changed， thereby achieving the adjustment of the interface state.

Keywords： photonic bandgap material; transmission matrix; matching matrix; interface state

光子晶体（PCs）是具有折射率、 在波长量级上周期性变化的人工微结构， 它控制光子的传播方式与半导体控制电子的运动方式类似. 当光在光子晶体中传

播时， 存在允许和禁止的频率范围， 其中被禁止的频率范围称为光子晶体带隙（PBG）^［1-2］， 它阻止特定频率的光向某些方向传播， 与半导体中的电子带隙类似. 在光子晶体中引入点缺陷^［3-4］， 可在缺陷处产生局域态^［5-6］. 对光子晶体的研究已引起人们广泛关注^［7-10］. 由光子晶体带隙和局域化特性设计出大量的光学器件， 如Bragg散射^［11］、 滤波器^［12］、 传感器^［13］和反射器^［14］， 光子晶体在激光应用、 光通信和光电子电路等领域应用广泛^［15-19］. 在光子晶体能带图中， 若两条能带相交， 且在相交点处色散关系为线性关系时， 则该相交点称为光子晶体的Dirac点. Dirac点具有拓扑传输和界面态等性质， 将具有对称结构的两种光子晶体拼接在一起即可产生界面态^［20-22］， 该方法称为Dirac点方法. 界面态的特点是光场强度沿垂直于光子晶体界面方向呈指数衰减分布， 一维光子晶体的界面态在光通信、 低阈值激光器、 高效反射镜和可调谐滤波等领域应用广泛.

本文通过电磁波在介质中的传播， 以及介质与介质界面处电场和磁场切线分量的连续条件， 分别给出光在介质中传播的传输矩阵， 以及光在介质界面处的匹配矩阵，

从而得到组合结构光子晶体总的传输矩阵， 并给出其反射率. 在此基础上， 研究具有反转对称组合结构为（ABA）N （BAB）M的光子晶体界面态， 其中介质B为葡萄糖溶液， 其折射率是

葡萄糖溶液质量浓度的函数^［23］. 数值计算结果表明， 当改变葡萄糖溶液质量浓度时， 可改变界面态的位置和峰值大小， 从而实现对界面态的调节. 此外， 改变介质A的折射率系数na0、 参数e、 厚度da和周期数N与介质B的质量浓度ρ、 温度t、 厚度db和周期数M以及入射角的大小， 给出界面态的位置和峰值大小随参数的变化曲线， 所得结论可为光学器件的设计提供理论依据.

1"一维光子晶体中的传输

对于两种折射率不同的A和B介质层， 将其交替排列组成（AB）N型一维光子晶体结构， 当一束光通过一维光子晶体结构传输时， 将光的传输分为在介质内传输和在两种不同介质界面处的传输.

对自由电磁场， 其平面波一个解的形式为

E=E0e^{i（k·r-ωt）}，（1）

一维反转对称光子结构两种类型及其原胞示意图如图1所示. 将（ABA）N型结构光子晶体在xz平面内垂直z轴放置， 若光束在光子晶体内传播时与法线夹角为θ， 则有

k·r=kxx+kzz=kxsin θ+kzcos θ.（2）

设光束在第n层介质层中沿z轴正、 负方向传输， 将式（2）代入式（1）中得到电磁波在第n层介质中沿z轴正、 负方向传播时光波电场分别为

E+n=E+ne^{-i（ωt-knzcos θn+φ）}，（3）

E-n=E-ne^{-i（ωt+knzcos θn+φ）}，（4）

其中ω表示角频率， kn为第n层内光子晶体波矢的大小， 在第n层介质中， 电磁波在介质层内从入射处到出射处传输的传输矩阵为

E+n1E-n2

=e^{-ikndncos θn}00e^{ikndncos θn}

E+n2E-n2，（5）

令

P（kn，dn）=e^{-ikndncos θn}00e^{ikndncos θn}，（6）

则

E+n1E-n1=P（kn，dn）E+n2

E-n2，（7）

其中E+n1和E-n1分别表示在第n层光子晶体介质内入口处的入射电场和反射电场， E+n2和E-n2为第n层介质内出口处的入射电场和反射电场， dn为第n层介质的厚度， 则P（kn，dn）为光波在第n层介质的介质内部传输矩阵.

当光波在A和B两种介质之间的界面处传播时， 定义第n层介质界面处在分界面Ⅰ左侧的表面总电场和总磁场分别为En和Hn

， 第（n+1）层介质界面处在分界面Ⅰ左侧表面总电场和总磁场分别为En+1和Hn+1. 分界面Ⅰ左侧入射和反射的电场和磁场分别为E+

n，H+n，E-n，H-n， 分界面Ⅰ右侧入射和反射的电场和磁场分别为E+n+1，H+n+1，E-n+1，H-n+1. 由Maxw

ell边界条件知， 在横电（TE）波中， 介质在界面处传输时左右表面电磁场切向分量是连续的， 在分界面Ⅰ处有

En=En+1=E+n+E-n=E+n+1+E-n+1，

Hn=Hn+1=H+ncos θn-H-ncos θn=H+n+1cos θn+1-H-n+1cos θn+1.（8）

将Hi=ε0/μ0Eini代入式（8）可得

E+nnncos θn-E-nnncos θn=E+n+1nn+1cos θn+1-E-n+1nn+1cos θn+1，（9）

由式（8）和式（9）解得

E-n=12E+n+11-nn+1cos θn+1nncos θn

+12E-n+11+nn+1cos θn+1nncos θn，（10）

E+n=12E+n+11+nn+1cos θn+1nncos θ

n+12E-n+11-nn+1cos θn+1nncos θn，（11）

解得

E+n1E-n1=121+nn+1cos θ

n+1nncos θn1-nn+1cos θn+1nncos θn1-n

n+1cos θn+1nncos θn1+nn+1cos θn+1nncos θnE+n+1E-n+1=Mn→n+1E+n+1E-n+1，（12）

则光从第n层介质到第（n+1）层介质界面处的匹配矩阵为

Mn→n+1=121+nn+1cos θn+1nncos θn1-nn+1cos θn+1nncos θn1-nn+1cos θn+1nncos θ

n1+nn+1cos θn+1nncos θn，（13）

其中nn和nn+1分别表示第n层和第（n+1）层光子晶体介质的折射率.

PC1结构（图1）一维反转对称原胞的传输矩阵为

Taba=Pka，da2·Mab·P（kb，db）·

Mba·Pka，da2，（14）

PC2结构一维反转对称原胞的传输矩阵为

Tbab=Pkb，db2

·Mba·P（ka，da）·Mab·Pkb，db2.（15）

对于分别具有N，M周期的PC1和PC2组合结构PC1+PC2， 其总传输矩阵为

H=HPC1+PC2=Mυa·TN

aba·Mab·TMbab·Mbυ.（16）

2"一维光子晶体中的透射率和反射率

若式（16）的总传输矩阵为

H=H11H12H21H22，（17）

则光波通过PC1+PC2组合结构光子晶体后， 入射和透射光波的电场满足

E+0E-0=H11H12H21H22·E+N+1E-N+1.（18）

当入射区域和透射区域均为空气时， E-N+1=0， 光通过该组合结构光子晶体的反射系数r为

r=E-0E+0=H21H11，（19）

进一步得到反射率为

R=r2=H21H112.（20）

3"一维组合结构光子晶体界面态的数值分析

在图1的组合结构光子晶体结构中， 介质A为色散介质， 其折射率na=na01+eλ2， 厚度为d

a， 介质B为葡萄糖溶液， 其折射率^［23］nb=1.335 6+（1.533×10^-3）ρ-（9.0×10^-5）ρ2-（1.264 7×10^-4）t-（4.0×10^-8）t2， 其中ρ为葡萄糖溶液

的质量浓度， t为温度. 在数值计算中， 初始参数取为： 周期数N=10， M=10， ρ=30 mg/mL， t=20 ℃， 介质厚度da

=220 nm， db=10 nm， 介质A折射率系数na0=1.35， 折射率参数e=0.005 6， 入射角θ=0， 可得到图2所示的反射谱.

由图2可见， 在第2，4，6，8带隙中出现透射峰， 即界面态， 在第3，5，7带隙中未出现界面态. 下面以图2中第3个界面态为例， 研究各参数变化对界面态的影响.

葡萄糖溶液温度对界面态的影响如图3所示， 其中（A）～（C）对应的温度分别为20，25，30 ℃， 其他参数均为初始值， 由图3可见， 温度对界面态的位置和峰值大小影响较小.

葡萄糖溶液质量浓度对界面的影响如图4所示， 其中（A）～（F）对应的葡萄糖溶液质量浓度分别为20，30，40，50，60，70 mg/mL， 其他参数均为初始值. 由图4可见， 随着葡萄

糖溶液质量浓度的增加， 界面态的位置向右移动即蓝移， 且界面态的峰值变小. 因此， 通过改变葡萄糖溶液质量浓度即可实现对界面态的调节.

折射率参数e对界面的影响如图5所示， 其中（A）～（C）对应的参数e分别为0.005 6，0.005 3，0.005 0， 其他参数均为初始值. 由图5可见， 随着e的变小， 界面态位置向右移动， 峰值基本不变.

因此， 通过改变参数e可实现界面态位置的调整.

介质A折射率系数对界面态的影响如图6所示， 其中（A）～（C）对应的na0分别为1.35，1.37，1.39， 其他参数均为初始值. 由图6可见， 随着折射率系数的变大， 界面态位置向左移动， 峰值基本不变. 因此， 通过改变介质A折射率的系数变化， 可实现界面态位置的调整.

介质A厚度对界面态的影响如图7所示， 其中（A）～（C）对应的da值分别为220，222，224 nm， 其他参数均为初始值. 由图7可见， 随着da的变大， 界面态位置向左移动， 峰值基本不变. 因此， 通过改变介质A的厚度可实现界面态位置的调整.

介质B厚度对界面态的影响如图8所示， 其中（A）～（C）对应的db值分别为10，12，14 nm， 其他参数均为初始值. 由图8可见， 随着db的变大， 界面态位置向左移动， 峰值变小. 因此， 通过改变介质B的厚度可实现界面态位置和峰值的调整.

周期数M对界面态的影响如图9所示， 其中（A）～（C）对应的周期数M分别为10，11，12， 其他参数均为初始值. 由图9可见， 随着M的变大， 界面态位置基本不变， 但峰值变小. 因此， 通过改变周期数M可实现界面态峰值的调整.

周期数N对界面态的影响如图10所示， 其中（A）～（C）对应的周期数N分别为10，11，12， 其他参数均为初始值， 由图10可见， 随着N的变大， 界面态位置不变， 但峰值变小. 因此， 通过改变周期数N可实现界面态峰值的调整.

入射角对界面态的影响如图11所示， 其中（A）～（E）对应的入射角分别为0°，10°，20°，30°，40°， 其他参数均为初始值. 由图11可见， 随着入射角的变大， 界面态向右移动， 峰值变化较小. 因此， 通过改变入射角可实现界面态位置的调整.

葡萄糖溶液质量浓度对组合结构为PC1+PC2+PC1多个界面态的影响如图12所示， 其中（A）～（D）对应的葡萄糖溶液质量浓度分别为20，50，70，80 mg/mL. 在PC1光子晶体中介质A的厚度da/2=15 nm， 介质B的厚度db=20 nm， 在PC2光子晶体中介质A的厚度da=30 nm， 介质B的厚度db/2=10 nm， 介质A折射率系数na0=1.55， 其他参数均为初始值. 由图12可见， 该结构出现2个界面态， 随着葡萄糖溶液质量浓度的增加， 界面态的位置向右移动即蓝移， 且界面态的峰值变小， 界面态之间的距离变小. 因此通过改变葡萄糖溶液质量浓度即可实现对多个界面态的调节.

葡萄糖溶液质量浓度对组合结构为PC1+PC2+PC1+PC2+PC1多个界面态的影响如图13所示， 其中（A）～（D）对应的葡萄糖溶液质量浓度分别为20，50，70，80 mg/mL. 在PC1光子晶体中介质A的厚度da=15 nm， 介质B的厚度db=20 nm， 在PC2光子晶体中介质A的厚度da=30 nm， 介质B的厚度db=10 nm， 介质A折射率系数na0=1.55， 其他参数均为初始值. 由图13可见， 该结构出现4个界面态， 随着葡萄糖溶液质量浓度的增加， 界面态的位置向右移动即蓝移， 且界面态的峰值变小， 界面态之间的距离变小. 因此， 通过改变葡萄糖溶液质量浓度即可实现对多个界面态的调节.

综上， 本文基于传输矩阵法计算了一维反转对称组合结构的反射率， 在此基础上研究了组合结构（ABA）N（BAB）M的光子晶体界面态， 并研究了葡萄糖溶液质量浓度对组合结构PC1+PC2+PC1和PC1+PC2+PC1+PC2+PC1多个界面态的影响. 数值计算结果表明： 随着葡萄糖溶液质量浓度的增加， 界面态的位置向右移动即蓝移， 且界面态的峰值变小， 因此通过改变葡萄糖溶液质量浓度即可实现对界面态的调节; 随着介质A折射率参数e的变小， 界面态位置向右移动， 峰值基本不变; 随着折射率系数na0的变大， 界面态位置向左移动， 但峰值基本不变; 随着介质A和B厚度da和db的变大， 界面态位置向左移动， 峰值基本不变; 随着周期数M和N的变大， 界面态位置不变， 但峰值变小; 随着入射角的变大， 界面态向右移动， 峰值变化较小. 因此， 通过改变以上参数即可实现界面态位置和峰值的调节. 所得结论可为光学器件的设计提供理论依据.

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（责任编辑： 王"健）