锤炼数学语言 提升“疑思”品质——以“用字母表示数”一课为例

江苏省海安市教师发展中心附属小学 张春新

谢小庆教授的《终身成长：创新教育新思维》中谈道，国际教育界已经形成共识：教育最重要的任务之一是发展学生的审辩式思维，审辩式思维是最值得期许的、最核心的教育成果。审辩式思维是创新型人才最重要的心理特征。什么是审辩式思维？最简答的回答是不懈质疑、包容异见、力行担责。如此想来，鼓励学生敢疑、会疑、善疑、好思、多思、深思，实行“疑思双向共振”的疑思学习就是培养学生审辩式思维的良好途径。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出：数学教学要立足学生核心素养发展，体现数学育人价值，在教学中促进学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。如何在立足核心素养培养的基础上促进疑思学习呢？下面，笔者以“用字母表示数”一课为例来谈谈自己的尝试。

一、激趣中生疑——以“问” 引思

教学片段1：

师：关于用字母表示数，你已经知道了什么？

生1：我知道了长方形的面积=长×宽，可以用S=a×b表示。

生2：我知道了乘法交换律可以用a×b=b×a表示。

生3：我知道了三角形的面积可以用S=a×h÷2表示。

师：学习“用字母表示数”，你想知道什么？

生1：我们为什么要学习用字母表示数。

生2：用字母表示数，字母可以表示什么数。

生3：怎样用字母表示数。

生4：我想知道用字母表示数有什么好处。

生5：我想知道用字母表示数，这些数有没有什么特殊要求。

师（板书学生的问题）：大家的问题，概括起来就是“为什么要学习用字母表示数？用字母可以表示哪些数？怎样用字母表示数？”今天我们一起来从这三个方面感悟。

解读：通过了解学生关于用字母表示数的先备知识，一是调动学生学习的兴趣，二是在正视学生已有经验的基础上，在后续教学中注重新旧知识的意义建构。乔治·波利亚在其著作《数学的发现》中指出，假如学生在问题的提出过程中起过作用，则其在后续学习中就必然更加主动积极。2011年版课标和2022年版课标在“课程总目标”中均明确提出了要培养学生积极主动发现问题、提出问题的意识和能力。如何让学生学会提出有价值的问题，激发学生探究的兴趣？教师通过平时对学生提问方法的指导，让学生在接触刚学习的新知识时，已不再是跟在教师后面亦步亦趋地学习，而是先从“为什么”“是什么”“怎么做”这三个方面提问，然后顺着这些问题，去学习、思考、探究，看看能不能解决。这时，学生对后面将要探究什么有着明确的目标，就能主动、持续地参与学习。同时，学生的问题既是知识本身的建构，又是思维的建构。

二、探究中解疑——以“问”促思

教学片段2：

师（出示一个储蓄罐，放入一把硬币）:储蓄罐里有几枚硬币，你知道吗？

生：不知道。

师：可以怎样表示里面的硬币数呢？

生1：用字母a表示。

生2：用字母x表示。

生3：用三角形表示。

……

师：字母、图形、符号都可以用来表示储蓄罐里未知的硬币数，通常我们可以用字母来表示一个未知数。（板书：字母→未知数）字母除了可以表示未知数，还可以表示怎样的数呢？

（课件出示一个“储蓄罐”）

屏幕演示，学生观察：放入1枚硬币，出来2枚硬币；放入2枚硬币，出来4枚硬币；放入3枚硬币，出来6枚硬币……

师：发现储蓄罐的魔力了吗？如果继续变下去，放入4枚硬币，会出来几枚硬币？再变下去，会有很多很多。那你能用一种方法把储蓄罐的魔力表示出来，让其他不知道这个魔力的人也能一眼看出这个储蓄罐的神奇之处吗?

生1：我发现了，出来硬币的枚数始终是进去硬币枚数的2倍。进去硬币的枚数×2=出来硬币的枚数。

生2：进去硬币的枚数用字母a表示，出来硬币的枚数就用a×2表示。

师：这里的a可以表示哪些数？

生1：a可以表示任意的数，可以是3、5、50等。

生2：我觉得a有一定的范围，不可能表示特别大的数，如1000、10000，否则储蓄罐放不下。

师：你们同意吗？

生3：同意，储蓄罐的容量是有限的，所以表示的数也是有限的。

师：谁来完整地把他们的意思表达出来？

生4：这里的a可以表示任意数，可以是4、5、70等，但有一定范围，因为储蓄罐的容量是有限的。

（板书：任意数、范围）

师：a×2表示什么意思？

生：输出硬币的枚数。

师：字母式可以表示具体的数量。其中什么变，什么不变呢？

生2：不管a表示的数如何变，出来的硬币钱数始终是a×2，出来硬币的枚数始终是a的两倍，出来硬币的枚数和进去硬币的枚数的关系始终是不变的。

师：可见，含有字母的式子既可以表示数量，也可以表示数量之间的关系。（板书：数量、数量关系）

师：现在，我们再回过头来想一想，字母式能表示所有出来硬币的个数及之间的关系，单纯具体的数字式能不能表示所有进去硬币的数量以及它们之间的关系呢？

生1：单纯的数字式只能表示具体的进去硬币枚数与出来硬币枚数的关系，如3×2，表示进去3枚，出来3×2枚，不能表示其他的数量关系。

师：字母式能表示所有出来硬币的枚数，以及出来硬币与进去硬币枚数的关系，你们能想一个词，表现字母式的这个特点吗？

生1：表示。

生2：包括。

生3：概括。

师：你们喜欢哪个词？

生：“概括”，字母式把所有硬币的枚数以及它们之间的关系都概括出来了，更贴切。

师：是的，这就是用字母表示数最显著的一个优点——概括。（板书：概括）

师：文字表述和字母表示，你更喜欢哪一种？

生2：我更喜欢字母式，用字母式表示更简洁明了。

生3：我也更喜欢字母式。我的想法和他一样，字母式更简洁明了。

师：是的，这是用字母表示数的一个优点——简洁明了。（板书：简洁）

生4：现在我知道为什么用字母表示数了，用字母表示数能概括所有的数量以及之间的数量关系，比文字表示更简洁明了。

生5：我也知道了字母可以表示未知数、任意数，但有一定的范围。

解读：这一环节解决了学生的两个疑问，即用字母可以表示哪些数以及为什么用字母表示数。重在促进学生学会用数学的眼光去观察，用数学的思维去思考，并用数学的语言去表达。教学环节分为三个层次，第一层次，观察储蓄罐里的硬币数，并用数学的符号表示，使学生体会到字母可以表示未知数。第二层次，继续观察储蓄罐里进去硬币以及出来硬币的枚数，思考之间的关系，并用数学符号表示出来。学生尝试用字母式表示出来，在探析字母表示哪些数的过程中，在锤炼用数学语言表达的过程中，进一步全面地思考问题，知道字母可以表示任意数，但有一定范围。第三层次，在不断变化的输入硬币与输出硬币的枚数中让学生探寻不变的关系，通过与数字式的比较，让学生发现字母式的优点，并再次通过语言的锤炼，让学生感受字母式具有“概括”的优点，学会用准确贴切的数学语言表达。随后，通过文字式与字母式的比较，让学生感受到字母式“简洁”的优点。三个层次的学习，通过观察、思考、表达的不断循环，学生的数学眼光、数学思维、数学语言有机相融，学生逐步具备符号意识。

教学片段3：

生：那么怎样用字母表示数呢？

师：飞飞和妹妹玩摸硬币比多少的游戏，谁摸得多？[课件出示：飞飞摸到硬币x枚，妹妹摸到硬币（ ）枚]

师：试着写出一个含有字母的式子来表示妹妹摸到硬币的枚数，并说明两人摸硬币枚数的关系。同桌之间互相说说。

生1：妹妹摸了（x-5）枚，妹妹摸到的硬币比飞飞少5枚。

生2：妹妹摸了（x×5）枚，妹妹摸到的硬币是飞飞的5倍。

生3：妹妹摸了（x÷5）枚，飞飞摸到的硬币是妹妹的5倍。

生4：妹妹摸了（x＋5）枚，妹妹摸到的硬币比飞飞多5枚。

师：在这些含有字母的式子中，有加、减、乘、除四种运算符号，有一个符号比较特别，就是乘号，它可以简写或省略，而其他符号不能简写或省略。

师：数字和字母、字母和字母相乘，可以怎样省略呢？让我们一起看一看资料，由于内容很多、很重要，我分条出示，请同学们仔细听、认真看。

展示——阅读提示：

①字母和字母相乘，乘号可省略为“·”，也可省略不写。例如，a×b=a·b=ab。

②字母和数相乘，乘号可省略为“·”，也可省略不写，但通常数字写在字母前面。例如，a×3=3a，4×x=4x。

③相同字母相乘，如a×a，可以写成a·a，也可写成a2，读作a的平方。

师：通过自学，你看懂了什么？

师：到这儿为止，你们还有什么问题吗？

生1：为什么加、减、除的时候，运算符号都不可以简写或省略掉，偏偏碰到乘号时，可以变成一个小圆点或干脆不要呢？

生2：我知道，乘号和字母x比较像，那么x乘x，就写成（x×x）了，看起来就像三个x了，所以要变成x·x，或者直接省略不写。

学生练习：

a×d c×3 c×c a＋b y×1 y＋y b＋b＋b

（学生交流）

师：看这几道练习题，你们觉得有什么要提醒大家注意的呢？

生1：我想提醒大家注意y×1这道题，省略乘号后，1y不是最简洁的，一般写成y。

生2：我想提醒大家注意c×c，并不是去掉乘号就好了，由于两个因数都是c，可以简写成c2。

生3:我想提醒大家注意，y＋y虽然是加法，但可以简写。由于加数相同，可以写成y×2，省略乘号后为2y。我一开始没注意加数相同，想当然地认为不好简写。所以我们在练习的时候除了要注意符号，也要注意数字。

解读：这一环节分为三个层次，第一个层次是通过“飞飞和妹妹玩摸硬币比多少的游戏，谁摸得多？”这一开放性的题目，让学生从不同的角度用含有字母的式子表示妹妹摸到硬币的枚数，这是对前面用字母表示数的活学活用，同时灵活地过渡到乘法字母式写法的不同之处，从而让学生学会用字母式表示数量，并明晰它们之间的关系。第二个层次通过阅读提示，让学生通过自学，掌握省略的方法。学生通过提出疑问、讨论，逐渐明白为什么一般乘号省略不写。第三层次通过相应练习，让学生通过提醒他人，将数学语言的表达与数学思维进一步融合，通过思维促进语言的表达，通过语言的表达进一步理清思维。

三、释疑中深化——以“问”活思

教学片段4：

师：飞飞和爸爸妈妈来到了太空影院，请看座位图（见图1）。你能用含有字母的式子表示三个人的座位号吗？

生1：飞飞的座位号为a，妈妈的座位号就是a＋2，爸爸的座位号就是a－2。

生2：妈妈的座位号为a，飞飞的座位号就是a－2，爸爸的座位号就是a-4。

生3：爸爸的座位号为a，飞飞的座位号就是a＋2，妈妈的座位号就是a+4。

师：咦，怎么大家的字母式不一样呢？他们表示的字母式对吗？

生4：他们表示的字母式都是对的，是从三个不同的角度思考的，分别是把飞飞、妈妈、爸爸的座位号看作a，所对应的另外两个人的座位号就不一样。

师：大家真是爱动脑筋的孩子，能从不同的角度灵活思考相应的字母式。标准不一样了，字母式也就不一样了，其中什么是不变的呢？

生1：三个人座位号之间始终相差2。

生2：三个人座位号之间的关系是不变的。

师：对，标准不一样，字母式就不一样，但三人座位号之间的关系是不变的。

课件呈现：飞飞带了y元去文具店买学习用品，练习本每本c元，要买5本练习本。

师：请根据上述信息写出几个含有字母的式子，并说说式子所表示的意思。

生1：5c表示5本练习本一共多少元。

生2：y-5c表示买了5本练习本后还剩多少元。

生3：y÷c 表示飞飞带的钱最多可以买几本练习本。

师：5c表示5本练习本的总价，你觉得5c在生活中可以表示哪些具体的问题？

生1：一张桌子c元，5张同样的桌子5c元。

生2：小明栽了5行树苗，平均每行栽了c棵，一共栽了5c棵。

生3：同学们给贫困山区的孩子捐书，每个小组捐了c本，5个小组一共捐了5c本。

生4：小明每天体育运动c分钟，5天运动了5c分钟。

师：大家表述了这么多，5c可以表示我们生活中许许多多的具体问题。

生5：我觉得y－5c表示买了5本练习本后还剩多少元不够全面，还有一种情形，如果飞飞带的钱不够，y－5c就是还差多少元。只不过这时结果是负数。

生6：当不够时，还可以用5c－y，表示还差多少元。

师：敢于质疑并提出自己的想法，能够全面思考问题了，真不错！

解读：郑毓信教授指出，数学教育的主要目标是促进学生思维的发展，特别是应当通过数学教学帮助学生逐步学会更清晰、更全面、更合理地进行思考，并由理性思维逐步走向理性精神。在学生的疑问解决后，通过两道习题进一步深化学生的认识，活化学生的思维。第一题是用字母式表示爸爸、妈妈、飞飞三人的座位号，有三点思考：一是进一步促进学生学会用字母表示数，培养学生的符号意识；二是促进学生学会从多角度思考问题，感受到标准不同，字母式也就不同，培养学生思维的灵活性；三是让学生感受标准变了，字母式也跟着发生变化，但字母式表示的三人座位号之间的关系是不变的。第二道习题是根据所提供的信息写出几个含有字母的式子，并说说式子所表示的意思，也有三点思考：一是促进学生灵活地运用字母表示数，培养学生的符号意识；二是通过“够”与“不够”情况下语言表述的不同，培养学生全面思考问题的思维能力，以及用准确的数学语言进行表达的能力；三是通过5c可以表示生活中哪些具体的问题，组织学生将已经建构的5c模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实，使5c的数学模型得以扩充和提升，进一步深刻理解5c模型的本质。学生说出了多种用5c表示的具体生活问题，感受到生活情境变了，但是本质——数量之间的关系是不变的。在完成这两道题过程中，学生的数学眼光、数学思维、数学语言都得到了培养。数学思维的全面性促进了数学语言的表达，对数学语言的准确程度的锤炼又进一步加强了数学思维的严密性，提升了思维品质。

四、反思中再生疑——“问”中深思

师：回顾这一节课，你还有什么疑问？

生1：是不是每个国家都是用字母来表示数的？有没有什么不同呢？

生2： 是不是所有的字母都可以用来表示数？

生3：字母可以表示负数吗？

……

解读：问题意识是学生创新能力培养的关键。作为教师，教师应该在课堂中有意识地多让学生提出问题。回顾反思阶段，教师可以在学生梳理本节课的学习收获后让学生提出疑问。一是学生基于自己的学习所提出的疑问，是学生迫切想了解的，学生思考研究更为积极主动；二是促进学生在回顾梳理所学知识的过程中反思自己还有哪些不清楚的地方，启发自己和其他学生继续思考，让学生对知识的理解向深层次发展；三是促使学生课后积极主动地通过查资料、请教他人、交流讨论的方法继续深入思考，课中与课后融为一体，课已尽，思未尽。