内容结构化重组，让学习深度发生

丁伟

【摘 要】 当下，结构化教学受到普遍关注，力图解决教材分课时推进带来的碎片化问题。结构化教学的可行性策略有哪些？具体策略在结构化课堂又该怎么落实？本文立足整体视角解析教材编排结构，在学生认知基础上，通过内容重组重构教学策略，厘清结构化教学路径，力图让学生的认知思维由离散型向结构化迈进。

【关键词】内容重组 结构化教学 三角形面积 梯形面积

《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调对数学内容进行结构化整合以解决碎片化学习的问题，但在实际教学中，教师缺少整体观念，更多地关注一个课时或者具体的知识点。长此以往，学生结构化思维的形成与发展只能沦为空谈。基于对这种矛盾现象的思考，笔者对人教版数学“三角形的面积”和“梯形的面积”两节课的学科逻辑及学生学情进行深度思考，通过重组教学内容重构教学策略，厘清结构化教学的一般路径，力图让学生的认知由单一迈向多维，思维由离散型走向结构化。

一、解析教材—学科逻辑提供教学载体

人教版数学“多边形的面积”单元教材的编排路径为：平行四边形的面积—三角形的面积—梯形的面积—组合图形的面积，且每个课时配备相应的练习课。教材的分册编写与分课时推进容易让整体性变得隐蔽，从而增加学生认识平面图形面积的难度，同时弱化部分与部分的关联，不利于感悟知识的内在联系与认知方式上的共性。那么，“三角形的面积”与“梯形的面积”两节课能否进行整合教学呢？笔者将从学科逻辑的视角分两个方面进行阐述。

1. 基于学习方法的类似性

在求平行四边形的面积时，学生将平行四边形沿着高割补拼成长方形，从而得到面积计算公式。在面对三角形的面积和梯形的面積时，研究方法和平行四边形的面积类似，也是运用割补等方法。鉴于这种高度的相似性，将这两节内容相近、方法类似的探究课进行整合教学，可以大大加强学生的整体认知。

2. 基于转化思想的一致性

平面图形的面积，从平行四边形到圆都围绕着同一种数学思想方法—转化。图形特征不一样，转化路径不同，但内在的转化原理并没有改变。因此，将“三角形的面积”和“梯形的面积”两节课进行整合教学，更有利于学生体验知识内在原理的一致性，助力结构化思维的形成。

二、实证分析—学情需求决定教学走向

如何将“三角形的面积”和“梯形的面积”两节课更好地整合？这就需要对学生学情有一个清晰的了解，特别是学生在掌握了三角形的面积之后，面对梯形的面积时处于一个怎样的思维状态，以便更好地将两节课进行无缝衔接。

统计对象：全班45个学生。

提供材料：每人三个大小完全相同的梯形。

统计数据：

所选材料 操作方法 人数 百分率 推导出公式的人数 百分率

两个完全相同的梯形 拼成平行四边形 25 55.6% 7 15.6%

1个梯形 分成2个三角形 11 24.5% 2 4.4%

分成1个三角形和1个平行四边形 4 8.9% 1 2.2%

补成长方形 1 2.2% 0 0%

补成平行四边形 2 4.4% 0 0%

沿中间剪开，拼成平行四边形 0 0% 0 0%

其他 2 4.4% 0 0%

从上表中可以看出，有95.6%的学生都能主动运用转化策略推导梯形的面积计算公式。笔者通过对操作方法的统计发现，有55.6%的学生想到了用两个完全相同的梯形拼成平行四边形，这个结果表明，三角形的面积公式推导直接影响学生后续的思维方式，学生能够主动进行迁移。利用一个梯形通过分割、等积变化等方法来研究的也有少数学生，但是能够通过一个梯形正确推导出面积公式的仅有6.6%，而利用两个完全相同的梯形推导出面积公式的也只有15.6%。因此，在面积度量教学中，教师可以借助方格纸将抽象几何转变为直观几何，让学生思维的转化有具体材料支撑，进而引导学生发现转化前后图形之间的联系，克服真正的认知难点，为概念的深化建构夯实基础。

综上所述，将“三角形的面积”和“梯形的面积”两节内容相近、方法类似的课进行整合教学，不仅让学生进行整体性建构、开展系统化认知，更重要的是引导学生形成主动关联、前连后延的结构化思维。

三、内容重组—立足整体系统推进

环节一：迁移冲突—促转化策略萌芽

师：我们已经知道平行四边形的面积是通过剪拼成长方形进行探究的了，猜一猜三角形的面积应怎样研究呢。

生：跟平行四边形面积的研究方法一样，也是沿着高剪拼。

师：你说的有一定道理，但有道理不代表是真理。实践是检验真理的好方法，同学们可以动手进行验证。

（学生动手操作，沿着高剪拼三角形，教师巡视）

师：为什么研究平行四边形的方法，到了三角形这里就不行了呢？

生1：因为剪开的两个三角形边的长短不一样。

生2：剪出来的两个三角形大小不一样。

生3：剪出来的两个三角形形状也不一样。

【设计意图】概念的重建需要建立在学生自我否定的基础之上，在学生平行四边形的面积研究经验基础之上，利用负迁移探究三角形的面积，学生经历自我否定之后开始反思：剪出来的两个三角形边长不同、大小不同、形状不同。正是有了这样的思考，转化的种子才开始在学生心里萌芽。

环节二：实践操作—促转化策略生成

师：每位同学有一个印有三角形和梯形（形状、大小都不同）的透明卡片，请借助方格纸测量它们的面积（一格是1平方厘米），看看在探究的过程中有什么发现。

（学生度量三角形的面积和梯形的面积，教师巡视）

第一种方法：数方格度量

第二种方法：等积变换度量

第三种方法：翻倍度量

师：通过刚才的研究，你们有什么发现？

生1：数方格的方法是先数完整的，再把不完整的拼成完整的数。第二种方法和第三种方法都是把图形转化成熟悉的长方形或平行四边形。

生2：我发现，求面积其实就是看里面有几个面积单位，三种方法都是在数面积单位的个数，只是第一种方法是一格一格拼凑完整的，第二、第三种方法是整块拼凑完整的。

【设计意图】以方格纸作为教学的“支点”，有助于在探究三角形的面积和梯形的面积时，将抽象几何转化为直观几何。学生通过数方格、等积变换、翻倍等方法探究图形的面积，探究的生成性资源具有典型性，这种丰富感知可以帮助学生在接下来的抽象提炼中找到思维的具体支撑，也便于学生多维度、整体性地把握度量本质。

环节三：概括提炼—促转化策略生长

师：观察转化后的图形与原来的图形，你发现了什么？

生1：两个完全相同的三角形拼成的平行四边形的底就是原来三角形的底，拼成的平行四边形的高就是原来三角形的高，面积是原来三角形的两倍。

生2：两个完全相同的梯形拼成的平行四边形的底就是原来梯形的上底与下底的和，拼成的平行四边形的高就是原来梯形的高，面积是原来梯形的两倍。

师：现在你知道三角形的面积和梯形的面积分别怎样计算吗？

生1：三角形的面积就是平行四边形面积的一半，所以，三角形的面积＝底×高÷2。

生2：梯形的面积也是平行四边形面积的一半，所以，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。

【设计意图】本环节学生在运用转化方法的基础上进行抽象提炼，教师引导学生明白转化是为了更好地度量面积，面积度量的基本方法是“每行单位面积的个数×行数”。理解平面图形面积度量的本质就是计算面积单位的个数，计算面积是数方格的一种简便表达。学生从无意识应用到有意识注意，积累转化活动经验，感受面积度量本质。

四、整体认知—厘清结构化建构路径

所谓结构化，实质上是对结构的建构过程，落实在课堂教学中，要遵循知识的内在逻辑结构，通过结构化的整体设计，将学科逻辑结构高效地转化为学生的认知结构，引导学生体验知识内容背后的一致性原理，形成主动关联的结构化思维。

1. 纵向结构化—还原过程结构

纵向结构化，是指教师依据知识发生发展的逻辑顺序，让学生对教学内容载体形成整体性认知，帮助学生建立清晰的知识板块。

教材的分册编排和教学的分课时推进让概念的整体性“断裂且隐蔽”，所以，教师在教学时需要解析知识的内在结构，引导学生形成整体性的认知结构。例如，在教学“多边形的面积”单元时，教师需要对知识结构进行分析。“平行四边形的面积”是“多边形的面积”的起始课，更是思维方法的种子课，起到奠基性作用。教师需要精准发力，将“平行四边形的面积”定位于教学结构，学生通过“数方格—方法探究—归纳公式—运用公式”等过程的学习，掌握平行四边形的面積，形成完整的认知结构。然后，学生对三角形的面积、梯形的面积甚至圆的面积都可以主动迁移，理解推导过程，掌握面积公式。这样的纵向结构化教学，能够还原知识的过程结构。

2. 横向结构化—展现关系结构

横向结构化，是指教师基于数学学科本身的特点，引导学生将新知纳入原有认知结构，在系统化认知、整体性建构的基础上形成更强的结构。

教师在教学中不仅要关注知识的纵向结构，而且要关注知识点之间的横向结构。例如，人教版教材的编排是按照逻辑结构，由平行四边形的面积到三角形的面积再到梯形的面积，然而仅关注这种单向的逻辑结构显然是不够的，教师应该突破由于先后次序编排所形成的逻辑束缚，从更为广泛的角度解释概念之间的内在联系，从而真正建构起概念的整体性。

从数学本质来说，梯形的面积公式S = （a＋b）×h÷2同样适用于平行四边形和三角形。从梯形到平行四边形，图形的变化经历上底和下底相同，两条腰平行的过程，因此，利用梯形的面积公式可以推导出平行四边形的面积公式：S =（a＋a）×h÷2＝a×h；从梯形到三角形，图形的变化经历上底不断变小直至为0的过程，可以推导出三角形的面积公式：S =（0＋a）×h÷2 ＝a×h÷2。

因此，从本质上来讲，梯形的面积公式是本单元学习的三种图形（平行四边形、三角形、梯形）面积计算的一般公式。有了这样的横向结构化教学，学生的数学视角才能更加广阔。

3. 融通结构化—深化认知结构

融通结构化，是指跳出知识点的局限，形成纵横交互的学科结构体系，引导学生在迁移、生长和应用中展开学习。带着这样的视角审视转化思想，可以发现转化思想贯穿小学阶段的学习全过程，在图形转化、计算转化、解决问题转化中均有体现。

（1）图形转化

在平面图形的面积度量领域，平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积、组合图形的面积、圆的面积，乃至立体图形的表面积（长方体、正方体、圆柱、圆锥），都是将未知的、不熟悉的图形转化为已知的、规则的图形，从而度量面积。这个道理同样适用于立体图形的体积，内涵不断丰富，转化思想却是一脉相承的。

（2）计算转化

转化思想在计算教学中也是随处可见。例如，小数乘法转化为整数乘法，小数除法转化为整数除法，分数加减法通过通分将异分母分数转化为同分母分数加减法，分数除法转化为分数乘法……在计算教学领域，转化是为了更便捷地计算计数单位的个数。

（3）解决问题转化

在解决问题的教学中也贯穿着转化思想。例如，甲、乙两个数的比是3∶2，乙、丙两个数的比是7∶6，求甲、乙、丙三个数的比。解决此类问题，可以根据2和7两个数的最小公倍数，将乙转化成相同的份数，从而得出甲、乙、丙三个数的比。

教师有了这样整体融通的思维，各个学段的教学就不会被一叶障目，而是可以上串下联、整体关照。这样的教学基于知识本质，帮助学生打通课时、单元、年级的局限，深化认知结构与思维结构。

结构化教学需要打破教材固有的编排格局，重建数学教学的优化状态；需要对知识的逻辑结构、对学生的认知结构有深入分析，并以此为生长点，突破教材的课时、单元、年级的局限。通过结构化教学，“纵向结构化”还原过程结构，“横向结构化”展现关系结构，“融通结构化”深化认知结构，帮助学生形成结构化思维。结构化思维的形成并不是通过一两节课可以实现的，而是一个长期的、不断积累进而由量变到质变的过程，需要师生共同努力。

（作者单位：浙江省湖州市爱山小学教育集团）

责任编辑：赵继莹