新型两平移一转动并联机构的拓扑设计及性能分析*

2023-12-20耿宗海沈惠平杨廷力

机电工程 2023年12期

耿宗海,李菊,沈惠平,杨廷力

(常州大学现代机构学研究中心,江苏常州 213016)

0 引言

2T1R并联机构具有控制容易、制造成本较低等优点,同时具有移动和转动输出元素,因此,被广泛应用于抓取、调姿等实际生产操作领域[1-2]。但是目前有关2T1R并联机构的相关研究仍然较少。

WANG J等人[3]提出了一种Cylindrical型的2T1R并联机构模型。杨廷力等人[4]基于单开链理论的方法,提出了多种2T1R并联机构的模型。KONG X W等人[5]、杨宁等人[6]采用螺旋理论的方法,提出了2T1R并联机构的模型。REFAAT S等人[7]基于位移粒子群理论的机构分析法,综合研究了多种2T1R并联机构的构型。张彦斌等人[8]采用线性变换理论法,提出了无奇异性的2T1R并联机构的模型。吴鑫等人[9]提出了一种新型2T1R并联机构模型,并对该机构进行了运动学分析。邓嘉鸣等人[10]提出了一种无寄生运动非对称空间2T1R并联机构模型,并分析了其运动学性能。沈惠平等人[11]提出了一种具有解析式位置正解的2T1R的并联机构,并研究了其运动学性能。

已有的上述2T1R并联机构大多数耦合度不为零,且不具有部分运动解耦的特性,这使得运动学和动力学分析等方面较为复杂[12],故均缺乏对所设计机构动力学的分析。

机构动力学分析方法中的拉格朗日法[13]的特点是运用能量守衡定律建立动力学方程,其计算量较大;凯恩法[14]较简单,但其对于力和力矩的分析比较匮乏;牛顿-欧拉法[15]易求出约束反力,但对于构件较多的机构的分析较复杂。

笔者运用基于虚功原理的序单开链法[16]进行动力学建模分析,以子运动链(sub kinematic chain,SKC)为基本单元,这样不仅能求出驱动力,还能求出其连接处的支反力,以便机构结构的强度设计[17]。

因此,笔者提出一种新型运动解耦的2T1R并联机构,采用基于拓扑特征的运动学建模方法,对该机构进行位置分析;进一步采用基于虚功原理的序单开链法对该机构进行动力学分析,为后续机构分析和样机研发提供基础。

1 机构设计和分析

1.1 机构设计

1.1.1 机构设计思路

串联、并联机构的方位特征(position and orientation characteristic,POC)集的计算公式[18]6-7表示如下:

(1)

(2)

式中:Mji为第i个运动副的POC集;Mbi为第i条支链末端的POC集;MPa为机构动平台的POC集。

一方面,为设计出所需的2T1R并联机构,需构造约束度为零,且含部分驱动副的结构简单、支链干涉少的混合支链;另一方面,笔者设计的2T1R并联机构拟采用两混合支链的结构,且其末端运动输出至少都须包含2T1R元素,具体如下。

1.1.2 机构设计过程

2T1R并联机构设计过程如图1所示。

图1 2T1R并联机构设计过程Fig.1 Design process of 2T1R parallel mechanism

1)混合支链Ⅰ的设计

首先,混合支链Ⅰ的设计如图1(a)所示,其主要由一个2T平面机构串联一个R3构成。其中,2T平面机构主要由两支链构成,移动副P1和转动副R12、R11串联组成子支链1,移动副P2和4R平行四边形(Ra1Rb1Rc1Rd1)结构Pa串联构成子支链2,且P1和P2共线。因此,混合支链Ⅰ记为:HSOC1{-P1⊥R11‖R12⊥R3-Pa-P2-},符号“‖”、“⊥”分别表示运动副的轴线平行和垂直。

为便于表达,在静平台0上建立坐标系o-xyz(其中,y轴与P1轴线平行,z轴与静平台0的法线平行)。

由式(2)可知,混合支链Ⅰ输出构件末端POC集为2T1R,即:具有在yoz平面的二维(2T)移动以及绕y轴的转动。

2)混合支链Ⅱ的设计

3)机构设计

笔者将混合支链Ⅰ和Ⅱ并联连接于动平台1、静平台0之间,且使P3‖P1,得到所需设计的2T1R并联机构如图1(c)所示,其动平台1的POC集由式(2)可表示如下:

(3)

上式表明,混合支链Ⅱ提供支链Ⅰ中的一维转动,支链Ⅰ约束了Ⅱ中的移动。因此,笔者设计的并联机构仅具有两平移一转动特性。

1.2 机构自由度验证

1)机构的全周自由度

机构全周自由度计算公式[18]77-80如下:

(4)

(5)

2)机构的自由度

该机构包含两个独立回路分别为:第1回路为混合支链Ⅰ中独立位移方程数为ξL1=3的2T平面机构;第2回路由上述回路和R3、混合支链Ⅱ构成,可记为LOOP2{-R3‖R5‖R4(-Pb)‖P3-},则其独立位移方程数由式(5)计算可得ξL2=4。

则根据式(4),该机构的自由度为:F=(5+5)-(3+4)=3。

由上述可知,该机构自由度为3,驱动副为移动副P1、P2、P3。当驱动副以相同速度运动时,机构可完成y方向上单向移动;而以不同速度运动时,可实现小范围内的2T1R精确移动。

由此可见,该机构只包含2个耦合度为0的SKC。因此,可独立求解2个SKC,得到正解。

2 机构位置分析

2.1 运动学建模

机构运动学建模如图2所示。

图2 机构运动学建模Fig.2 Kinematics modeling of mechanism

假设静平台0的长、宽分别为2a、2b,在其中心O处建立静坐标系O-xyz,x、y轴分别垂直、平行于A1A2连线,z轴由右手定则确定。

同理,在动平台1的D处建立动坐标系O′-x′y′z′。设AiBi(i=1,2,3)=l1,BiCi(i=1,2)=l2,C21C22=l3,C21C1=l4,DC3(动平台)=2d,C3B3=l5,B31B32=l6,DC3与x负半轴夹角为α。

2.2 位置正解分析

位置正解为:已知输入点Ai(i=1,2,3)的移动位置y1、y2、y3,求动平台1中点P(x,y,z)及姿态角α。

1)第1回路的求解

在静坐标系O-xyz中,可知点Ai和Bi(i=1,2,3)坐标分别为:A1=(b,y1,0)、A2=(b,y2,0)、A3=(-b,y3,0)、B1=(b,y1,l1)、B2=(b,y2,l1)、B3=(-b,y3,l1)。

由机构约束条件可知yD=y=yC3,易得:C1=(b,y+l4/2,zD),C2=(b,y-l3/2-l4/2,zD)。

又由约束条件B1C1=B2C2=l2,可得位置约束方程组,其求解结果表示如下:

(6)

2)第2回路的求解

动平台上点C3的坐标表示为:C3=(b-2dcosα,y,zD+2dsinα)。

由约束条件B3C3=l5可得约束条件方程,经化简整理,其结果表示如下:

(7)

J1=4d(zD-l1)

(8)

J2=-8bd

(9)

(10)

由此可得,中点P的坐标为P=(x,y,z)=(b-dcosα,y,zD+dsinα),易知该机构具有部分运动解耦性。

2.3 位置反解分析

位置反解为:已知动平台中点P(x,y,z)和姿态角α,求输入点Ai(i=1,2,3)的移动位置y1、y2、y3。

由式(6)及约束条件B3C3=l5可得结果如下:

(11)

其中:

(12)

2.4 正反解验算

设该机构结构参数(单位:mm)为:a=350,b=150,d=100,l1=30,l2=200,l3=120,l4=140,l5=300,l6=160。笔者取3个驱动副的位置(单位:mm)分别为y1=270,y2=-110,y3=160,代入式(6)～式(10),得到动平台中点P的机构位置正解数值,如表1所示。

表1 机构位置正解数值

其对应的机构位置正解构型图分别如图3所示。

图3 机构位置正解构型图Fig.3 Configuration diagram of positive position of mechanism

由图3可知:只有图3(a)所示构型符合实际,故取表1中序号1*对应的数据代入式(11)、式(12),得到机构驱动的输入参数,如表2所示。

表2 机构驱动的输入参数

经笔者验证可知,机构正反解计算无误。

3 可达工作空间

因笔者所述机构具有符号式位置正解,故笔者采用基于位置正解的离散化方法[19]198-200求工作空间。该方法求解效率高、结果精确。为此,根据静平台参数确定驱动副位置的搜索范围(单位:mm):70≤y1≤300,-300≤y2≤-70,-300≤y3≤300。

笔者采用MATLAB计算得到动平台中点的三维工作空间示意图,如图4所示。

图4 动平台中点的三维工作空间示意图Fig.4 Three-dimensional working space diagram of the mid-point of the moving platform

4 奇异性与速度分析

4.1 机构奇异性分析方法

笔者采用基于雅可比矩阵的奇异位形分析方法[19]194-197,对该机构进行奇异性与速度分析。

(13)

其中:

f11=df1/dy=2(y+l4/2-y1),f21=df2/dy=2(y-l3/2-l4/2-y2),

f31=df3/dy=2(y-y3),f12=df1/dz=2(z-dsinα-l1),

f22=df2/dz=2(z-dsinα-l1),f32=df3/dz=2(z+dsinα-l1),

f13=df1/dα=2dcosα(dsinα+l1-z),f23=df2/dα=-2dcosα(z-dsinα-l1),

f33=df3/dα=4dsinα(2b-2dcosα)+2dsinα(z+dsinα-l1),

g11=df1/dy1=2(y1-l4/2-y),g22=df2/dy2=-2(y-l4/2-l3/2-y2),g33=df3/dy3=-2(y-y3)。

4.2 动平台中点的速度和加速度分析

4.2.1 速度和加速度公式与计算

当机构处于非奇异位置,且Jo可逆时,由式(13)得动平台中点P的速度表示如下:

(14)

对式(14)进行求导,得到输入与输出加速度之间的关系表示如下:

(15)

K0=[K1K2K3]T

(16)

式中:K0为Jo和Ji内各项元素对时间t的导数。

其余杆件的速度和加速度可由刚体的速度(加速度)合成定律求出,此处略去推导过程。

4.2.2 速度和加速度算例验算

机构参数在2.4节中已给出。若该机构的3个输入函数(单位:mm)分别为y1=40sin(πt)-224.64、y2=-25cos(πt)-121.01、y3=15sin(πt)+120.22,由MATLAB计算式(14)、式(15),可得到动平台中点P的速度和加速度的理论曲线,如图5所示。

图5 动平台中点速度和加速度的理论曲线Fig.5 Theoretical curve of midpoint velocity and acceleration of moving platform

同时,笔者运用ADAMS软件建立运动学模型,并进行模拟仿真,得到与理论相差不大的仿真速度和加速度曲线。因此,运动学模型建立无误。

4.3 奇异性分析

4.3.1 输入奇异

当det(Ji)=0时,发生输入奇异。3种情况如下:

1)g11=0,即yA1=yC1时,发生输入奇异1;

2)g22=0,即yA2=yC2时,发生输入奇异2;

3)g33=0,即yA3=yC3=yP时,发生输入奇异3。

机构的3种输入奇异位置如图6所示。

图6 机构3种输入奇异位置Fig.6 Three input singular positions of mechanism

4.3.2 输出奇异

当det(Jo)=0,发生输出奇异,有2种情况:

当f11=f21,即y1-y2=l3/2+l4时,发生输出奇异,此时机构的位置如图6(a)、图6(b)所示;

当f11≠f21,且f22f33=f32f23时,有2种情况如下:

①当z=dsinα+l1,此时f22f33=0,即zB3=zC3时发生输出奇异,机构输出奇异位置如图7所示。

图7 机构输出奇异位置Fig.7 Singular position of mechanism output

②当z≠dsinα+l1,即(z-l1)cosα+2bsinα=dsinαcosα时,机构发生输出奇异。

4.3.3 综合奇异

当det(Jo)=det(Ji)=0时,发生综合奇异。

经分析,当yA1=yC1,且yA2=yC2相等时,发生综合奇异,如图6(a)、图6(b)所示。

5 动力学分析

5.1 基于虚功原理的序单开链法基本原理

笔者基于虚功原理建立动力学方程,求解驱动力。

5.2 受力分析

构件上所受的力主要是重力和惯性力,且仅受惯性力矩。为了简化计算,将杆件所受的外力(矩)化简为对应质心的合力矢量Q。

1)动平台

取P为动平台质心,则其合力矢量表示如下:

(17)

式中:fp为动平台所受的外力;τp为动平台所受的外力矩;mp为动平台的质量;a为动平台的加速度;Ip为动平台的惯性矩阵;ω为动平台的角速度;ε为动平台的角加速度。

2)各驱动副Pi(i=1,2,3)

各驱动副Pi及连接杆的合力矢量表示如下:

(18)

K=[0 0 0]T

(19)

式中:fAi为驱动副Pi及各自连接杆所受的驱动力;mAi为驱动副Pi及各自连接杆的质量之和;aAi为驱动副Pi及其连接杆的加速度。

3)平行四边形长杆BiCi(i=1,2,3)

平行四边形机构的两长杆可等效为两短杆中点连线的转动杆BiCi,则其合力矢量表示如下:

(20)

式中:mBiCi为杆BiCi的质量;aBiCi为杆BiCi(i=1,2)的加速度;IBiCi为杆BiCi的惯性矩阵;ωBiCi为杆BiCi的角速度;εBiCi为杆BiCi的角加速度。

4)转动杆DC3、B31B32

杆DC3、B31B32的合力矢量分别表示如下:

(21)

(22)

式中:mDC3为杆DC3的质量;aDC3为杆DC3的加速度;IDC3为杆DC3的惯性矩阵;ωDC3为杆DC3的角速度;εDC3为杆DC3的角加速度;mB31C32为杆B31B32的质量;aB31C32为杆B31B32的加速度;IB31C32为杆B31B32的惯性矩阵;ωB31C32为杆B31B32的角速度;εB31C32为杆B31B32的角加速度。

5)移动杆C31C32、C1C22

杆C31C32、C1C22的合力矢量分别表示如下:

(23)

(24)

式中:mC31C32为杆C31C32的质量;aC31C32为杆C31C32的加速度;mC1C22为杆C1C22的质量;aC1C22为杆C1C22的加速度。