2023年高考全国Ⅰ卷第19题解法探究与推广

【摘  要】  高考全国卷的函数与导数解答题多以多项式函数、指对数函数、三角函数的组合表达式为载体，重点考查函数的单调性、极值、最值、函数的零点及不等式证明等主干内容，注重函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等思想方法的灵活运用.对2023年高考全国Ⅰ卷第19题进行多角度多种解法解答与分析，总结出命题的溯源与结论推广，发挥其内在价值，并以此来促进教学.

【关键词】  函数与导数；不等式恒成立；解法探究；推广

1  经典试题展示与分析

题目  （2023年全国高考Ⅰ卷第19题）已知函数f（x）=a（ex+a）－x.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：当a>0时，f（x）>2lna+32.

分析  试题简洁清晰，知识方面主要考查函数的单调性、证明函数不等式、导数在函数中的应用等；思想方面主要考查分类讨论、转化与化归等思想.试题分步设问，逐步推进，综合考查考生逻辑思维、推理论证及运算求解等方面的能力.试题的思维过程和运算过程体现了能力立意的思想，较好地体现了对函数与导数中核心内容和基本思想方法的考查.2  多角度多种解法探究第（1）问是比较简单的含参不等式单调性问题.

因为f（x）=a（ex+a）－x，定义域为R，所以f′（x）=aex－1.

当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f′（x）=aex－1<0恒成立，所以f（x）在R上单调递减.当a>0时，令f′（x）=aex－1=0，解得x=－lna;

当x<－lna时，f′（x）<0，则f（x）在（－∞，－lna）上单调递减；

当x>－lna时，f′（x）>0，则f（x）在（－lna，+∞）上单调递增；

综上，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a>0时，f（x）在（－∞，－lna）上单调递减，在

（－lna，+∞）上单调递增.第（2）问是函数不等式证明，对于不等式证明，最常见方法有构造函数法、放缩法.

（一）构造函数法解法1  当a>0时，要证f（x）>2lna+32，即证a（ex+a）－x>2lna+32，只需证 aex+a2－x－2lna－32>0.设g（x）=aex+a2－x－2lna－32，则g′（x）=aex－1，g″（x）=aex>0.于是可得g′（x）在（－∞，+∞）上单调递增，令g′（x）=aex－1=0，解得x=－lna.从而当x∈（－∞，－lna）时，g′（x）<0，g（x）单调递减；当x∈（－lna，+∞）时，g′（x）>0，g（x）单调递增.故g（x）min=g（－lna）=a2－lna－12.设h（a）=a2－lna－12，则h′（a）=2a－1a=2a2－1a，令h′（a）=0，解得a=22.从而当a∈0，22时，h′（a）<0，h（a）单调递减；当a∈22，+∞时，h′（a）>0，h（a）单调递增.故h（a）min=h22=12－ln22－12=ln22>0，即得h（a）>0.于是有g（x）min=g（－lna）=a2－lna－12>0，即g（x）=aex+a2－x－2lna－32>0，所以f（x）>2lna+32.

解法2  由（1）可知，当a>0时，f（x）在（－∞，－lna）上单调递减；在（－lna，+∞）上单调递增.所以f（x）min=f（－lna）=1+a2+lna.于是要证f（x）>2lna+32，只需证f（x）min=1+a2+lna>2lna+32，即证a2－lna－12>0.下同解法1.

评注  一般来说，证明函数不等式f（x）>g（x）恒成立，可设F（x）=f（x）－g（x），则f（x）>g（x）恒成立F（x）>0恒成立，即等价于F（x）min>0.可以利用导数来求F（x）的最小值，把函数不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值.构造差函数的证法是函数不等式证明中最常规的做法，要注意的是：有时尽管F（x）存在最小值，但方程F′（x）=0的根（F（x）的极值点）解不出来，往往要借助零点存在性定理和F′（x）的单调性，先证明方程F′（x）=0有唯一实根x0，用“设而不求”的方法，证明F（x）min=F（x0）≥0，在运算过程中要注意利用F′（x0）=0进行替换.

（二）放缩法解法3  因为ex≥x+1，所以f（x）=a（ex+a）－x=ex+lna+a2－x≥x+lna+1+a2－x=a2+lna+1.于是要证f（x）>2lna+32，只需证a2+lna+

1>2lna+32，即证a2－lna－12>0.

下同解法1.解法4  由解法2可知，要证f（x）>2lna+32，即证f（x）min=1+a2+lna>2lna+32，只需证a2>lna+12，即证2a2>2lna+1.

因为lnx≤x－1，故有2lna=lna2≤a2－1，即得2lna+1≤a2<2a2.

所以当a>0时，f（x）>2lna+32.解法5  当a>0时，要证f（x）>2lna+32，即证a（ex+a）－x>2lna+32，只需证ex+lna－（x+lna+1）+12（a2－lna2－1）+12a2>0.因为ex≥x+1，故有ex+lna－（x+lna+1）≥0.又因为lnx≤x－1，故有a2－1≥lna2，即得a2－lna2－1≥0，且12a2>0.从而ex+lna－（x+lna+1）+12（a2－lna2－1）+12a2>0成立.所以當a>0时，f（x）>2lna+32.解法6  因为f（x）=a（ex+a）－x=ex+lna+a2－x，a>0，且ex≥x+1，可得ex+lna+a2－x≥x+lna+1+a2－x=a2+lna+1>1+lna+a22=32+lna+a2－12.

于是要证f（x）>2lna+32，只需证32+lna+a2－12≥2lna+32.

又因为lnx≤x－1，故有a2－12≥lna22=lna，

故32+lna+a2－12≥32+lna+lna=2lna+32.所以当a>0时，f（x）>2lna+32.

解法7  因为f（x）=a（ex+a）－x=ex+lna+a2－x，且ex≥x+1，所以ex+lna+a2－x≥x+lna+1+a2－x=a2+lna+1.

又因为lnx≤x－1，故有2lna+32=lna+lna+32≤lna+a－1+32=lna+a+12.

于是要证f（x）>2lna+32，只需证a2+lna+1>lna+a+12，即证a2－a+12>0.

因为a2－a+12=a－122+14>0，故a2－a+12>0.所以当a>0时，f（x）>2lna+32.

评注  在与ex、lnx相关的函数不等式证明题中，常用到切线放缩的解题思想，如ex≥x+1，ex≥ex，lnx≤x－1（x>0），ex≥1+x+x22！（x≥0）.究其主要原因有三：首先，此类函数的导数可以和多项式函数结合到一起，大部分都含有二次三项式，体现转化与化归思想；其次，此类函数能体现微积分的一个思想——以直代曲，无限逼近；另外，此类函数与高等数学的级数结合比较紧密.

3  命题溯源与结论推广

为了便于研究，给出如下高等数学有关凸函数定义、性质与定理.

定义1  设函数f：（a，b）→R. f在区间I=（a，b）上处处二次可微：如恒有f″（x）≥0 （对任意x∈I），则函数f（x）在区间I上为下凸函数；如恒有f″（x）≤0 （对任意x∈I），则函数f（x）在区间I上为上凸函数．

其几何意义为：下凸函数曲线y=f（x）上任意两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））间割线的中点总在曲线上相应点（具有相同横坐标）之上，即恒有fx1+x22≤12［f（x1）+f（x2）］（如图1）；上凸函数曲线y=f（x）上任意两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））间割线的中点总在曲线上相应点（具有相同横坐标）之下，即恒有fx1+x22≥12［f（x1）+f（x2）］（如图2）［1］．

图1  下凸函数        图2  上凸函数

定义2  若函数f（x）对于区间I=（a，b）内的任意x1，x2以及λ∈（0，1）：如恒有f［λx1+（1－λ）x2］≤λf（x1）+（1－λ）f（x2），则称f（x）为区间I上的下凸函数；如恒有f［λx1+（1－λ）x2］≥λf（x1）+（1－λ）f（x2），则称f（x）为区间I上的上凸函数［2］．其几何意义：下凸函数曲线y=f（x）上任意两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））间的割线总在曲线之上；上凸函数曲线y=f（x）上任意两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））间的割线总在曲线之下．

对定义2进行广义上推广，得到凸函数的性质1、性质2：

性质1   （加權的Jensen不等式）  设函数f：（a，b）→R.f在区间I=（a，b）上处处二次可微：如f″（x）≥0 （对任意x∈I），则f（x）为区间I上的下凸函数，即对任意m∈N，xk∈I及λk≥0，∑mk=1λk=1时，不等式f（∑mk=1λkxk）≤∑mk=1λkf（xk）成立;如f″（x）≤0 （对任意x∈I），则f（x）为区间I上的上凸函数，即对任意m∈N，xk∈I及λk≥0，∑mk=1λk=1时，不等式f∑mk=1λkxk≥∑mk=1λkf（xk）成立．

性质2  （Jensen不等式） 设函数f：（a，b）→R.f在区间I=（a，b）上处处二次可微：如f″（x）≥0 （对任意x∈（a，b），则f（x）为区间I上的下凸函数，即对任意n∈N，xi∈I时，不等式f∑ni=1xin≤∑ni=1fxin成立;如f″（x）≤0 （对任意x∈（a，b），则f（x）为区间I上的上凸函数，即对任意n∈N，xi∈I时，不等式f∑ni=1xin≥∑ni=1fxin成立．

由此给出凸函数的切线不等式有关定理：

定理  设函数f：（a，b）→R.f在区间I=（a，b）上处处二次可微：如f（x）为（a，b）上的下凸函数，则经过点（x0，f（x0））（x∈I）的切线一定在曲线y=f（x）的下方，即不等式f（x）≥f（x0）+f′（x0）（x－x0）（x∈I）恒成立；如f（x）为（a，b）上的上凸函数，则经过点（x0，f（x0））（x∈I）的切线一定在曲线y=f（x）的上方，即不等式f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x－x0）（x∈I）恒成立．其几何意义：下凸函数曲线y=f（x）上任一点处的切线，总在曲线之下；上凸函数曲线y=f（x）上任一点处的切线，总在曲线之上［3］．借助高等数学拉格朗日中值定理可证明上述定理．

拉格朗日中值定理：f（x）在［a，b］上连续，（a，b）上可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（b）－f（a）=f′（ξ）（b－a）．简证  由拉格朗日中值定理知，f（x）－f（x0）=f′（ξ）（x－x0）（ξ∈（x0，x））.

又因曲线y=f（x） 过点（x0，f（x0））（x∈I）的切线方程为f（x）=f′（x0）（x－x0）+f（x0），

则有f（x）－f（x0）－f′（x0）（x－x0）=（f′（ξ）－f′（x0））（x－x0）.

因为在区间I上的下凸函数恒有f″（x）≥0，即f′（x）在I=（a，b）上为增函数，即x∈（x0，ξ）时，f′（ξ）－f′（x0）≥0，（f′（ξ）－f′（x0））（x－x0）≥0，则f（x）－f（x0）－f′（x0）（x－x0）=（f′（ξ）－f′（x0））（x－x0）>0，

所以在区间I上的下凸函数f（x）经过点（x0，f（x0））（x∈I）的切线一定在曲线y=f（x）的下方，即不等式f（x）≥f（x0）+f′（x0）（x－x0）（x∈I）恒成立，当且仅当x=x0 时取等号.

同理，在区间I上的上凸函数f（x）经过点（x0，f（x0））（x∈I）的切线一定在曲线y=f（x）的上方，即不等式f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x－x0）（x∈I）恒成立，当且仅当x=x0时取等号.

利用上述定理可将试题1第（2）问作如下一般性命题推广：

命题  已知函数f（x）=a（ex+a）－x，证明： 当a>0时， f（x）>mlna+m+12（其中m为常数，且1≤m<3） .

简证   因a>0，则f′（x）=aex－1，f″（x）=aex>0，即 f（x）在区间（－∞，+∞）上为下凸函数.由f′（x）=aex－1=0，可求极点坐标ln1a，a2+1+lna.

由上述定理，对于 f（x）=a（ex+a）－x在区间（－∞，+∞）上恒有f（x）≥fln1a+f′ln1ax－ln1a=f（ln1a）=a2+1+lna.

（1）当m=1且a>0时，f（x）≥a2+1+lna>1×lna+1+12，即 f（x）>mlna+m+12显然恒成立.

（2）1<m<3

当m>1且a>0时，不妨设g（a）=a2+1+（1－m）lna，则 g′（a）=2a+1－ma .

令g′（a）=0，得a=m－12（m>1）.

因函数在区间0，m－12上单调递减，m－12，+∞上单调递增，则gmin（a）=gm－12=（1－m）lnm－12+m+12，

故g（a）=a2+1+（1－m）lna≥（1－m）lnm－12+m+12，

从而有a2+1+lna≥mlna+m+12+（1－m）lnm－12.

因m>1，只要有（1－m）lnm－12>0时，恒有a2+1+lna>mlna+m+12，由m>1及（1－m）lnm－12>0可求出1<m<3.

所以m为1<m<3的常数时，f（x）>mlna+m+12.

（3）当m=3时

由（2）知a2+1+lna≥mlna+m+12+（1－m）lnm－12，即 a2+1+lna≥3lna+2，从而有a2+1－2lna≥2.

令当m=3且a>0时，设g（a）=a2+1－2lna，则 g′（a）=2a－2a .

令g′（a）=0，得a=1.

因函数g（a）在区间（0，1）上单调递减，［1，+∞）上单调递增，则gmin（a）=g（1）=2，

故g（a）=a2+1－2lna≥2（当且仅当a=1时，取等号），从而a2+1+lna≥3lna+2 .

所以当m=3且a>0时，f（x）≥a2+1+lna≥mlna+m+12（当且仅当a=1时，取等号）.

综上述，当a>0时， f（x）>mlna+m+12（其中m为常数，且1≤m<3），证毕.

显然，上述高考题只是命题的一种特例（令命题m=2时，即是试题1的第（2）问）.至此，追溯到本文高考试题中的“23”的命题设计的源头，由此达到举一反三的深度学习效果.

4  结论的应用

上文给出的定理，除了“证明不等式”的应用之外，还可在解决“不等式含参问题”“求函数最值”等方面具有“速解”效能.例1  （2017年全国Ⅱ卷文科第21题）设函数f（x）=（1－x2）ex.

（1）略；（2）当x≥0 时，f（x）≤ax+1 ，求a的取值范圍.

简析  本题可归结于形如“当x∈（m，n）时，f（x）≤ax+b （或f（x）≥ax+b） 恒成立， 求参数a的取值范围”一类试题，其命题背景是有关“凸函数的切线不等式”问题.本文克服了画图直观求解的“证明性”缺失不足，利用定理直接给出其基于数学本质的解法.因为f′（x）=ex（1－2x－x2） ，f″（x）=－ex（x2+4x+1）， 则当x≥0时，f″（x）≤0，即函数f（x）=（1－x2）ex为下凸函数，故条件“当x≥0 时，f（x）≤ax+1”等价于“射线y=ax+1（x∈［0，+∞））位于曲线f（x）=（1－x2）ex在点（0，1）的切线或位置上方”.

又因曲线f（x）=（1－x2）ex在点（0，1）的切线斜率f′（0）=1，结合定理，从而锁定答案：a≥1.

例2  （2021天津卷第20题节选）已知a>0，函数f（x）=ax－xex.若存在a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．

简析  原试题标准解法，是利用导数法，通过函数单调性与最值求解，但是解题过程中存在分类讨论与计算繁锁等问题.利用定理中凸函数的切线不等式，可秒杀答案．

不等式f（x）=ax－xex≤a+b恒成立，变形为xex≥a（x－1）－b，

则原问题转化为：过点P（1，－b）的直线方程y=a（x－1）－b在函数g（x）=xex图象下方．

因g″（x）=ex（2+x）>0，函数g（x）=xex在区间［－2，+∞）为下凸函数 ，故只需要在过点P（1，－b）的函数g（x）=xex存在斜率大于0的切线，即点P在函数g（x）=xex图象下方，满足－b≤g（1），从而解得b≥－e．

例3  （2012年全国新课标理科第21题）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex－1－f（0）x+12x2.

（1）求f（x）的解析式及区间；

（2）若f（x）≥12x2+ax+b，求（a+1）b的最大值.

简析  本题第（2）问常规解题思路是基于题目代数条件、放缩求最值，解法自然，但缺点是计算量大和讨论繁琐.而基于凸函数的性质求解，简洁明快.

（1）易求出f（x）=ex－x+12x2 ，单调递增区间为（0，+∞） ，单调递减区间为（－∞，0）.

（2）由f（x）≥12x2+ax+b知，ex≥（a+1）x+b 恒成立.

记g（x）=ex，因g″（x）>0，则 g（x）为下凸函数.

依据本文定理，本题第（2）问本质是直线y=（a+1）x+b是下凸函数g（x）=ex的切线或切线下方平行线即可.

故存在x0∈R，使得直线y=（a+1）x+b与函数g（x）图象在x=x0 处的切线l：y=ex0（x－x0）ex0 重合或平行（位于切线下方），也就是有a+1=ex0，b≤ex0（1－x），所以（a+1）b≤e2x0（1－x0） .

记h（x）=e2x（1－x），x∈R ，则（a+1）b≤h（x）max ，

求导讨论可得h（x）max=e2，故（a+1）b的最大值为e2.

例4  （2018年全国高考Ⅰ卷理科第16题）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.简析  借助凸函数定理，可“一式”秒锁答案.

不妨设x∈0，π2 ，则函数sinx，sin2x均为上凸函数，且sinx>0，sin2x>0，考虑到sinx=sin（π－x） ，则由凸函数性质2，得

f（x）=2sinx+sin2x=sin（π－x）+sin（π－x）+sin2x≤3sin（π－x）+（π－x）+2x3=3sin2π3=323，当且仅当π－x=2x，即x=π3时，取等号.即f（x）的最大值是323.

因为f（x）是奇函数，所以 f（x）的最小值是－323.

高考中的函数与导数试题，其命题立意深刻、设计新颖，具有典型性、示范性、引领性，是教学研究的良好素材.教学中教师要引导学生善于研究高考试题命题的背景与意图，不断地寻找试题的命制本源和解法本源，挖掘数学本质，并能在具体的高等数学问题情境中灵活应用，从而有效落实数学学科的核心素养培育，實现解决一道题收获系列题的学习目的［4］.

参考文献

［1］  林国红.函数凹凸性视角下的双变量压轴题的探究［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2022（05）：17-20.

［2］  李加军.2022年高考北京卷导数试题的背景溯源、解析和推广［J］.数学通讯，2022（24）：38-40.

［3］  魏欣，邓春梅.2017年高考课标卷Ⅲ理科第21题的解法探究［J］.中学数学研究（华南师范大学版）， 2018（05）：9-12.

［4］  王伟.2020年高考数学天津卷导数压轴题的解法与背景分析［J］.数学通讯，2020（24）：47-50.

作者简介  魏欣（1986—），广东湛江人，高中数学一级教师，市骨干教师； 主要从事高中数学教学、高考试题解法、高中数学竞赛的代数和平面几何等方面的研究.