数形结合思想在初中数学教学中的应用

■山东省菏泽市牡丹区第二十一初级中学 王存革

随着素质教育改革的不断深入，各学科对学生核心素养的发展越发重视，新标准也因此对学生的培养提出了更高的要求。在此背景下，继续坚持传统教学模式只会越来越难以满足学生的成长需求。以往“以分数论英雄”的时代已经过去，教师必须及时转变自身的教育理念，根据数学这门学科的特点，做好图形与数字的巧妙结合，帮助学生更好地克服对数学知识的理解障碍，充分调动学生数学学习兴趣，切实推动学生数学思维乃至综合素养的发展。

一、数形结合思想及价值概述

数学知识一般比较抽象，学生在学习时难免会感觉枯燥乏味，特别是对初中生来说，有些理论知识理解起来比较困难，很容易增加他们的畏惧情绪。为了帮助学生更好地掌握数学知识，增强初中阶段的数学课堂教学质效，教师要积极使用数形结合的教学方法，提升学生数学学习兴趣与效率。比如，对那些比较复杂的数学理论，单凭初中生的认知水平可能无法充分理解其中的逻辑，这时教师便可以发挥数形结合的作用。在课堂教学中，教师可以将原本难以理解的抽象化的知识转化为学生可以直观理解的图表，让学生清楚观察其中发生的变化，如此一来，学生就可以更方便地学习，有效掌握该知识点。因此，数形结合思想经常被教师应用于课堂教学中，让数学知识变得更为生动可感，从而有效激发学生对数学的兴趣，使其积极主动地进行数学学习。

除此之外，在初中阶段的数学课堂上积极使用数形结合思想，可以深化学生对抽象知识的理解，有效发展他们的想象力与创造力，帮助学生对所学知识点形成更牢固的记忆，同时推动学生从多个角度对数学问题进行自主分析，促使他们稳步提升自身的数学学习能力，从而更好地解决数学问题，有助于其数学思维的形成与发展。

二、数形结合的常见形式分析

（一）以数化形

讲到圆形、三角形、多边形、柱体、锥体等几何图形时，教师可以让学生仔细观察图形，引导他们仔细思考涉及的知识点。在以数化形的帮助下，原本面对课后习题百思不得的学生，可以准确洞悉图形中存在的数量关系，进而有效提升对知识的领会能力，大幅提高做题速度。而且，教师使用该思想进行知识传授的时候，可以使学生在几何图形思维的引导下，对其中的数量关系形成更直观的理解。

（二）以形变数

在教授学生几何知识的时候，教师会经常使用“以形变数”的技巧，这样可以让学生更全面地了解题目中设置的隐藏条件，进而方便学生实现对数学问题的高效解答。

（三）数形互变

这种方法主要被用于直角坐标系和函数教学中，借助直角坐标系图形与函数的相互转换，帮助学生准确找出实数的对应位置，然后结合代数方面的知识求取函数问题的答案。

三、数形结合思想在初中数学教学中的应用

（一）研读课标，分析数形结合与数学知识的联系

课本内容与课程标准是各科教师在教学工作中的重要依据，凝聚着无数教育工作者的智慧与汗水。教师只有正确理解课标，才能充分明确关于数形结合思想的具体使用，从而最大限度地对学生进行素养培养，帮助他们深入开展学习活动。而要想实现这一目标，教师必须仔细研究新课标及课本内容，在掌握空间观念、几何直观等重点的同时，做好对课程目标及教学建议的全面把握，并认真梳理各单元涉及数形结合的部分，只有这样才能更好地应用该思想。比如，讲到“代数式”的时候，教师便可以通过数轴的形式来直观地表示有理数，并借此帮助学生理解相反数、绝对值等概念；在讲解实数的过程中，教师也可以借助实数与数轴点之间的对应关系来辅助学生理解；至于平方差公式，则可以通过拼图的方式实现以形助数。又如，在讲到“一元一次方程”的时候，教师可以让学生通过线段图的方式来分析等量关系，由此得出方程。再如，针对函数的教学，教师可以利用图像来代表函数，让学生更方便、直观地分析函数中不同变量之间的关系。

（二）因材施教，尊重学生认知规律

由于年龄等方面的原因，各年级的学生在学习中表现出的心理特征也会有所差异，进而表现出不同的学习特点。以七年级的学生为例，由于刚刚从小学升入初中，因此在学习中仍然以形象思维为主导；而进入八年级之后，学生的思维与心理都得到了一定的发展，但课堂上仍需要教师的引导，面对比较抽象的知识时很容易出现畏难情绪；到了九年级，学生则能够自主运用抽象思维来处理问题。因此，开展教学活动之前，教师应留心学生所在的年级，全面了解他们的学习特点，由此实施针对性的教学策略。比如，在为初一的学生讲授数学知识时，应尽量选择直观的教学方式，这样可以帮助他们更好地理解图像的意义，从而锻炼学生的数学画图能力；在为初二的学生讲授数学知识时，教师应从“形”和“数”两个方面入手，逐步引导学生理解课程内容，切实体会数学图形的美观性与直观性，从而了解代数方法的精准作用；而在教授初三学生数学知识时，教师应当向学生系统介绍数形结合思想，鼓励他们通过画图、数轴、坐标系等方法自主对问题进行归纳，逐步培养学生在数学方面的逻辑推理能力，促使其不断发展。而在具体的教学过程中，教师还应注意因材施教，充分考虑学生的学习优势与个性特点，科学合理地指导他们应用数形结合思想。

（三）联系现实，降低数形结合难度

在素质教育背景下，教师要采取措施，激发学生对数学学习的兴趣，使课堂教学充分满足其发展需求。从教学实践来看，不少初中生都不能主动使用数形结合技巧来解决问题，原因在于他们对该思想缺乏深入理解。为此，教师应认真反思所创设的教学情境是否真正满足了学生的学习需求、采用的教学方法是否激起了学生对数学的兴趣、教学流程及活动设计是否合理、是否为学生提供了科学的数形结合运用指导等。比如，在七年级上册“有理数”的教学中，其中包含许多相反意义的内容，刚进入初中的学生想完成知识过渡不太容易。教师可以在引入数轴的基础上，选择生活中常见的温度计作为教学实例，通过分析温度测量中零下与零上这两种不同的表达形式，帮助学生初步理解“正负”。“不管是零上多少度还是零下多少度，都是基于‘0’来划分的，低于零度的温度数据用‘-’表示，高于零度的温度数据则用‘+’表示”，完成对零下及零上温度表示的讲解后，教师可以让学生横着观察温度计，这时就可以将温度计视为一个特殊的数轴，“0”刻度线左边就是负数区域，右边则为正数区域，从而实现对抽象概念的图像化、直观化，方便学生深化对“负数与正数”这两个相反量的理解，在数形结合的帮助下推动学生数学学习效率的有效提升。

（四）科学引导，促进数学语言转化

所谓数学语言，是一种表示事物数量、因果、位置等关系的基本形式，主要包括图像、文字、符号三种，它们都具有独特的表达优势，往往能在学生学习数学的过程中起到相当重要的作用。而运用数形结合思想的过程，就是借助这三种语言间的来回转换处理数学问题的过程，其融合转化有助于提升学生对数形结合的理解，实现高效学习。在教学过程中，经常会遇到一些不擅长分析题目的学生，主要原因在于他们对数形表征缺乏足够的语言概括及转化能力。因此，在初中阶段的数学教学中，教师应积极指导学生，加强对他们的数学语言转化训练。比如，在讲到九年级下册“垂径定理”的时候，教师就可以采取文字描述的方式进行讲解，在平分圆弦及其对应的弧的同时使之垂直于圆的直径。然后配以相应的图形，方便学生理解，如图1 所示，以英文符号标出对应的点，CD 是圆O 的直径，AB 则为经过AB 的一条弦，假设线段AB 与线段CD 相互垂直，将二者的垂足命名为点M，则线段BM 与线段AM 的长度相等，圆弧BD 与圆弧AD、圆弧BC 与圆弧AC的长度均为相等关系。结合图像、符号、文字等，进行综合性的转化表述训练，可以让学生亲身体会数学语言的方便与简洁，有助于激发他们在做题时运用数形结合技巧的主动性，从而有效推动其数学学习质量与效率的提升。

图1 垂径定理的图形表达

（五）培养习惯，加强数形结合应用

根据新课标的相关要求，教师应尽可能实现以下教学目标：让学生准确掌握物体位置、图形性质等特点，帮助学生养成良好的空间意识，构建完善的几何直观，能够自觉以图形的方式来考虑问题，而这也要求教师必须做好对数形结合思想的运用。在解答不等式方程问题的时候，有的学生对函数图像的运用能力较弱，对解题方法的选择也不够简洁、合理，以至于在处理问题时难以做到对图像的有效利用。为此，教师必须重点加强对学生数形结合习惯的培养，让他们在遇到问题时能够自觉主动地进行图形想象，做到准确画图、仔细读图和高效用图。以数学领域中比较常见的“行程问题”为例，教师可以让学生以线段图的形式求解，这样有助于将路程、用时及行驶速度等因素的关系生动地表现出来，让学生清晰地掌握问题中存在的数学关系。又如，遇到函数问题的时候，教师可以引导学生改变代数运算的固定思维模式，积极进行图形转换，通过画图收集各种有效信息，借此分析函数的具体性质，进而客观梳理不等式、方程、函数之间关系，为问题找出最合适的解决方法。总而言之，教师要重点加强对学生的习惯培养，使其能够熟练使用图形分析遇到的问题，尽可能将其中的复杂关系简单化，在降低解题难度的同时增强学生对数学知识的学习自信。

（六）重视基础，加强对理论概念的讲解

无论何时，基础知识都是每个学生必不可少的学习内容。而现实生活中，不少学生对课本中的数学定义与概念缺乏足够的重视，觉得这些东西非常简单，与考试无关，根本用不着专门研究，只要能在做题的时候运用就可以了。但事实是，数学定理与概念中蕴含着非常宝贵的数学思想，打牢这方面的基础可以帮学生更轻松地进行数形转化，方便其找出问题的答案。比如，在教学实践中经常会有学生在判定三角形相似和全等关系的时候出错，证明过程总是存在这样或那样的逻辑漏洞，对问题解决过程的描述也不够清晰，这在很大程度上就是因为学生未能理解公式的本质，没有意识到直角三角形边长之间的关系。因此，教师应注意加强对基础知识方面的讲解，带领学生认真分析课本中的公式和定义，不断增加学习积累，唯有如此，才能为其数形转换打下坚实的理论基础。

（七）全面融入，实现全课型应用

数形结合思想的应用可以体现在不同课型的不同阶段。比如，引入新课内容的时候，教师可以通过对图形、坐标系、数轴等直观表达方式的运用来帮助学生认识抽象的数学理论。需要注意的是，引入新的数学定理或公式时，教师在关注学生对知识理论学习情况的同时，还要在课堂上尽可能呈现这些知识的实质，特别是在讲解性质、定理或概念的时候，要积极引入相关图形，引导学生进行直观探讨，使其亲自感受生活中的具体知识逐步被抽象的过程，帮助他们对数形转换形成一个大致认知，为后续运用打好基础。

以七年级上册“有理数及其运算”教学为例，教师可以针对相反数的概念，利用数轴来辅助讲授，引导学生更直观地了解相反数的特点，明白所谓的相反数就是数轴上与0 点的距离完全相同而方向相反的一组数，帮助学生对这一概念形成相应的图形符号认知，有效促进其数感及几何直观能力的养成。而在习题训练阶段，教师可以为学生列举一个与课程知识有关的具体问题，针对性地讲解该怎样进行数形转换，使学生初步形成相应的问题思考意识后，为其安排合适的题目进行实践。例如：在方程求解问题中，教师可以在黑板上画出相应的函数图像，然后借助图像来分析问题；而如果是几何问题且题目中没有具体图形，教师则应带领学生按照题目条件画出相应的几何图像，再根据所画图形找出隐藏的数学关系，进而正确解决问题。

四、结语

初中是学生成长的重要时期，数学教学质量对学生核心素养的培养以及思维品质的提升都具有重要意义，可以为其未来发展打下良好的基础，而数形结合思想在课堂教学中的运用对学生建立健全数学知识体系、理解课程知识理论具有重要作用。因此，教师在开展教学活动的过程中，必须积极地从多角度挖掘数形结合的作用，以直观的问题分析与解决来促进学生逻辑思维的发展，进而带动其数学综合素养的提升，切实提高初中阶段数学教学质量。