二次函数背景下的特殊四边形存在性问题解题策略

王新华

探究二次函数背景下的特殊四边形存在性问题是中考压轴题的热点题型，其常见题型有“三定一动”和“两定两动”两种类型. 下面举例介绍其解题策略.

例 如图1，抛物线[y=-12x2+92]交x轴于点A，B（A在B的左侧），与直线[y=x+3]交于点C. 在平面直角坐标系内是否存在点P，使得以点A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

“三定一动”平行四边形解题策略.

“一画”：以三条定线段中的两条线段作为平行四边形的邻边，分别过除两邻边的公共点外的两定点作这两邻边的平行线，交点即为第四个顶点.

“二算”：分别求出抛物线[y=-12x2+92]与x轴的交点坐标A（ - 3，0），B（3，0），与直线y = x + 3联立求出点C坐标（1，4）. 设P（m，n），求平行四边形的动顶点坐标分三种情况：①如图2，以AC，BC为邻边时，利用AC与BP平行且相等可得[m-（-3）=3-1，-n=4，]得P（ - 1，- 4）；②如图3，以AB，AC为邻边时，可得[m-3=1-（-3），n=4，]得P（7，4）；③如图4，以AB，BC为邻边时，可得[-3-m=3-1，n=4，]得P（- 5，4）. 综上，满足条件的点有P（-1， -4），（7，4），（-5，4）.

追问：在图1中，抛物线上是否存在点P，在直线BC上是否存在点Q，使得以点O，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解析：采用“两定两动”平行四边形探究策略.

“一画”：如图5，连接两定点得到定线段OC. ①以定线段OC作为平行四边形的边，通过“平移线段法”将定线段OC平移到所给抛物线与直线BC所夹的两个区域中，定线段两端点O，C恰好落在这两条图象上的点即为两个动顶点，如图6、图7；②以定线段OC作为平行四边形的对角线，取线段OC的中点画直线，直线与所给定的抛物线及直线BC相交，并且这两个交点所连线段恰被定线段的中点平分，这两个交点即为所确定的动顶点，这样可确定平行四边形，如图8、图9.

“二算”：假设存在点P在抛物线上，设点P坐标为[（m，-12m2+92）]，可得直线BC解析式为[y=-2x+6]，设点Q坐标为[（n，-2n+6）]. 当OC为边时，如图6、图7，依据平行四边形对边PQ与OC平行且相等，可得[n-m=1 ，（-2n+6）--12m2+92=4，]解得[m=2+13，n=3+13]或[m=2-13，n=3-13，]所以點P坐标为（[2+13，-213-4]）或（[2-13，213-4]）. 当OC为对角线时，如图8、图9，依据平行四边形对边OP与CQ平行且相等，可得[-m=n-1，4-（-2n+6）=-12m2+92，]解得[m=2+13，n=-1-13]或[m=2-13，n=-1+13，]所以点P坐标为（[2+13，-213-4]）或（[2-13，213-4]）.

综上，满足条件的点P坐标为（[2-13，213-4]）或（[2+13，-213-4]）.