例析网格背景下的相似题

王友峰

以网格为背景的相似三角形问题是中考的热点. 解决这类问题，需要依据网格的特征，并结合相似三角形的相关知识来分析和思考. 下面结合近两年中考题举例介绍此类问题的特点和解题思路.

一、考查相似三角形的判定

例1 （2022·浙江·丽水）如图1，在6 × 6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，作一个与△ABC相似的格点三角形，相似比不等于1.

解析：要作一个与△ABC相似的格点三角形，可以把这个三角形放大到原来的2倍，如图2，延长CB到D，使CD = 2CB，延长CA到E，使CE = 2CA，易知点E在格点上，得所求作的△EDC，其三边长为[22]，4，[210]. 是不是满足条件的相似三角形只有这一种呢？显然不是，原△ABC的三边长为[2]，2，[10]，三边之比为1∶[2]∶[5]，在这个6 × 6的网格图中，满足条件的最小三角形的三边长为1，[2]，[5]；另外，与最小三角形相似比为[2]的三角形的三边长为[2]，[22]，2[5]；与最小三角形相似比为[5]的三角形的三边长为[5]，[10]，[5]；与最小三角形相似比为[3]的三角形的三边长为[3]，[32]，[35]；与最小三角形相似比为[10]的三角形的三边长为[10]，[20] = 2[5]，[50=52]. 这些三角形均满足要求，同学们可以自己尝试画一下.

点评：网格图中判定相似三角形，一般是运用“三边成比例的两个三角形相似”这一判定方法. 当然，本题中的△ABC中含有一个135°的特殊角，也可以考虑“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定方法.

二、考查三角形的位似

例2 （2023·四川·遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形. 在图3所示的平面直角坐标系中，格点△ABC，△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（）.

解析：根据位似的性质，可知对应点所在直线的交点就是位似中心. 如图4，直线AD，CF，BE的交点为（- 1，0），则位似中心为（- 1，0）. 在实际解题中只要找出两组对应点所在直线即可，比如直线AD和BE.

点评：根据网格图的特性，直线AD是网格图中小正方形对角线所在的直线，直线BE就是x轴，准确画出这两条直线，就可以得出位似中心. 当然，本题也可以直接求出两条直线的表达式，再求交点坐标.

三、考查相似三角形的性质

例3 （2022·江苏·镇江）如图5，点A，B，C，D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（）.

A. 2 B. [73] C. [625] D. [925]

解析：由AB[?]CD可得△AOB ∽ △DOC，则[AODO=ABCD=23]，所以[AOAD=25]. 又因为AD = 5，所以AO = 2，故可得答案为A.

点评：利用网格图中具有天然的平行线的条件，很容易发现相似三角形，再利用相似性质解题就很容易了. 当然，本题也可以使用等腰三角形的知识解决问题，这里提供解题思路供同学们思考，如图6，将BC向左平移两个单位长度得AE，可得AE[?]BC，AD = DE = 5，可得∠DAE = ∠DEA，易得∠DAE = ∠DOC，∠DEA = ∠DCO，所以∠DOC = ∠DCO，DO = DC = 3，故AO = 2.

四、考查相似三角形的综合运用

例4 （2022·江苏·宿迁）如图7，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M均为格点. 图中是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P，使AM2 = AP·AB，写出作法，不用证明.

解析：要使AM2 = AP·AB，容易想到“母子型”相似三角形，即△AMP ∽ △ABM，故只要有∠AMP = ∠ABM即可. 考慮构造等弧所对的圆周角相等，如图8，连接OA，BM，利用勾股定理或矩形的旋转作格点线段MC⊥OA，延长MC交☉O于点D，根据垂径定理可得[AD]= [AM]，得圆周角∠AMD = ∠ABM，MC与AB的交点即为点P，再由∠MAP = ∠BAM，得△AMP ∽ △ABM，易得AM2 = AP·AB.

点评：基本图形的积累意识，对于综合题的解决很有帮助. 上面的解法利用网格图画出垂线，从而利用垂径定理解决了角相等的问题，为构造“母子型”相似三角形创造了条件. 本题还可以这样思考，因为小正方形的边长为1，所以AM = 2，AB = 4[2]，这样由AM2 = AP·AB，直接可得AP = [22]，即P就是线段AB上以A为顶点的小方格的对角线的交点.