数形结合探究一次函数问题

申小兰

真题呈现

例 （2022·广西·柳州）如图1，直线[y1=x+3]分别与[x]轴、[y]轴交于点[A]和点[C]，直线[y2=-x+3]分别与[x]轴、[y]轴交于点[B]和点[C]，点P（m，2）是△[ABC]内部（包括边上）的一点，则[m]的最大值与最小值之差为（ ）.

A. 1      B. 2        C. 4        D. 6

解析：如圖2，由于[P]的纵坐标为2，说明△[ABC]内部（包括边上）的一点都满足条件，而问题是如何探究m的最大值与最小值之差. 观察图象容易发现，当点P（m，2）在直线[y2] = -x + 3上时，[m]取最大值，此时有[2=-m+3]，解得[m=1]；当点P（m，2）在直线[y1] = x + 3上时，[m]取最小值，此时有[2=m+3]，解得[m=-1]. 因此，[m]的最大值与最小值之差为1 - （-1）  =  2. 故选B.

反思：解决本题的关键是抓住形的魅力. 点P（m，2）是△[ABC]内部（包括边上）的一点，在纵坐标为定值2的情形下，点P在右边界上时，[m]取得最大值；点P在左边界上时，[m]取得最小值. 根据点在直线上，把点的坐标代入直线的解析式，由“形”到“数”，即可获得答案.

变式拓展

变式1：保持已知条件不变，试求△[ABC]的面积和BC边上的高.

解法1：易得点A，B，C的坐标分别为（-3，0）（3，0）（0，3），则[S△ABC=12AB?OC=12×6×3=9]. 在[Rt]△[OBC]中，由勾股定理可得[BC=32]，设BC边上的高为h，则有[h=2S△ABCBC=1832=32].

解法2：根据勾股定理求得[AC=BC=32]，则[AC2+BC2=（32）2+（32）2=36=AB2]，由勾股定理的逆定理可得∠ACB = 90°，因而BC边上的高AC为[32].

解法3：由OC = OA = OB = 3，可证△ABC为直角三角形，且∠ACB = 90°，因而AC就是BC边上的高，由勾股定理可得[AC=32].

变式2： △ABC是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴.

若将点P的坐标变为P（2，m），其他条件保持不变，则[m]的最大值与最小值之差为 . （答案为1）

变式3：若将点P的坐标变为P（-2，m），其他条件不变，则[m]的最大值与最小值之差为 . （答案为1）

分层作业

难度系数：★★ 解题时间：2分钟

1. 如图3，直线[l： y=-23x-3]与直线[y=a]（[a]为常数）的交点在第四象限，则[a]可能在（      ）.

A. [1

C. [-3≤a≤-2]          D. [-10

难度系数：★★★ 解题时间：4分钟

2. 如图4，已知点[A（-2，3）]，[B（2，1）]，直线[y=kx+k]经过点P  [（-1，0）]. 试探究：直线与线段[AB]有交点时[k]的变化情况，猜想[k]的取值范围是 .

3. （2023·四川·自贡）如图5，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上. 小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家. 小亮离家距离与时间之间的关系如图6所示. 下列结论错误的是 .

A. 小亮从家到羽毛球馆用了7分钟

B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米

C. 报亭到小亮家的距离是400米

D. 小亮打羽毛球的时间是37分钟