从一道竞赛题窥圆锥曲线定值问题

［摘  要］ 研究者发现圆锥曲线定值问题受命题人的青睐，已经成为圆锥曲线命题中的一类热点问题. 文章从一道竞赛题中发现椭圆中两直线的斜率之比为定值，并由此通过变式进行拓展研究，察觉解决椭圆中有关“斜率”的定值问题在于巧用特殊条件建立等量关系.

［关键词］ 圆锥曲线；椭圆；斜率；定值

问题呈现

（2018年全国高中數学联赛重庆市预赛）设椭圆C的左、右顶点为A（-a，0），B（a，0），过右焦点F（1，0）作非水平直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记直线AP，BQ的斜率分别为k，k，试证：为定值，并求此定值（用a的函数表示）［1］. 题型反思1 过椭圆焦点的直线与椭圆相交于两点，由椭圆的左、右顶点分别引出两条过两交点的直线，则这两条直线的斜率之商为定值. 解决这类题目，只需先设过椭圆焦点的直线方程，并将其与椭圆方程联立，得出两交点纵坐标的和与积之间的关系；再设两直线斜率作商，化简计算，求得定值.

笔者发现圆锥曲线定值问题受命题人的青睐，已经成为圆锥曲线命题中的一类热点问题，正如原题，可将其继续变式，研究一下椭圆中有关“斜率”的定值问题.

我们知道，一般椭圆的焦点是在椭圆内部且在x轴上的具有特殊意义的点，除了两个焦点外，原点作为椭圆的对称中心，也是在椭圆内部且在x轴上的具有特殊意义的点. 故笔者考虑作一条过原点与椭圆相交的直线，看看在这样的图形中是否存在着与斜率有关的定值.

题型反思2 从变式题1到变式题2，过焦点的直线与椭圆相交于两点变成了过原点的直线与椭圆相交于两点，由椭圆的左、右顶点分别引出的过两交点的两条直线变成了由椭圆上一点引出的过两交点的两条直线，两条直线斜率之比为定值也变成了两条直线斜率之积为定值，这里我们可以将变式题1的A，B两点看成一个点P.由于此题的两点在过原点的直线上，其横、纵坐标具有特殊性质，因此不再联立直线方程和椭圆方程，而是直接利用这一特殊性质设两交点的坐标，进而表示出两直线斜率之积. 再依次将三点的坐标代入椭圆方程，用点差法找到代数关系，进一步化简计算，证得直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值.

上述证明再次验证了笔者的想法，给了笔者深入研究的信心. 若作一条不过原点且与椭圆有两个交点的直线，在这样的图形中是否存在与斜率有关的定值呢？

变式题3 设不过原点O的直线与椭圆C：+=1（a>b>0）相交于A，B两点，点P是椭圆C上任意一点且线段AB被直线OP平分（其中x≠x且x≠0），则直线AB与直线OP的斜率之积为定值e2-1.

题型反思3 从变式题2到变式题3，过原点的直线与椭圆相交于两点变成了不过原点的直线与椭圆相交于两点，两交点连成的线段被原点平分也变成了两交点连成的线段被椭圆上一点与原点连成的直线平分. 这里我们可以看到，当x轴上的取点更加一般化后，椭圆上的取点更加特殊了. 对于此题，先巧用中点性质建立椭圆中特殊点（点P）的纵、横坐标之商（OP的斜率）与两交点纵、横坐标之和的商的等量关系；再将两交点的坐标依次代入椭圆方程，用点差法找到代数关系，进一步化简计算，证得直线AB与直线OP的斜率之积为定值.

结束语

回顾上述三道变式题，笔者发现解决此类定值问题的关键在于巧用特殊条件建立等量关系，如变式题1、变式题2、变式题3，分别利用的是焦点、原点和中点这样特殊点的性质建立起的等量关系.

双曲线和抛物线作为另外两类圆锥曲线，是否也存在有关“斜率”的定值呢？除了有关“斜率”的定值问题外，圆锥曲线中还有哪些常见的定值问题？有兴趣的同行可以继续研究下去.

参考文献：

［1］ 中国数学会普及工作委员会. 2020高中数学联赛备考手册［M］. 上海：华东师范大学出版社，2020.

基金项目：珠海市教育科研“十四五”规划第二批（2022年度）课题 “高中数学课前导学有效性研究”（2022ZHGHKTG032）.

作者简介：黄玉聪（1996—），硕士研究生，从事中学数学研究工作，曾获全国大学生数学建模竞赛本科组一等奖、全国大学生数学竞赛（数学专业）二等奖.