探寻本质 发展素养——以《11～20各数的认识》一课为例

文 周卫东（特级教师）

“11～20各数的认识”是第一学段“数与代数”领域的一个重要内容。依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）中“学业要求”的相关描述，其具体学习目标定位在“能用11～20的各数表示物体的个数或事物的顺序；能认、读、写11～20各数；能说出不同数位上的数表示的数值；形成初步的数感”。围绕这些学业要求，顾悦老师的《充分感悟“十”在计数中的作用》（后简称设计一）和张岚老师的《关注学生问题探寻知识本质》（后简称设计二），都能认真研读和落实新课标的教学要求，能从学生的学习特点、认知特点出发，进行精准而生动的教学设计，努力培养学生的核心素养，以达到学科育人的目标。

一、突出知识本质，形成结构理解

新课标中明确指出：“教学内容是落实教学目标、发展学生核心素养的载体。在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化数学知识体系。”“强化对数学本质的理解，关注数学概念的现实背景，引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构。”数学课中“数学味”的彰显表达在对知识本质和结构的把握，两则教学设计在这方面下足了功夫，可谓精彩纷呈、独具匠心。

1.注重“十”的生成

在数学史中，数1、2、5、10被称为“结绳数”，是形成自然数概念的“标准数”。其中，10是第一个明显体现出“数位”这一概念的数，是理解位值制记数的重点。两则设计都非常重视对10的教学，选择了对“12”进行重点研究，力求实现由感觉到感受再到感悟的过程。设计一精选了两种研究材料并提出了具体的学习路径，“摆12根小棒，要让大家一眼就看出”“在草莓图上圈一圈，也让大家一眼就看出来是12个”。学生充分调动已有经验，着力聚焦“一眼就看出12”的要求，逐步形成“把10个看成一个整体比较简单、快捷”的学习认知。设计二则通过三个层次展开有结构的研究，先让学生自主摆12，在多种摆法对比的基础上形成“1捆是10根”“先摆1捆，再摆2根”的认知；再提供“古人摆12”的数学史，让学生感受古人“用10个小石子换1个大石子”的智慧，巩固已经形成的十进制的经验；最后呈现日常生活中计数的事实，再次强化学生对“十进制”计数法普遍性的认同。

2.注重“十几”的整体建构

“11～20各数的认识”是学生第一次自主建构“位值制”，这样的建构不是一蹴而就的，需要经由对“十几”的整体感知进一步“提纯”经验。在着力以12的研究作为突破点之后，两则课例均重视了对“十几”的整体建构，进一步通过观察和对比，引导学生把握“十几”的特征，即“1个十和几个一合起来就是十几”。设计一中通过开放式任务“想一个十几的数，并用小棒表示出来”，出示了多位学生自主摆成的作品，通过问题引领，促成学生对“十几”形成整体性的认识；设计二中亦通过“研究二”引导学生经由“想一想”“摆一摆”“说一说”这样三个有层次的活动，在动手实践中深化对“十几”的认识，并借助几何直观，完整呈现出11～19各数的小棒图，引导学生“横着、竖着观察”，进一步深化对“十几”含义的理解，感受“位值制”的价值。

3.注重“几十”的迁移

“20以内的数”是后续“100以内的数”乃至更大自然数认识的“种子”，而生长的关键点是9、19等十进制计数系统下的“拐弯数”。两则设计都注重了对“拐弯数”的探究，引导学生在探索中自然生长出“几十”，为后续学习打下了基础。设计一让学生进行想象：“如果给19根再添上1根是多少？”“想一想，20根可以怎样摆？”“为什么要这样表示？”引导学生在想象中感受每满十都要捆成一捆，有几捆就是几个十。而设计二则安排了一次“拿珠子”的活动，“如果这里有10颗1串和1颗1颗的珠子，请你拿出19颗珠子，想想可以怎样拿？”引导学生既可以顺向先拿10颗再拿9颗，也可以先拿2串再拆开拿走1颗珠子。这样的教学，着力在学生认知的拐点处、思维的难点处，促进了自然数知识结构的完整建立。

二、重视抽象过程，培养数学眼光

“抽象性”是数学这门学科向教育者发出的“核心指示”。抽象，意味着一切数学活动（包括数学学习与教学活动）都指向“理念世界”，而非“经验世界”。我们要创造条件，努力让学生在经历逐渐抽象的过程中，培养其数学眼光。

1.在数序感知中抽象

自然数的概念有着丰富的内涵，在教学的过程中不仅要注重让学生经历数概念的形成，感受其基数含义，也要引导学生从“计数的数”方面入手，感知其“序数”含义。正如弗赖登塔尔所言：对于数学自身的发展而言，“计数的数”（序数）意义更大，无论从历史的、发展的还是从系统的角度来看，数的序列都是数学发展的基石。两则设计都在有意识地引导学生关注数的顺序，如设计一中引导学生将本节课学习的数请到数轴上，从而将数纳入到一定的结构中，并设计了“找邻居”等儿童化的活动，引导学生感受数之间的联系。设计二中也设计了两次感知活动，第一次是用小棒图直观呈现学生以往认识的“1～9”和本课认识的“11～19”，引导学生在观察中感受数的结构与联系；第二次则是通过对“尺子上的数”和“电梯上的数”的观察，结合学生的生活经验进一步感知数的顺序。这样的活动不仅加深了学生对数的含义的理解，也进一步感知了数的顺序。

2.在问题导学中抽象

爱因斯坦曾说过“提出一个问题比解决一个问题更重要”。提出问题是需要想象力的，标志着真正的进步。用属于学生的真实问题激发学习需求，引发认知失衡，激发主动建构。设计一在课末设计了学生提问的环节，努力把学习从课内延展到课外；而设计二在课前安排了学生提问的环节，然后把问题分成了三类，用问题激发学生积极探究的兴趣和主动探究的欲望，为深度学习打下基础。两则设计都能围绕核心问题进行教学，即“摆12根小棒，怎样摆能看得很清楚”“今天学习的这些数和1、2、3……10有什么联系？”在凸显“十”作为一个新的计数单位的作用，体会“十进制”的美妙与价值的同时，关注知识之间的联系与区别，加深数的记忆，丰富数的感悟，从而建立完整的知识结构。

3.在融入生活中抽象

数学的眼光来源于对现实对象的抽象，通过“剥离”或“去掉”真实对象的其他属性，进而找到其中蕴含的数量关系和空间形式。两则课例都注重从学生的现实生活中取材，在学习了11～20各数后让学生带着收获重新回到现实生活中。两则设计中出示了多种“10个一打包的物品”，让学生从不同角度体味这种设计的便捷性，体会“十进制”思想在日常生活中的价值，这一种“反观”不仅让学生感知到数学在生活中是无处不在的，感受到数学在生活中的价值，更让学生在审视生活现象时多了一份理性思考，培养其逐步学会以数学的眼光来洞悉事物的本质。

三、经历学习过程，促进意义建构

新课标中明确指出：“通过丰富的教学方式，让学生在实践、探究、体验、反思、合作、交流等学习过程中感悟基本思想、积累基本活动经验，发挥每一种教学方式的育人价值，促进学生核心素养发展。”遵循这一要求，两则课例在设计中都引导学生经历“有过程”的学习，从而更好地习得知识、形成素养。

1.多样化材料导学

皮亚杰曾说：“数不是某个东西的名称，它是事物与事物之间的相互关系，表明的是一个物体在一个序列中的位置以及一组物体中包含了多少个物体，这种关系不是直接用语言来教的，而是儿童通过感知、操作活动在动作中体验、发现、创造的。”自然数概念的形成必须经过实际操作，在操作中感悟、体验。两则设计都努力做到这一要求，均借助小棒这一直观材料，通过启发学生把10根小棒捆成一捆，在操作活动中深化对“10个一就是1个十”的理解，并提供了草莓图、石子、打包好的鸡蛋和纸巾等生活化素材，素材不断地发生变化，但不变的是数满10个就聚在一起，10个一是1个十，让学生在多元的“结构化”材料中，经由丰富的操作体验逐步理解抽象的“数位”，进而体会十进制思想。

除了结构化的操作材料，两则设计也都引入数学史作为资源引领学生感受数学知识的发展脉络，体会其中蕴含的智慧和合理性。设计一在课的最后引入了中国古老的甲骨文，从甲骨文中10的写法让学生感悟“一捆”，将漫长的历史和今日学生之探索遥相呼应，让学生深感震撼。设计二则在“探索12”的过程中，有机融入“古人摆石子计数”的故事，以“1个大石子换10个小石子”，让学生进一步感知“位值”在计数中的美妙。

2.体验性任务促学

一年级学生的思维以具体形象为主，有效的体验性任务有利于学生达成从直观动作思维到具体形象思维，最后再到抽象思维的进阶，也就是对计数单位“十”的理解。两则设计都注重设计体验性的操作任务，整个学习活动以“12怎么摆”这一体验性活动为主体，展开自主探索。此外，两则设计也都非常关注“数数”活动。充分的“数数”活动是学生形成“数概念”的基础，有利于对“数”概念的深刻理解。例如，在探究12的过程中，均让学生数出12根小棒，通过1根1根地数，学生知道了表示某一集合的数量，通过2个2个地数或5个5个地数，丰富了对“数”的认识，通过把10根小棒捆成一捆再计数的方法，感受10参与计数的优越性。此外，数数活动中也渗透了对应的数学思想。两则设计都能突出“点数”（手指着一个物体，口中说出一个数）的作用，让学生建立起事物与事物之间的对应关系，感受“一一对应”的原则，为后续函数的学习储备经验与方法；数的过程中“不遗漏、不重复”，也是在培养学生“有序地观察”“有序地思考”等数学思想和方法。

3.反思性问题深化

数概念的形成基于学生直接或间接的认知经验，但又不能完全依赖经验，也需要儿童理性的思考。两则教学设计均在体验性活动后有意识地通过反思性问题将学生的思维活动引向深水区。例如，设计一中，在第一次摆10根小棒后，就引导学生通过“都是10根，但摆得不一样。你更喜欢谁的摆法？为什么？”引导学生感受“位值”的价值。设计二则在“摆十几”这一操作活动结束后引导学生进行了三次有价值的比较。第一次比较，是学生在摆12的过程中出现了不同的摆法，在讨论中突出一捆小棒很方便，明晰计数单位“十”的简便性；第二次比较，是学生在自主用小棒摆了十几以后观察，大家都在数零散的单根小棒，没有数整捆的小棒，让学生再次体会到1个十的方便；第三次比较，是在学生自主摆出十几后，整体进行比较，发现都有一捆小棒，对应1个十，零散的小棒对应几个一。实践之后的反思促进学生的经历转变为更具有价值和生长性的经验，从而促进了深度理解的产生，有效发展了学生的数感。