2020年全国高中数学联赛(A卷)一道解析几何题的几种新解法

郑建滨

(福建省顺昌县第一中学,福建 南平 353200)

2020年全国高中数学联赛一试试题(A卷)第11题,考的是双曲线中的等腰直角三角形面积的最小值问题.虽然已过去三年,但经典永远不会过时.最近笔者在给学生做竞赛辅导时,又重温了这道经典试题,并且在已有的解法上,又提出了自己的几种新解法.

1 赛题再现

2020年全国高中数学联赛(A卷)一试第11题原题如下:

在平面直角坐标系中, 点A,B,C在双曲线xy=1上, 满足ΔABC为等腰直角三角形,求△ABC的面积的最小值[1].

2 已有解法

图1 双曲线及其等腰直角三角形

①

②

③

由①×②, 并利用③, 得

所以由基本不等式, 得

(s2+t2)4=[-s2t2(s2-t2)]2

④

考虑④的取等条件, 有2s2t2=(s2-t2)2,

解法2同解法1得到①式和②式,把a作为常数, 解出s与t.

由均值不等式, 得

3 新解探究

[u(1-4u2)]2=u2(1-4u2)(1-4u2)

由|AB|=|AC|, 知

从而得到:

分别代入xy=1,得

因为△ABC是等腰直角三角形,

通过对联赛中经典解析几何试题的多解探究和深入研究,可以发散学生的数学思维,锻炼学生的思维品质,让学生通过解一道题,达到会解一类题的教学效果.同时,让学生体会到了不等式、导数、三角函数、复数、几何等知识和方法在解析几何最值问题中的应用.此外,通过讲解与训练,学生的数学运算、逻辑推理等素养得到了一定程度的提升.