绳牵引腰部康复训练并联机器人的建模和控制仿真

江铭煜 李宏胜 王宇奇

摘要：随着腰部康复需求增加，为了给患者提供更有效的治疗服务，本文设计了一种适用于腰部康复训练的四绳三自由度绳牵引并联机器人。基于所设计的机器人结构，建立其运动学和动力学模型；针对牵引绳拉力问题，将机器人绳拉力分解为有效驱动力和内力，从而确保机器人在运动过程中满足动力学方程；针对康复训练机器人需要对位置和力同时控制的要求，设计了一种力/位混合控制律，并以典型人体腰部康复训练轨迹为实例进行仿真实验。结果表明，所设计的机械结构可行，所设计的控制律正确、可靠，力/位控制精度良好。

关键词：绳牵引并联机器人；康复训练；数学建模；力/位混合控制；仿真分析

中图分类号：TP242 文献标志码：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.11.008

文章编号：1006-0316 （2023） 11-0053-09

Modeling and Control Simulation of a Cable-Driven Waist Rehabilitation Parallel Robot

JIANG Mingyu，LI Hongsheng，WANG Yuqi

（ School of Automation， Nanjing Institute of Technology， Nanjing 211167， China ）

Abstract：With the increasing demand for waist rehabilitation， in order to provide more effective treatment services for patients， a four-cable three-degree-of-freedom cable-driven parallel robot for waist rehabilitation training is designed in this paper. Based on the designed robot structure， kinematics and dynamics models are established. To solve the problem of traction cable tension， the robot cable tension is decomposed into effective driving force and internal force， to ensure that the robot meets the dynamic equation during motion. A force-position hybrid control law is designed to meet the requirements of simultaneous control of position and force for rehabilitation training robots， and the simulation experiment based on a typical human waist rehabilitation training trajectory is conducted. The results indicate that the designed mechanical structure is feasible， the designed control law is correct and reliable， and the force-position control accuracy is good.

Key words：cable-driven parallel robot； rehabilitation training；mathematical modeling；force-position control；simulation analysis

隨着机器人技术的蓬勃发展，机器人与康复医疗的结合成为当今社会的研究热点[1]，由此衍生出了康复机器人。康复机器人通过重复性牵伸或重复性主动式训练来改善患者肌肉的运动功能，其有效性在康复治疗实验中得到了证明[2]。与传统的康复机器人相比，绳牵引康复训练并联机器人具有模块化程度高、柔顺性好、易拆装、工作空间大等优点[3-4]，可适用于不同体型的患者，使康复训练方法更具多样化和个性化[5]。

绳牵引康复训练并联机器人作为一种新型康复机器人被国内外众多学者进行了深入研究，并取得了一些成果。Niyetkaliyev等[6]设计了一种新型五自由度混联式机器人，采用刚性连杆和绳索结合的机构设计，实现了人体关节与外骨骼关节的匹配，仿真结果证明了其运动学模型的有效性。Lamine等[7]设计了一种绳牵引腿部康复训练机器人，并针对绳系结构提出了一种绳拉力优化算法，该算法使得不同身高的患者训练时所需的绳拉力可以达到最小值，结果表明该康复机器人具有良好的普适性。Cafolla等[8]设计了一种可家用的绳牵引上下肢康复机器人CUBE，在样机控制实验中表现出良好的舒适性。Ferdaws Ennaiem等[9]设计了一种用于上肢康复的平面三自由度并联机器人，并设计了一种扭矩控制器，仿真实验表明该控制器可以有效减小跟踪误差。李想[10]设计了一种用于髋关节康复训练的绳牵引并联机器人，采用了力位混合控制策略和微分先行PID控制算法，并加入了安全监控控制算法，通过仿真结果证明了所设计的控制方法具有良好的鲁棒性。Zhao等[11]采用绳牵引机器人和外骨骼结合的方案，设计了一种双套索运动传输结构，提出了一种基于模糊集理论的最优自适应鲁棒控制方法，仿真实验验证了其良好的跟踪特性。Xie等[12]设计了一种手臂和手康复机器人，采用了外骨骼驱动手指关节、绳牵引手臂的结构，并提出了一种基于肌电图的导纳控制器，实验结果证明其相比于基于力传感器的导纳控制具有更好的平滑性。徐子薇等[13]设计了一种绳牵引柔性外骨骼康复训练装置，并在机器人的导纳控制器中加入了预测模型，实验结果表明预测模型可以实现步态纠正所需力的跟踪，并灵活调整辅助频率。

上述参考文献研究成果大多忽略了绳索弹性动力学模型，为了保证腰部绳牵引康复训练机器人的运动控制的准确性和安全性，本文建立了其运动学模型和包含绳索弹性的动力学模型，并采用力/位混合控制策略。通过仿真分析验证了所建立的数学模型的正确性及所设计控制策略的有效性。

1 机器人系统描述

人体腰部运动通常为前屈后伸、左右侧移和转动[14]，分别对应在机器人工作空间水平面的平移运动和绕垂直轴的旋转运动，共计3个自由度的运动形式。结合人体腰部结构和运动特性所设计的绳牵引康复训练并联机器人样机平台如图1所示。

其结构系统由方型铝型材、驱动系统、控制系统等组成，样机平台采用欧标4080L、8080L铝型材搭建，以保证平台的强度和稳定性。机器人采用高性能伺服驱动器，相应的伺服电机配备高分辨率编码器满足了控制系统的高性能和实时性要求。控制系统由控制计算机、EtherCAT实时工业以太网的伺服驱动器、滚珠丝杆、I/O模块、力传感器以及其它配套的电气控制系统组成。EtherCAT工业以太网总线支持多设备间的高速数据交互，极大提高了系统的可拓展性和可靠性，可很好地满足控制实时性的要求。

根据绳的单向受力特性，机器人必须实现冗余驱动，即机器人关节数需大于运动自由度数目，因此至少需要四根绳索才能保证实现对人体腰部3个运动自由度的完整约束。本文采用四根高强度的凯夫拉绳作为机器人关节连接动平台，牵引绳通过滑轮变向与驱动系统连接，由伺服电机控制绳索收缩和伸长，从而实现动平台平面内2个自由度的平动和1个自由度的转动（1R2T）。四根牵引绳两两呈中心对称分布，互不干涉，整体结构简洁有效，空间利用率高。

2 运动学建模

本文设计的腰部绳牵引康复训练并联机器人几何关系图如图2所示。

定义全局坐标系原点为机架底面正中心点O，建立全局坐标系O-XYZ。以动平台中心点P為原点，建立局部坐标系P-xyz，滑轮上绳引出点定义为 （i＝1， 2， 3， 4），在绳与动平台末端铰接点定义为 （i＝1， 2， 3， 4）。动平台位

置向量为 ，定义姿态角为 。

工作空间内绳长矢量 可表示为：

（1）

式中： 为原点到绳出点 的向量； 为全局坐标系到局部坐标系原点的向量； 为局部坐标系下点 相对于原点P的向量； 为局部坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵，其表达式为：

（2）

第i根绳长表达式为：

（3）

定义动平台绕Z轴旋转角速度矢量为 ，根据微分运动学原理，绳长速度矢量为 ，与动平台速度矢量 关系为：

（4）

式中： 为机器人速度雅克比矩阵，其中， （i＝1， 2， 3， 4）、 （i＝1， 2， 3， 4）为第i根绳的单位向量。

3 动力学建模与绳拉力分解

3.1 动力学分析

系统动力学建模主要包括三个部分，一是绳末端牵引的动平台。二是绳另一末端的驱动系统。三是绳索弹性动力学模型。

首先对动平台模型进行建模分析，动平台

由四根绳线牵引，考虑到使用的凯夫拉线直径小，强度大，因此可以忽略绳线质量。动平台的动力学方程可表示为：

（5）

式中： 为动平台的惯性矩阵； 为科氏力和离心力矩阵； 为广义外力向量； 为机器人的力雅克比矩阵，与速度雅克比矩阵 互为转置； 为绳索拉力。

驱动系统的动力学方程可以表示为：

（6）

式中： 为伺服电机轴转角矢量； 为电机轴上的转动惯量矩阵； 为等效粘滞系数矩阵； 为电机轴输出力矩到丝杆轴向力的

传动系数； 为丝杆导程； 为电机轴输出力矩矢量。

牛顿－欧拉方程仅适用于刚体动力学模型，绳索是有限刚度关节，考虑到应用对象的特殊性（患者），保证控制的准确性和安全性，建立如下绳索弹性动力学模型[15]。

将绳索视为绳－弹簧模型，依据胡克定律，绳索上拉力可表示为[16]：

（7）

式中：K为绳索刚度系数矩阵。

绳索的弹性形变量为：

（i＝1， 2， 3， 4）       （8）

式中： 为原绳长； 为绳受力形变后的绳长。

将式（7）代入式（5）、式（6），可得出机器人整体动力学模型为：

（9）

3.2 绳拉力分解

在实际工程应用中，不同于刚性连杆的可双向受力特性，绳仅能承受正向拉力。为确保动平台运动过程中绳始终保持张紧状态，文献[17]提出了一种基于最小P范数解的优化绳拉力分布方法，并证明了其可行性。本文采用该方法对绳拉力进行分解，该方法的优点在于控制简洁，且动平台的力轨迹连续。

受绳自身物理特性和电机输出功率的限制，

绳拉力 （i＝1， 2， 3， 4）需保持在一定范围内，

且实际康复训练时绳对人体腰部的有效驱动力远小于绳能承受的最大拉力。考虑到患者的安全性和绳拉力分配的合理性，因此对绳拉力进行如下约束：

（10）

式中： 为预设的期望绳拉力最小值； 为期望绳最大拉力值。

四绳三自由度绳牵引并联机器人的机构驱动数目多于末端自由度，为冗余驱动，由式（5）可得：

（11）

（12）

（13）

（14）

（15）

式中： 为矩阵方程的特解项，是动平台的有效驱动力； 为矩阵方程的通解项，是运动过程中维持绳张紧的内力； 为力雅克比矩阵 的伪逆[18]； 为平均力系数。

具有如下性质：

（16）

即在运动过程中，绳内力不会对动平台的位姿产生影响。

4 控制方法的设计

为保证康复训练的效果与安全性，对康复训练机器人的轨迹跟踪和绳拉力跟踪的控制精度提出了要求[19]。整体控制策略如图3所示，本文采用PD控制律实现机器人轨迹跟踪，采用PI控制律实现绳拉力跟踪。

系统控制律如下：

（17）

（18）

（19）

式中： 为位置控制律，位置闭环由伺服电机的编码器实现；伺服电机期望转角 可由位姿Xd逆解求得，高精度的编码器反馈伺服电机的实际转角 ； 为电机期望转角速度； 为电机需克服的动平台动力学负载，主要用于克服动平台的惯性力和阻尼力等[20]； 为力控制律，力闭环由拉力传感器实现反馈； 、 分别为位置闭环比例和微分控制系数； 、 分别为力闭环比例和积分控制系数； 、 、 、 均为对角正定增益矩阵。

5 仿真结果与分析

5.1 系统参数

使用Matlab软件对所设计的控制律和系统模型进行仿真分析。动平台采用30：1缩比模型，仿真模型质量取成年人体重60 kg，绳出点oAi与铰接点pBi坐标、其他系统各项参数值如表1、2所示。

采用Matlab Simulink分别进行位置控制器和力控制器参数整定。整定后参数如表3所示。

5.2 往复运动实例

给定动平台初始位姿X＝[0 0 1155 0 0 0]T，设定动平台运动轨迹为沿X轴的往复运动，模拟腰部康复训练中的前屈、后伸动作，移动范围为-50～50 mm，周期为5 s，期望运动轨迹方程为：

（20）

由图4～6可知，动平台的期望轨迹和实际轨迹基本吻合，轨迹误差范围为1.7～2.6 mm，绳1、4长度变化趋势相同，绳2、3长度变化趋势相同，由于绳系布局非完全对称，同组绳长非完全相同，绳长变化曲线连续且平滑，符合运动学规律，间接验证了所建立的运动学模型的正确性。

图7显示的绳拉力变化曲线表明绳拉力在2 s后进入稳态，绳拉力变化平缓且连续。在运动过程中，各绳拉力始终处于17 N左右，符合期望的约束要求。图8为绳拉力误差曲线，绳拉力误差范围在±0.05 N内，力环控制精度良好。

5.3 转动运动实例

给定动平台初始位姿X＝[0 0 1155 0 0 0]T，设定动平台运动轨迹为绕Z轴的周期性旋转运动，模拟腰部康复训练中的转动动作，转动角度范围为-0.1744～0.1744 rad，周期为5 s，期望运动轨迹方程为：

（21）

由图9～10可知，动平台的转动角度变化曲线与期望角度曲线基本吻合，转动角度误差范围在±0.0141 rad内。

由图11可知，绳1、3长度变化曲线基本相同，绳2、4长度变化曲线基本相同，同组绳长完全相同，符合中心对称绳系布局的特征，绳长变化连续，符合运动学规律。

由图12可知，进入稳态后的绳拉力变化曲线连续且平滑，运动过程中，各绳拉力始终处于15 N左右，符合期望拉力约束要求。由图13可知绳拉力误差范围在±0.6 N内，力环控制精度良好。

5.4 圆周运动实例

给定动平台初始位姿X＝[50 0 1155 0 0 0]T，设定动平台运动轨迹为以原点O'＝[0 0 1155]为圆心的圆周运动，模拟康复训练中的复合平移运动，半径为50 mm，周期为5 s，期望轨迹方程为：

（22）

由图14～16可知，在两个周期的运动中，动平台沿X轴的运动轨迹与期望轨迹几乎完全吻合，误差范围为-0.5～0.25 mm，沿Y轴的运动轨迹误差范围为2.1～3.1 mm。由于启动时，动平台沿Y轴位移变化率较大，产生较大的拉力，因其产生的误差力环控制无法快速消除。运动中绳长变化连续且平滑，符合运动学规律。

图17表明，进入稳态后的绳拉力变化曲线连续且平滑，运动过程中，各绳拉力始终处于17 N左右，符合期望拉力约束要求。由图18可知绳拉力误差范围在±0.14 N内，力环控制精度良好。

上述仿真结果表明，在满足运动控制精度的条件下，位置控制环响应快速，力控制环精度高，所设计的力/位控制律是正确有效的，机器人运动控制系统是稳定可靠的。

6 结论

本文设计了一种四绳三自由度绳牵引腰部康复训练并联机器人机构模型，并建立了康复机器人动平台和驱动系统的数学模型。所建立的系统动力学模型考虑了绳索弹性，进一步考虑控制策略中加入力控制闭环，从而维持动平台运动过程中绳始终保持张紧。本文采用了基于电机转角和绳拉力反馈的力/位混合控制策略，Matlab仿真实验结果表明，所设计的运动控制策略能够有效跟踪典型轨迹的运动，并维持绳拉力始终为正，证明了其有效性。上述研究成果可为运动控制系统的软件设计、实时性和柔顺性控制提供研究基础。

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