巧类比 促生成

张志刚

摘要：“类比”在高中数学教学中有着重要的应用价值，是提高学生自主学习能力、发展学生创造性思维的重要途径.本文以“等比数列及通项公式”为例，呈现了类比教学在激发学生数学学习兴趣、提高学生自主学习能力等方面的优势，以期通过有效的类比发展学生终身学习能力，将学生培养成为有思想、乐探索、敢创新的新时代的人才.

关键词：类比教学；学习能力；创造性思维类比旨在将两个数学对象进行比较，从而找到它们相同或相似的属性，进而将探索已知数学对象的思想、方法、性质等迁移至未知对象中，以此化陌生为熟悉，提升学生学习信心，发展学生自主学习能力［1］.在数学教学中，类比推理一般分三步：一是寻找相似特征；二是用已知对象的特征推理未知对象的特征，形成猜想；三是验证猜想.在类比教学中，教师首先要创设一定的教学情境引导学生进行观察、比较，寻找两个对象相似或相关的属性，进而通过联想、类推、猜想、验证等过程发现新知识，掌握新结论.因此，在数学教学中，教师要从教学实际出发，将类比思想运用到数学教学中去，为学生创造条件和机会让学生主动、能动地学，让学生学会学习［2］.同时，通过类比引导学生将新、旧知识建立联系，逐渐完善与建构知识网络，提高学生的数学迁移能力.

笔者在教学“等比数列及其通项公式”时，以学生已有知识、经验为出发点，引导学生与等差数列相关内容相类比，取得了较好的效果，现将教学过程呈现给大家，仅供参考.

1教学简录1.1教学目标（1） 理解等比数列的定义及相关概念，掌握等比数列通项公式推导的方法；

（2） 能够灵活应用等比数列的通项公式解决问题；

（3） 通过类比，进一步感悟从特殊到一般的数学思想方法，提高学生自主学习能力，培养学生数学核心素养.

1.2教学重难点（1） 等比数列及相关概念；

（2） 等比数列通项公式及其公式的推导.

1.3教学过程环节1引入主题

问题1：已知数列{an}，其中a1=1，a2=2；数列{b_n}，其中b₁=2.对于任意i、j、m、p∈N*，i+j=m+p，均有a_ib_j=a_mb_p，求數列{a_n}和{b_n}的通项公式.

师：请大家思考一下，在探索等差数列相邻两项的关系时，我们是怎么处理的呢？

生1：先确定公差，然后再确定通项公式.

师：很好，对于数列{a_n}和数列{b_n}，任意相邻两项间存在怎样的关系呢？

在教师的启发和引导下，学生发现数列{a_n}和数列{b_n}任意相邻两项的关系为a_n+1=2a_n，b_n+1=2b_n.

师：显然a_n+1=2a_n，b_n+1=2b_n不同于等差数列的递推方式，这个就是我们今天要学习的主题—等比数列.

师：它与我们之前学习的等差数列有哪些联系呢？我们应该如何描述它？如何求它的通项公式呢？

设计意图：教师精心创设问题，引导学生回顾探索求等差数列通项公式的思路，发现问题1所描述的任意两项间的关系不同于等差数列的递推形式，由此点明主题.同时，教师引导学生思考其与等差数列的联系，引导学生与已有知识相类比，为新知探索指明了方向.

环节2新知学习

（1） 探究定义

问题2：对于数列{a_n}，其满足a_n+1=2a_n，即a_n+1/a_n=2，我们如何描述它的本质属性呢？

师：请大家思考我们是如何给等差数列下定义的，并尝试给等比数列下定义？

生2：对于数列{a_n}，若从第2项起，每一项与它的前一项的比都为一个常数，那么这个数列就是等比数列.

师：很好，对于这一常数，是否有什么限定条件呢？

生3：这个常数应该为非零的常数.

师：补充得很好，对于等比数列其任意一项都不能为零，即公比不能为零.

在此基础上，教师给出了等比数列的完整定义.

师：我们知道常数列是等差数列，那么它是否也是等比数列呢？

生4：不一定，若常数列中常数为0，那么它就不是等比数列.若常数不为0，那么它是一个公比为1的等比数列.

设计意图：引导学生运用类比思想给等比数列下定义.为了强调“公比q为非零常数”这一条件，教师除了在下定义时加以说明外，还引导学生辨析“常数列是否为等比数列”，由此启发学生利用反例加以说明，这样不仅促进了概念的深化，而且为后期利用分类讨论思想研究等比数列的求和公式做铺垫.

（2） 探究通项公式

师：根据等比数列公式可知，问题1中的数列{a_n}和数列{b_n}均为等比数列，我们应该如何研究其通项公式呢？

生5：在为等比数列下定义时，我们是结合的等差数列，那么在研究等比数列通项公式时，不妨与等差数列相类比，从两者的联系出发，寻找解决问题的方法.

师：非常不错的想法.请大家先回顾一下，之前我们是如何推导等差数列的通项公式的呢？对于等比数列我们又该如何研究呢？

在教师的启发和指导下，学生利用累乘的方法推导等比数列的通项公式为a_n=a₁q^n-1.

师：请大家用表格写出等差数列和等比数列的定义以及通项公式.（教师展示学生归纳结果，如表1）表1

設计意图：引导学生运用类比思想推导等比数列的通项公式，让学生体验自主探究的乐趣.探究后，教师引导学生利用表格的方式加以表述，以此借助表格的直观促进旧知的巩固和新知的深化，帮助学生建构完善的认知.

（3） 探究等比中项

问题4：对于等比数列的等比中项，你认为该如何定义呢？

有了前面的探索经验，学生主动联想等差中项的概念，进而通过类比总结归纳等比中项的定义，即若a，G，b成等比，那么有G²=ab，G就叫做a与b的等比中项.

师：对于如下两个问题，你能求解吗？（教师PPT给出问题）

例1求9和25的等差中项A和等比中项G.

例2数列{an}为等比数列，其中a₁=9，a₅=25，求a3的值.

对于问题1，学生根据公式轻松地给出了答案，在解决问题2时，教师启发学生思考a₃取正负值的问题.从学生练习反馈来看，大多学生得到了正确答案，最终解得a₃=15.不过也有少数学生在解题时犯了难，因此教师决定放慢脚步，让学生思考“这里的a₃为什么不能为负？”

生6：对于等差数列有a_m-a_n=（m-n）d，故猜想a_m/a_n=q^m-n.（证明过程略）

师：很好，根据这一结论是否可以说明a3取正数呢？

生7：可以，根据已知a₅/a₃=a₃/a₁=q²＞0，所以a3取正数.

师：由此你发现了什么呢？

在教师的启发下，学生积极思考、总结归纳如下结论：等比数列{a_n}中的奇数项{a_2n-1}和偶数项{a_2n}各项符号相同.

设计意图：引导学生与等差数列相比较，得到等比中项的定义.在例1基础上，教师设计了例2，其目的是引导学生通过对比体会等比中项的正负取值问题.学生与等差数列的性质相类比，发现a_m/a_n=q^m-n，通过验证、小结，最终形成结论，锻炼了学生的数学思维，提高了逻辑推理能力，发展了学生数学素养.

环节4练习巩固

在本环节，教师可以先让学生完善问题1，然后再给出一些与本课内容相关的内容，以便借助练习帮助学生巩固知识、深化知识，促进知识的内化.

对于问题1，结合已知易得b_n+1/b_n=a₂/a₁=2，数列{b_n}为首项为2，公比为2的等比数列，故其通项公式为b_n=2ⁿ.数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为a_n=2^n-1.

设计意图：教师带领学生回归问题1，通过问题1的解决提升学生学习信心，并培养学生将问题进行到底的优良品质.另外，教师结合本班学情精心设计一些与之相关的问题，促进知识的深化，提高学生数学应用能力.

环节5课堂小结

设计意图：本课以类比为主旋律，通过类比、猜想、归纳等过程形成了结论.在该环节教师可以引导学生以表格的方式呈现等差数列和等比数列的相关内容，以此通过对比凸显对象的本质属性，让学生在理解和记忆的基础上，可以灵活应用相关知识解决问题，提高教学有效性.

2教学思考数学是一门逻辑性较强的学科，数学知识之间具有一定的关联性.对于一些相似或相关的问题，教师可以利用类比法进行教学，将已有知识、经验、方法视为新知学习的动力源，通过知识的迁移不仅达到“温故而知新”的效果，而且可以培养学生思维的自觉性、严谨性、深刻性，让学生的学习能力在观察、探索、猜想、验证、归纳的过程中得到稳固的发展，有效提高学生的自主学习能力［3］.

等差数列和等比数列是高中数学的重点内容，两者有着明显的联系，为此在教学中，教师要利用好这种“联系”，通过创设问题情境引导学生进行深度的探究，以此让学生通过正确的类比，理解并掌握新知识、新结论、新方法，提高学生的创新意识，发展学生的创造性思维.

总之，在教学中，教师要认真地研读教材，研究学生，根据教学实际找到新知的生长点，通过有效的启发和引导诱发学生进行深度的思考，以此发展学生的思维能力，提高教学的有效性.参考文献：

［1］ 孙永毅.类比思想在高中数学教学中的应用研究［J］.中学数学：高中版，2021（3）：9192.

［2］ 丘慧霞.巧用类比法，令高中数学课堂更高效［J］.数理天地（高中版），2022（9）：5254.

［3］ 沈赛花.问题驱动下的高中数学课堂教学实践途径［J］.数学大世界（下旬），2019（12）：40.

［4］ 帅中涛.高中数学函数数学中渗透数字思想方法的应用［J］.读与写（教育数学刊），2012，9（3）：126.

［5］ 赵海平.类比思维在高中数学教学及解题中的应用探讨［J］.字周刊，2016（10）：8990.

［6］ 冯利琼.类比思想在高中数学中的应用［J］.黑龙江科技信息，2009（7）：141.