新课标下中职数学教学中渗透数学建模素养的实践研究

叶春暖

数学建模素养是数学六大核心素养之一。在数学教学实践活动过程中，指导学生建立数学模型，应用数学知识解决生产生活中的实际问题，这一过程能让学生体会到数学知识应用过程中所蕴含的数学概念、原理、思想和方法。文章从函数、三角函数和圆锥曲线三个方面给出了在中职数学教学实践中渗透数学建模素养的案例，以发展学生的问题意识和创新能力，促进学生数学核心素养的提升。

一、培养中职数学建模素养的意义

数学模型是针对实际问题，为特定的目的，通过抽象简化而得出数学公式、图形或算法的数学结构。数学建模就是根据实际问题，运用数学的语言和方法，通过抽象和简化建立相对应的模型，并对数据进行分析和数学运算，从而加以解决。数学建模为现实问题和数学之间建立了一座桥梁，在中职数学教学中渗透数学建模素养，其重要意义不言而喻。

1.有利于增强中职学生学习数学课程的兴趣。中职学校重视学生能力的培养，将贴近现实生活的数学建模案例引入数学教学过程中，使数学知识不再抽象枯燥，能够积极调动学生的求知欲望和探索欲望，从而促进学生学习有关数学知识的兴趣，有效地解决实际问题，提高学生对数学知识的理解能力，学生在学习数学建模过程中，体会到数学知识更多的实用性，对数学的学习兴趣会进一步得到提高。

2.有利于加强学生对数学理论知识的理解，实现从“学习数学”到“使用数学”的转化。在教学中渗透数学建模素养，使学生清楚数学是怎样具体地解决现实问题的，明白数学有用，并了解怎么用。从而使学生更加深刻地理解数学理论知识，并逐步形成“使用数学”的能力。

3.有利于学生提高创新意识和能力。现实中的实际问题通常没有现成的解决方法，需要学生根据实际问题进行抽象和简化，通过建立数学模型来解决，并且这些问题又往往没有统一的标准答案。这就鼓励学生打破常规，想出形式多样的解决方法，从而促进学生创新意识和能力的提高。

二、中职数学建模教学现况及面临的挑战

一是建模在高职高考中没有大规模出现建模内容，在高职高考中，若对数学建模不作要求，学生以高考为目的，自然对数学建模不够重视，从而对数学建模没有兴趣。

二是中职学校的学生对数学建模的知识不够清晰，数学基础薄弱，对数学建模涉及的知识内容不知如何调动，在这些方面存在一定的不足，大多数学生在自己熟悉的题目情境中，只能运用已知的数学模型来解题，却缺乏对同类题型进行适当转换模型的解题能力。

三是教师教学以知识本身为主，脱离具体的实际情境，中职学生较少实践数学建模活动，缺少对实际问题的分析与提炼，缺少体验将实际问题进行数学化的过程。学生鲜有机会亲身体会到数学在解决现实问题中的价值和作用，从而导致中职学生对数学建模活动显得力不从心，建模能力较弱。

但随着新课程改革的推进，对学生进行数学核心素养的教育已成为必然，而数学建模素养又是数学核心素养的重要组成部分，因此，教师在日常的教學中将数学建模素养渗透到学生中，不仅可以提高学生的数学核心素养，而且可以增强学生分析问题和解析问题的能力，从而提高中职学生的综合能力，促进学生全方面的发展。

三、数学建模素养渗透到中职数学教学中的案例

1.二次函数专题中的建模学习

数学建模学习是学生用数学理论知识来解决实际问题的一种方式。学生通过数学建模学习，体会到了解决实际问题的完整过程，感受到了数学的实用价值，增强了应用数学的意识，提高了数学实践能力。比如下面二次函数模型应用的数学建模学习：

如今，智慧农业日益深入人心，农产品的产量和质量都可以通过科学的种植而得到大幅度的改善。在果树栽培过程中，如果栽种密度过大，就会影响果树之间的透气性，不能保证光照充足，对果实的产量、品质都会造成较大影响。通过一些数据分析，某果园在种植面积不变的情况下，种植50棵的果树，平均每棵果树可产出果实300kg。若种植密度增加，每多种一棵果树，平均每棵果树的产果量就会相应减少5kg。那么，想要使果园的总产量达到最大，该如何安排种植果树数量呢？最大产量是多少kg？

模型分析：根据果园总产量＝ 平均每棵树的产果量×种植数量，得到总产量与种植数量的关系，进而根据总产量最大，确定种植数量。

模型假设：从样例中的数据信息来看，随着种植数量的增加，平均产量就会减少。种植数量每多种一棵树，平均每棵树的产果量就会减少5千克。

模型建立：设果园总产量为y千克，增种x棵果树，则种植数量为（50+x），每棵树的产果量为（300-5x）千克，依题意可得，

果园总产量为y=（50+x）（300-5x）

模型求解：根据二次函数的最值，

y= （50+x）（300-5x）

=-5（x-5）2 +15125

求解得到，当x=5时，y有最大值15125.

结果解释：果数种植数量为50+5即55棵时，果园产量最大，最大产量为15125千克。

教师在讲解二次函数求最值的相关知识时，可以介绍此案例。当然此解并非唯一方法，还可以假设果园总产量为y千克，种植x棵果树，则每棵树的产果量为［300－5（x－50）］千克，总产量为y= x ［300－5（x－50）］。

2.三角函数专题中的建模实验

在学习完三角函数专题中的正弦定理后，教师可以设计数学实验型的数学建模活动：测量东莞最高文物建筑——金鳌洲塔的高度，指导学生应用已学的数学知识来解决实际问题，利用自制测角仪和卷尺，运用三角函数的知识来测量金鳌洲塔的高度，同时也是在数学课中落实“大思政课”，学生在做数学实验的过程中，感受所在城市的悠久历史文化，激发学生爱国情感。

3.圆锥曲线专题中数学建模的研究性学习

数学研究性学习侧重于引导学生在学习过程中遇到的某一具体数学问题，对结论进行合理的猜测，通过自主探究或合作的方式进行

例如在学习立体几何和解析几何后，打篮球的同学提出了一个问题：当篮球放在平整的地面上时，阳光斜照下来，篮球的影子轮廓是不是一个椭圆呢？如果是，怎么证明它就是一个椭圆？

要解决这个问题，教师需要指导学生学习立体几何与解析几何，掌握椭圆第一定义和椭圆第二定义，椭圆的标准方程等知识，学生需要大量的知识储备。

计算机绘图进行分析，如图1所示，地面为平面α，假設球的半径为R，太阳光线与地面所形成的夹角为α并设过球心且垂直于光线的平面为β，其与地面α的交线为l，平面β截球面所得的大圆的直径为A′O′B′，二面角α-l-β的大小为θ，θ=π2 -α

指导学生使用解析几何和立体几何的知识来进行分析求解。

解题方法如下：点P是所求曲线上的任意一点，它是从圆O′上的点P′处直射而来的。则PP⊥β。由于PH和PP′都是球的切线，且PP=PH。作PQ⊥l于点Q，从而PP′PQ=sinθ=cosα，PHPQ=cosα①

所以，阴影轮廓线是一个椭圆。

需要补充上，H是定点。直线l是定直线，cosα<1，①式满足椭圆的第二定义，所以其为椭圆方程，其中H为椭圆的焦点，直线l为椭圆的准线，椭圆的离心率e=cosα。

那么还有没有其他不同的解法呢？教师引导学生再思考，让他们的思维发散开来。

数学建模的研究性学习对学生和教师的要求都比较高，有一定的难度，因为它不仅仅局限于简单地传授学生纯粹的书本知识。学生在研究性学习中，不仅要会运用学过的知识，在知识之间建立一定的联系，而且还要主动地去学习新的知识去解决问题，所以研究性学生要注重每个学生的差异，重视在学习过程中的评价，这就要求教师全程指导、学生协同合作去完成。

四、中职数学建模的几点教学建议

数学建模对中职学生数学应用能力和数学核心素养的提升具有重要作用，但是，数学建模素养的提升并不是一蹴而就，而是要循序渐进。教师在进行数学建模教学活动时，应注意以下几点：

1.合理选择案例

数学建模的教学案例应来自于学生的日常生活实际，是学生在学习或生活中遇到的实际问题，从而更加有效地调动学生学习的积极性，引发学生的求知欲和探索欲。同时，选择的案例也不能太过复杂，大大超出学生的能力范围的案例会使学生不能接受，最好涉及的数学知识是学生已经学习过并且掌握的内容，即使是新的内容也能较易寻求到学习途径并能学会，从而有利于开展数学建模的教学。

2.结合数学建模专题教学与日常常规教学

在进行数学建模教学活动时，既要有专题的集中学习，即针对某个知识点进行数学建模，学生体会“发现和提出问题——建立数学模型——分析和决问题”的数学建模活动完整过程，也要化整为零，在日常教学中对其中的某一步进行专项训练，积累经验。

3.教学方式灵活多样

由于数学建模内容丰富多样，从而数学建模教学不能只采用传统的讲授方法进行教学，我们可以进行多种教学方式，如建模学习、数学实验和研究性学习。

[课题项目：本文系广东省东莞市教育科研“十四五”规划2023年度课题“四维融合”视角下中职数学“品质作业”设计与实施研究的研究成果，课题编号：2023GH476。]

责任编辑 何丽华