三角恒等变换视角下构建圆锥曲线参数方程

摘 要：文章从三道高考圆锥曲线参数方程试题出发，结合课本知识，从三角恒等变换的视角将高考试题与课本知识紧密联系，揭开这类试题的相关背景，最后给出反思与相应的学习建议.

关键词：圆锥曲线参数方程；三角恒等变换；反思与建议

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）31-0006-03

收稿日期：2023-08-05

作者简介：金毅（1992-），男，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

以上三个问题属于求解轨迹方程的问题，且均为参数方程的形式，解决问题的过程并不复杂.从求解的结果来看，三道题目分别对应椭圆、双曲线和抛物线.从表象来看，似乎这些参数方程并未在我们学习的课本当中正式呈现，但在题目中却频繁考查，难道是高考的方向与教材脱钩？事实上，经过我们的分析，结论却恰恰相反，这几道题目正是来源于教材中的圆锥曲线参数方程.我们将从三角函数恒等变换的视角对以上问题的背景进行探讨.

1 三角恒等变换视角下的圆锥曲线参数方程

1.1 对椭圆参数方程的探讨

1.2 对双曲线参数方程的探讨

1.3 对抛物线参数方程的探讨

2 反思与学习建议

从以上讨论过程发现，在高考的命题中，有相当一部分题目的背景源于教材.可以说，教材作为高考命题的“题源”，有非常大的学习和思考的价值［1］.以下给出幾点建议，以帮助大家做好对教材的学习和挖掘.

2.1 重视数学教材中对知识的研究视角

教材对椭圆参数方程、双曲线参数方程研究的出发点是三角恒等式的“平方关系”，这说明教材非常重视通过恒等变换的研究视角得到参数方程. 所以，在后续的学习中，不仅要重视教材的基本知识内容，更要在研究方法上增强其“延续性”，也就是沿着教材给出的研究视角进一步探索新的知识.

2.2 重视数学教材中的例题

数学教材中例题及其解答过程的呈现，向我们展示了数学问题从提出到解决的完整过程. 首先要重视问题提出的形式，弄清在不同的视角下呈现的形式是什么.如椭圆的参数方程在三角恒等变换下会有不同的呈现形式. 其次是例题的解法. 教材中例题的解法会向我们呈现解决问题的一般方法，也就是通法，要加以积累和思考.

2.3 重视数学教材中的章节起始课

文献[1]中指出，教材中章、节的引言和小结往往都给出了研究一个数学对象的基本套路. 其基本要点为：背景——概念——性质——结构——应用. 其中，背景指现实世界中的一类现象；概念明确了研究对象；性质是在概念基础上，明确概念的要素与相关要素之间的关系、变化规律等；结构是相关知识的联系；最后再进行综合应用.所以，章节起始课的重要性不言而喻.

本文将高考试题与教材知识结合，阐释其来龙去脉，强调教材知识与研究视角的重要性，给出学习建议，希望能开拓大家学习数学的思路，提升解决相关问题的能力.

参考文献：

［1］章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M]. 上海：华东师范大学出版社，2021.

［责任编辑：李 璟］