Weitzenböck 不等式的新加强

浙江省开化县第二中学(324300)曹嘉兴

1919 年,著名数学家Weitzenböck 提出了一个仅含三角形边长和面积的不等式[1]:

在∆ABC中, 角A,B,C所对的边长分别为a,b,c, ∆是它的面积,则有

不等式①也曾作为1961 年第3 届国际数学奥林匹克(ⅠMO)试题.

Weitzenböck 不等式是一个很经典的几何不等式, 百余年来,关于它的各种证法、加强和推广的研究一直是初等数学研究和数学竞赛研究的热点,本文再给出几个新的仅含三角形边长和面积的优美不等式,并指出这些新的几何不等式均是Weitzenböck 不等式的加强.

定理1在∆ABC中, 角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,∆是它的面积,则有

设R和r分别表示∆ABC的外接圆半径和内切圆半径, 把abc= 4Rsr,a+b+c= 2s, ∆=sr一起代入不等式⑥得(欧拉不等式),也就是说不等式⑥既是Weitzenböck 不等式的加强,又等价于著名的欧拉不等式R≥2r,它建立了这两个著名不等式的内在联系,确实是一个非常漂亮的基本不等式.