基本不等式应用的常见技巧策略

■徐州中学 孙 慧

基本不等式及其应用是不等式模块中的一个重要知识点,也是高考中直接应用或间接应用的一个重要考查点与工具,在众多的数学知识与相关内容中都有基本不等式的影子。利用基本不等式解决问题时,需要注意“一正,二定,三相等”这三个基本条件,这是应用基本不等式的关键所在。本文结合基本不等式应用中的常见技巧策略加以实例剖析,引领并指导数学学习与解题研究,起到抛砖引玉的作用。

一、常量巧引入,配凑法应用

配凑法的目的就是构建适合基本不等式应用的基本条件——“和为定值”或“积为定值”的形式,借助对应代数式的恒等变形与转化,通过添加项、拆分项等技巧方法,进而利用基本不等式来解决问题。常见的配凑法就是对相应的代数式进行配系数、凑常数等变形处理。

点评:配凑法的根本目的就是合理创设应用基本不等式的条件,创设“积为定值”或“和为定值”这一前提条件,这就需要对题设条件或所求结论的关系式进行一些必要的配凑处理,配系数、凑常数等技巧方法经常是借助因式分解、平方处理、增减常数等方式来达到目的,实现利用基本不等式来解决问题的目的。

二、乘“1”后变形,代换法应用

代换法就是利用常数的变形,以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质,通过代数式的变形构造出满足“和为定值”或“积为定值”的基本形式,符合基本不等式的应用条件。代换法的本质就是常数与参数之间的灵活变形与转化,常数化成“1”是代数式等价变形的基础。

例2已知x＞0,y＞0,且满足x+2y=3xy,则2x+y的最小值为_____。

点评:代换法应用的根本就是通过常数与关系式之间的等价关系加以合理代换处理,具体代换时,可以是乘“1”后变形,也可是乘以其他常数进行处理,特别要注意乘常数后要加以同除处理,保证代数关系式的恒等变形。

三、双变元首选,消元法应用

消元法就是用来解决一些比较复杂的多变元的代数式最值问题,借助题设条件,合理减少变量的个数,经常是转化为只含有一个变量的代数式,进而利用基本不等式来分析与应用。消元法的实质就是减元,将多变元问题转化为单变元问题来处理。

例3已知x＞0,y＞0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为____。

点评:消元法的根本目的就是减少变量的个数,方便配凑出“和为常数”或“积为常数”的基本形式,为基本不等式的应用指明方向,从而更加直观有效地利用基本不等式来分析与求解最值。

四、多层次推进,分步法应用

分步法就是用来解决一些比较复杂的多变元(一般是三变元及以上)的代数式最值问题,结合分步法处理,分层次合理加以逐步消元,不断减少变量的个数,进而吻合基本不等式应用的条件,从而得以求解最值。分步法的实质就是逐步消元,注意在多次利用基本不等式时,要保证等号成立时条件的一致性。

点评:分步法就是综合应用配凑法、换元法或消元法等,通过两次及以上的基本不等式的应用来分析与求解对应复杂代数式的最值问题。注意在多次利用基本不等式进行分步时,要注意每步中取等号的条件的前后一致性,不能出现前后矛盾,这也是分步法中比较容易出错的地方。

在实际应用基本不等式来解决问题时,抓住基本不等式应用的三个基本条件,或配凑法应用,或代换法处理,或消元法解决,或分步法应用等,掌握解决问题的“通技通法”,举一反三,融会贯通,从而进一步养成良好的思维习惯,提升数学能力,更好地借助基本不等式来解决相应的数学问题。