把握高考最新动向，高效突破解析几何

■四川省绵阳实验高级中学 余 强

解析几何部分一直是高考命题的重点和热点,2023年高考依然凸显了利用代数方法研究几何性质和利用几何性质简化运算的本质,体现在突出主干知识,重视解析几何的本质、基本思想与方法,考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。下面以具有代表性、方向性的试题为载体,对解析几何中的热点题型进行归类剖析,希望对大家的学习有所帮助。

一、填空题与选择题的考查方式继续保持稳定

1.直线与圆主要以选填题的形式出现,主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系,注重考查基础知识的应用

例1(2023年陕西西安高三模拟)已知A,B是圆M:(x-2)2+y2=1 上不同的两个动点,O为坐标原点,则的取值范围是( )。

故选C。

评注:在处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形。同时,若已知圆M及圆外一定点O,设圆M的半径为r,则圆上点N到原点O距离的最小值为|ON|=|OM|-r,最大值为|ON|=|OM|+r。

2.圆锥曲线的选填题依然考查根据条件求圆锥曲线的方程,以及根据圆锥曲线的方程研究离心率、夹角、弦长等基本性质

例2(2023年福建漳州高三质检)已知椭圆的左焦点和右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心的圆与x轴交于F1,B两点,与y轴的正半轴交于点A,线段AF1与椭圆C交于点M。若|BM|与椭圆C的焦距的比值为,则椭圆C的离心率为( )。

故选D。

评注:圆锥曲线中离心率的值或范围的计算是高考的热点问题,求椭圆或双曲线的离心率或离心率的范围,可以利用椭圆或双曲线中a,b,c某个量的取值范围确定e;或者构造a,b,c的齐次不等式确定e。也可利用图形中的位置关系(如三角形中的边角关系,曲线上的点到焦点距离的范围等)建立不等式(不等式组)来确定e。

二、圆锥曲线解答题注重运算和思维的综合考查

高考中的解析几何解答题依旧是聚焦几种常见题型,即求轨迹方程、弦长或面积问题,最值与范围问题,以及有关定点定值的探究性问题等。

1.求轨迹方程、弦长或面积问题

例3(2023年贵州高三联考)已知直线l1⊥x轴,垂足为x轴负半轴上的E,E关于原点O的对称点为F,且|EF|=4,直线l1⊥l2,垂足为A,线段AF的垂直平分线与直线l2交于点B,记点B的轨迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程;

(2)已知点P(2,4),不过点P的直线l与曲线C交于M,N两点,以线段MN为直径的圆恒过点P,P关于x轴的对称点为Q,若△QMN的面积是,求直线l的斜率。

解析：(1)由线段AF的垂直平分线与直线l2交于点B,可得|AB|=|BF|,即点B到点F的距离等于点B到直线l1的距离。由|EF|=4,可知直线l1的方程为x=-2,所以F(2,0),所以点B的轨迹C是以F为焦点,直线l:x=-2 为准线的抛物线,所以点B的轨迹C的方程为y2=8x。

(2)根据题意知直线l的斜率不为0,设直线l:x=my+n,且M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组消去x整理得y2-8my-8n=0,所以Δ=64m2+32n＞0,y1+y2=8m,y1y2=-8n。

将y1+y2=8m,y1y2=-8n代入化简得(n-6)2=16(m+1)2,所以n-6=±4(m+1),所以n=4m+10或n=-4m+2。

因为直线l不经过点P,所以n≠-4m+2,所以n=4m+10,此时满足Δ＞0。

所以直线l的斜率为1或。

评注:涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离,这样就可以使问题简单化。涉及直线与抛物线的综合问题,通常设出直线方程,与抛物线方程联立,结合根与系数的关系,合理进行转化运算求解即可。

2.最值与范围问题

例4(2023年河南高三联考)设双曲线的左焦点和右焦点分别为,且E的渐近线方程为。

(1)求双曲线E的方程;

(2)过F2作两条相互垂直的直线l1和l2,与双曲线E的右支分别交于A,C两点和B,D两点,求四边形ABCD面积的最小值。

评注:解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略:(1)几何转化代数法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决;(2)函数取值法:若题目的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求这个函数的最值(或值域),常用方法有配方法、基本不等式法和单调性法,解题时要特别注意自变量的取值范围。

3.定点定值问题

例5(2023年河南开封高三模拟)已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数,椭圆E的短轴长为2,左顶点和右顶点分别是A,B。

(1)求椭圆E的方程;

(2)已知O是坐标原点,直线l经过点P(-2,2),并且与椭圆E交于点M,N,直线BM与直线OP交于点T,设直线AT,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值。

(2)由(1)可得A(-2,0),B(2,0),显然直线MN的斜率存在且不为0。

设直线MN的方程为y=kx+m,由题意得2=-2k+m,所以m=2+2k。

评注:定点定值问题在高考中出现的频率很高,求解直线或曲线过定点问题的基本思路:(1)把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。(2)由直线方程确定其过定点时,若得到了直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m)。求解直线与圆锥曲线的定值问题的常见类型及策略:(1)求代数式为定值。依题设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式后化简即可求得定值。(2)求点到直线的距离为定值。利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形即可求得定值。(3)求某线段长度为定值。利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得定值。

从以上例题可以看出,解析几何不仅要求同学们就课本所涉及的内容做好系统复习,打好基础,还要掌握解析几何的基本思想和方法,提高运用解析几何基本思想方法分析问题、解决问题的能力,在注意解题思想的同时,总结一些解题技巧,如“设而不求”“参数法”“定义法”“几何法”等,常能化难为易,化繁为简,收到事半功倍的效果。