新高中数学教科书与新数学高考的一致性研究——以五省市使用的教科书习题与高考试卷为例

王 洁，吕世虎

(西北师范大学教育学部，甘肃兰州 730070)

数学高考试题源于教科书又高于教科书，尤其与数学教科书中的习题有着密切关联，且在一定程度上保持着一致。从文献可知，有关教科书习题、高考试题的一致性研究，主要是其与课程标准之间的一致性研究，如伊西凡等基于SEC一致性分析模式提出一套面向课程标准的编码准则并对2007—2019年数学全国Ⅰ卷与课程标准的一致性进行分析；[1］2020年熊旭萍等采用SEC一致性分析模式对高中生物学课程标准与新人教版生物教科书课后习题的一致性进行了分析。[2］研究教科书习题与高考试题之间关系，尤其是二者之间的一致性的文献并不多。教科书习题、高考试题分别与课程标准具有一定程度的一致性，那么都以课程标准作为指导性文件编制和命制的教科书习题与高考试题之间是否也在一定程度上保持着一致性呢？本文将重点对数学教科书中的习题与数学高考试题之间的一致性进行分析。

查阅相关资料发现：2022年进入新高考的省市共有14个，其中从2019年秋季学期开始使用新版数学教科书并实行新高考的省市有五个，分别为：北京、天津、山东、海南、辽宁。[3］这五省市高中数学新教科书均选用人教版，不同的是：北京和山东分区域使用人教A版和人教B版，天津和海南均使用人教A版，辽宁使用人教B版。这五省市2022年数学高考试卷类型为：北京和天津属于自主命题的省市，山东选用新高考Ⅰ卷，海南和辽宁选用新高考Ⅱ卷。因此，为分析新数学教科书与新数学高考的一致性，选用上述五省市所使用的新高中数学教科书和新高考数学试卷进行分析，即选取2019年由人民教育出版社出版的普通高中数学教科书A版和B版(简称人教A版、人教B版)中的习题与2022年数学高考北京试卷(简称北京卷)、2022年数学高考天津试卷(简称天津卷)、2022年数学新高考全国Ⅰ卷(简称新高考Ⅰ卷)和2022年数学新高考全国Ⅱ卷(简称新高考Ⅱ卷)试题为研究对象。教科书习题仅包括习题与复习题，[4］由于这部分习题数量庞大，故运用随机抽样的方式(每一主题包括的所有单元依次按先奇数后偶数的方式)选取一半试题进行分析。

一、一致性分析方式

在教育相关要素之间的一致性分析中，SEC(Survey of the Enacted Curriculum Model)一致性分析模式比较常用，它是根据二维矩阵(例如，内容主题×认知水平)进行分析的。矩阵表示对内容的描述，通过内容分析生成内容矩阵中的比例数据，根据二维内容矩阵的匹配程度(一致性系数)来衡量一致性，一致性系数是通过对两个二维内容矩阵中的比例数据进行作差求平均的方式进行计算。因此，本文将分别从内容主题及认知水平、核心素养及其水平两个角度，运用SEC分析模式进行一致性分析。

二、一致性分析框架

基于SEC分析模式，从内容主题及认知水平、核心素养及其水平两个视角分析高中数学教科书习题与高考试题的一致性，形成两个视角的基本分析框架，如表1所示。

表1 基本分析框架

一致性系数计算公式为：

其中，n表示二维矩阵中单元格数量，Xi表示高考试题分析矩阵中第i个单元格的比率值；Yi表示教科书习题矩阵中第i个单元格的比率值。整体来说，一致性系数P(0≤P≤1)越大，说明两者的一致性程度越高。当P=0时，表示两者完全不一致；当0

(一)内容主题及认知水平层次划分

教科书习题与高考试题所考查内容涉及高中数学课程各主线内容，因此，按照《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称新课标)中五大课程内容主线对内容主题进行划分，即内容主题划分为：预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动。

借鉴SEC分析模式的二维内容矩阵，从教科书习题与高考试题所考查的内容主题及其认知水平出发，综合考虑教科书习题、高考试题侧重考查的知识与技能目标，并结合新课标中的内容要求，将认知水平由低到高划分为三个层次，分别编码为“一”“二”“三”，具体描述见表2。

表2 认知水平层次及其具体描述

(二)数学学科核心素养及其水平层次划分

数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面。新课标中，将每一数学学科核心素养划分为三个水平层次，每一水平均是按照数学学科核心素养的具体表现和体现数学学科核心素养的四个方面进行表述的。依据新课标中各数学学科核心素养及其每一水平的具体描述可明确判断习题和试题所蕴含的数学学科核心素养及其水平层次，因此，本研究直接使用高中数学新课标中数学学科核心素养水平划分方式进行判断。[6］

(三)水平判断原则及数据统计过程

对于教科书习题，首先对教科书中所有章节进行内容主题划归，然后对每个内容主题之下具体章节中的习题进行抽样，确定习题的总题数后，先按照表2的具体描述对每个习题的认知水平进行判断，分别用“一”“二”或“三”进行标记；再判断每个习题所蕴含的数学学科核心素养，并根据题目具体的考查意图对素养水平进行划分。需要说明的是，若一个习题包含几个小题，则按照小题进行判断与统计；每一道习题有可能蕴含不止一个数学核心素养，为便于分析我们约定每道题目最多对应两个数学学科核心素养，即选取主要蕴含的学科核心素养。[7］例如，人教A版教科书必修第一册习题4.5的第10题(如图1)，此题需要学生深刻理解实际背景中的指数函数模型，并会对列出的函数表达式进行不等式运算，因此，此题归为函数主题，认知水平为“水平三”，数学建模素养为“水平一”、数学运算素养为“水平一”。

图1 人教A版教科书必修第一册习题4.5第10题

对于高考试题，首先确定题目数量，选择题、填空题按题号进行确定即可，解答题则按小题数量进行统计；其次根据题目所考查的知识点划归内容主题；最后，先对题目的认知水平进行判断，并分别用“一”“二”或“三”进行标记，再依据解题过程判断题目所考查的主要数学学科核心素养，并根据题目具体的考查意图进行相应的水平划分。需要特别说明的是，如果某道试题涉及多个内容主题，则应该分别进行标记。例如，2022年高考数学北京卷第6题(如图2)，此题需要学生理解逻辑用语充分条件、必要条件的定义，并利用等差数列的通项公式进行判断即可得出结论，因此，此题归为预备知识主题、函数主题，认知水平为“水平二”，逻辑推理素养的“水平二”。

图2 2022年高考数学北京卷第6题

三、一致性分析

根据上述分析框架，分别判断并统计相应内容主题教科书习题和高考试题的认知水平情况和所考查的数学学科核心素养及其相应水平层次，数据统计结果如表3至表6所示。

表3 两版教科书习题内容主题及认知水平视角数据

表4 两版教科书习题核心素养及其水平视角数据

表5 四套高考试题内容主题及认知水平视角数据

表6 四套高考试题核心素养及其水平视角数据

(一)内容主题及认知水平视角一致性分析

将表3和表5数据中两版教科书习题与四套高考试题相应二维矩阵的整体数据分别带入一致性系数计算公式，得到内容主题及认知水平视角整体的一致性系数如表7所示。

表7 内容主题及认知水平视角一致性系数

由表7可知，人教B版习题与天津卷试题的一致性系数大于0.8，即一致性达到强一致，其他教科书习题与高考试题的整体一致性系数均介于0.5—0.8之间，可见，一致性均达到一定程度一致。

1.内容主题维度分析

将表3和表5数据中两版教科书习题与四套高考试题相应二维矩阵的小计列数据分别带入一致性系数计算公式，得到内容主题维度的一致性系数如表8所示。为了便于观察与分析，作出两版教科书习题与四套高考试题内容主题维度的比例柱状图，如图3所示。

图3 内容主题维度分布情况

表8 内容主题维度一致性系数

由表8可知，两版教科书习题与相应高考试题内容主题维度的一致性系数均大于0.8，即一致性达到强一致。从图3可以看出，两版教科书习题与四套高考试题注重考查的内容主题基本一致，主要是函数、几何与代数主题。在各内容主题，两版教科书习题与四套高考试题的比例差异各有不同，人教A版习题与北京卷试题间比例差异由小到大依次是：预备知识、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动、函数；人教A版习题与天津卷试题间比例差异由小到大依次是：预备知识、函数、几何与代数、数学建模活动与数学探究活动、概率与统计；人教A版习题与新高考Ⅰ卷试题间比例差异由小到大依次是：函数、概率与统计、预备知识、数学建模活动与数学探究活动、几何与代数；人教A版习题与新高考Ⅱ卷试题间比例差异由小到大依次是：函数、预备知识、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动、几何与代数；人教B版习题与北京卷试题间比例差异由小到大依次是：概率与统计、预备知识、数学建模活动与数学探究活动、几何与代数、函数；人教B版习题与天津卷试题间比例差异由小到大依次是：预备知识、几何与代数、数学建模活动与数学探究活动、概率与统计、函数；人教B版习题与新高考Ⅰ卷试题间比例差异由小到大依次是：概率与统计、数学建模活动与数学探究活动、函数、预备知识、几何与代数；人教B版习题与新高考Ⅱ卷试题间比例差异由小到大依次是：概率与统计、函数、预备知识、数学建模活动与数学探究活动、几何与代数。

2.认知水平维度分析

将表3和表5数据中两版教科书习题与四套高考试题相应二维矩阵的小计行数据分别带入一致性系数计算公式，得到认知水平维度的一致性系数如表9所示。为了便于观察与分析，作出两版教科书习题与四套高考试题认知水平维度的比例柱状图，如图4所示。

表9 认知水平维度一致性系数

由表9可知，在认知水平维度，人教A版习题与天津卷、新高考Ⅱ卷试题，人教B版习题与北京卷、天津卷试题的一致性系数均大于0.8，即一致性达到强一致，其他习题与试题的一致性系数介于0.5—0.8之间，可见，一致性达到一定程度一致。

从图4可以看出，北京卷、新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷试题在各认知水平上的分布比例情况由大到小均依次是：水平二、水平三、水平一，其他教科书习题与高考试题在各认知水平上的分布比例情况由大到小均依次是：水平二、水平一、水平三。在认知水平一，人教A版习题与北京卷试题的比例相差0.291，与天津卷试题的比例相差0.115，与新高考Ⅰ卷试题的比例相差0.244，与新高考Ⅱ卷试题的比例相差0.135；人教B版习题与北京卷试题的比例相差0.149，与天津卷试题的比例相差0.027，与新高考Ⅰ卷试题的比例相差0.102，与新高考Ⅱ卷试题的比例相差0.007。在认知水平二，人教A版习题与北京卷试题的比例相差0.187，与天津卷试题的比例相差0.06，与新高考Ⅰ卷试题的比例相差0.078，与新高考Ⅱ卷试题的比例相差0.032；人教B版习题与北京卷试题的比例相差0.019，与天津卷试题的比例相差0.146，与新高考Ⅰ卷试题的比例相差0.128，与新高考Ⅱ卷试题的比例相差0.238。在认知水平三，人教A版习题与北京卷试题的比例相差0.105，与天津卷试题的比例相差0.055，与新高考Ⅰ卷试题的比例相差0.164，与新高考Ⅱ卷试题的比例相差0.167；人教B版习题与北京卷试题的比例相差0.171，与天津卷试题的比例相差0.121，与新高考Ⅰ卷试题的比例相差0.23，与新高考Ⅱ卷试题的比例相差0.233。

图4 认知水平维度分布情况

(二)核心素养及其水平视角一致性分析

将表4和表6数据中两版教科书习题与四套高考试题相应二维矩阵的整体数据分别带入一致性系数计算公式，得到核心素养及其水平视角整体的一致性系数如表10所示。

表10 核心素养及其水平视角一致性系数

由表10可知，人教B版习题与天津卷试题的一致性系数大于0.8，即一致性达到强一致，其他教科书习题与高考试题的整体一致性系数均介于0.5—0.8之间，可见，一致性均达到一定程度一致。

1.核心素养维度分析

将表4和表6数据中两版教科书习题与四套高考试题相应二维矩阵的小计列数据分别带入一致性系数计算公式，得到核心素养维度的一致性系数如表11所示。为了便于观察与分析，作出两版教科书习题与四套高考试题核心素养维度的比例柱状图，如图5所示。

表11 核心素养维度一致性系数

由表11可知，在核心素养维度，人教A版习题与北京卷、天津卷、新高考Ⅱ卷试题，人教B版与四套高考试题的一致性系数均大于0.8，即一致性达到强一致，人教A版习题与新高考Ⅰ卷试题的一致性系数介于0.5—0.8之间，可见，一致性达到一定程度一致。

从图5可以看出，两版教科书习题与四套高考试题注重考查的核心素养基本一致，主要是逻辑推理、数学运算、直观想象、数学抽象素养。在各核心素养，两版教科书习题分别与四套高考试题的比例差异各有不同，人教A版习题与北京卷试题间比例差异由小到大依次是：直观想象、数学建模、数据分析、数学运算、数学抽象、逻辑推理；人教A版习题与天津卷试题间比例差异由小到大依次是：直观想象、数学运算、数学建模、数学抽象、逻辑推理、数据分析；人教A版习题与新高考Ⅰ卷试题间比例差异由小到大依次是：数学建模、数学抽象、直观想象、数据分析、数学运算、逻辑推理；人教A版习题与新高考Ⅱ卷试题间比例差异由小到大依次是：直观想象、数学抽象、数学建模、数据分析、数学运算、逻辑推理；人教B版习题与北京卷试题间比例差异由小到大依次是：数学建模、数学抽象、数据分析、直观想象、数学运算、逻辑推理；人教B版习题与天津卷试题间比例差异由小到大依次是：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析、逻辑推理；人教B版习题与新高考Ⅰ卷试题间比例差异由小到大依次是：数学抽象、直观想象、数学建模、数据分析、数学运算、逻辑推理；人教B版习题与新高考Ⅱ卷试题间比例差异由小到大依次是：数学建模、数据分析、数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理。

图5 核心素养维度分布情况

2.素养水平维度分析

将表4和表6数据中两版教科书习题与四套高考试题相应二维矩阵的小计行数据分别带入一致性系数计算公式，得到素养水平维度的一致性系数如表12所示。为了便于观察与分析，作出两版教科书习题与四套高考试题素养水平维度的比例柱状图，如图6所示。

图6 素养水平维度分布情况

表12 素养水平维度一致性系数

由表12可知，在素养水平维度，人教A版、人教B版习题与天津卷的一致性系数大于0.8，即一致性达到强一致，其他教科书习题与高考试题的一致性系数均介于0.5—0.8之间，可见，一致性达到一定程度一致。从图6可以看出，北京卷试题在各素养水平上的分布比例情况由大到小均依次是：水平二、水平一、水平三；新高考Ⅰ卷在各素养水平上的分布比例情况由大到小均依次是：水平二、水平三、水平一；其他教科书习题与高考试题在各素养水平上的分布比例情况由大到小均依次是：水平一、水平二、水平三。在素养水平一，人教A版习题与北京卷试题的比例相差0.244，与天津卷试题的比例相差0.137，与新高考Ⅰ卷试题的比例相差0.403，与新高考Ⅱ卷试题的比例相差0.284；人教B版习题与北京卷试题的比例相差0.219，与天津卷试题的比例相差0.112，与新高考Ⅰ卷试题的比例相差0.378，与新高考Ⅱ卷试题的比例相差0.259。在素养水平二，人教A版习题与北京卷试题的比例相差0.216，与天津卷试题的比例相差0.129，与新高考Ⅰ卷试题的比例相差0.152，与新高考Ⅱ卷试题的比例相差0.055；人教B版习题与北京卷试题的比例相差0.162，与天津卷试题的比例相差0.075，与新高考Ⅰ卷试题的比例相差0.098，与新高考Ⅱ卷试题的比例相差0.001。在素养水平三，人教A版习题与北京卷试题的比例相差0.026，与天津卷试题的比例相差0.008，与新高考Ⅰ卷试题的比例相差0.253，与新高考Ⅱ卷试题的比例相差0.227；人教B版习题与北京卷试题的比例相差0.055，与天津卷试题的比例相差0.037，与新高考Ⅰ卷试题的比例相差0.282，与新高考Ⅱ卷试题的比例相差0.256。

四、一致性分析结论

(一)教科书习题与高考试题整体上基本达到一定程度一致

在内容主题及认知水平视角和核心素养及其水平视角，人教B版习题与天津卷试题达到强一致，其他习题与试题整体的一致性均达一定程度一致。在内容主题维度，两版教科书习题与相应高考试题均达到强一致；在认知水平维度，人教A版习题与天津卷、新高考Ⅱ卷试题，人教B版习题与北京卷、天津卷试题达到强一致，其他习题与试题均达到一定程度一致；在核心素养维度，人教A版习题与北京卷、天津卷、新高考Ⅱ卷试题，人教B版与四套高考试题均达到强一致，人教A版习题与新高考Ⅰ卷试题达到一定程度一致；在素养水平维度，人教A版、人教B版习题与天津卷达到强一致，其他习题与试题均达到一定程度一致。两版教科书习题与相应高考试题在内容主题维度和核心素养维度的较高一致性，反映了依据课标编制的数学教科书、命制的数学高考试卷在涵盖五大内容主线的同时均很好地融入了数学核心素养。

(二)教科书习题与高考试题在各维度的整体分布基本一致

习题与试题注重考查的内容主题基本一致，主要是函数、几何与代数主题。北京卷、新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷试题在各认知水平上的分布比例情况由大到小均依次是：水平二、水平三、水平一；其他习题与试题在各认知水平上的分布比例情况由大到小均依次是：水平二、水平一、水平三。习题与试题注重考查的核心素养基本一致，主要是逻辑推理、数学运算、直观想象、数学抽象素养。北京卷试题在各素养水平上的分布比例情况由大到小均依次是：水平二、水平一、水平三；新高考Ⅰ卷在各素养水平上的分布比例情况由大到小均依次是：水平二、水平三、水平一；其他习题与试题在各素养水平上的分布比例情况由大到小均依次是：水平一、水平二、水平三。两版教科书习题与四套高考试题在各维度的整体分布基本一致，说明本身依据课标编制的数学教科书、命制的数学高考试卷都很好地落实了课标要求。从教科书习题与高考试题在各水平上的分布情况可知，基本是水平二的比例最大，即习题与试题考查的认知水平和素养水平基本是以水平二为主，说明实际数学题目体现的水平层次与课标中对高考试题命制的水平层次要求是一致的。

(三)教科书习题与高考试题在各维度的具体分布差异各具特点

在各维度，习题与试题之间比例分布情况差异有大有小，各具特点。在内容主题维度，差异最大的是人教B版与北京卷的函数主题，最小的是人教B版与新高考Ⅱ卷的概率与统计主题；在认知水平维度，差异最大的是人教A版与新高考Ⅰ卷的认知水平一，最小的是人教B版与新高考Ⅱ卷的认知水平一；在核心素养维度，差异最大的是人教B版与新高考Ⅱ卷的逻辑推理素养，最小的是人教A版与新高考Ⅱ卷的直观想象素养；在素养水平维度，差异最大的是人教A版与新高考Ⅰ卷的素养水平一，最小的是人教B版与新高考Ⅱ卷的素养水平二。两版教科书习题与四套高考试题在各维度的具体分布差异各具特点，说明作为主要教学工具的高中数学教科书与主要学业评价的数学高考试卷之间在有很好联系的同时，数学高考试卷能在教科书习题基础上做到符合学业质量要求的不同水平层次要求。

五、建议

(一)重视教科书习题的使用与挖掘，引导学生领会教科书习题内含的价值

从内容主题与核心素养维度可以看出，教科书习题与高考试题的一致性基本达到强一致，说明两版教科书对北京等五省市高考有良好的适配性。同时也说明，在日常教学中重视教科书习题对提升学生应对高考的能力等有很好的促进作用。教科书习题具有基础性、经典性、类型的丰富性、与教科书内容联系的紧密性等诸多特性，教师教学时可直接使用教科书习题也可将其进行改编使用。实际教学中，教师应重视教科书的使用和教科书习题的挖掘，引导学生领会教科书习题内含的价值，充分发挥教科书习题的各项功能。[8］

(二)合理安排不同认知水平习题，提高学生解答不同层次数学题目的能力

从认知水平的一致性程度与存在的差异可知，习题与试题在不同认知水平层次比例的不均衡性可致使其一致性不强，这从侧面反应合理安排不同认知水平层次习题的重要性。不同版本数学教科书的编写特点不同，各认知水平层次习题的设置也会有所不同。在日常教学中，教师应结合不同版本教科书有选择的为学生安排各水平层次的习题进行练习，认知水平层次低的习题可以更好地巩固已学知识，而认知水平层次高的习题一般需要学生对已学知识能够有更深的理解，能够灵活运用知识。合理地选择各认知水平习题，无论对加深学生对知识的理解还是提高学生解答数学题目的能力均有正向的促进作用。不同认知水平习题体现知识学习的进阶性和素养水平的进阶性，因此，应当合理安排不同水平的习题。

(三)合理选择情境丰富的习题，全面发展数学学科核心素养

从数学学科核心素养各水平描述可以看出，形成和发展数学学科核心素养的重要的载体就是情境，无论是学生熟悉的情境，还是关联情境或是综合情境，这些情境类型也是决定习题和试题所蕴含数学学科核心素养具体水平的重要依据之一，熟悉的情境中所考查核心素养的水平层次较低，而综合情境中所考查核心素养的水平层次一般较高。从素养水平的一致性程度与存在的差异可知，习题与试题在不同素养水平层次比例的不均衡性可致使其一致性不强，说明合理设置不同核心素养水平习题与试题的重要性。[9］在实际教学中，合理选择各类情境的习题，也可结合学生已有知识和经验对一般问题进行情境化设计，[10］无论是选择与学生实际生活等联系紧密的熟悉情境，还是与实际相关联的情境，亦或是包括熟悉、关联等情境的综合情境，情境类型越丰富，所蕴含的核心素养及其水平层次就越丰富，这些都有利于促进学生数学学科核心素养的全面发展。