SV波全反射作用下地震动的合成及振动特性

范留明　杨猛

摘要： 越来越多的研究表明来自基岩的地震波并不是垂直地面向上传播的。地震波在斜入射与垂直入射时所产生的场地效应有很大不同，由于存在全反射现象，SV波在斜入射时产生的场地效应更为复杂。文章基于均匀弹性半空间地震波传播理论，分别推导得到SV波入射角在小于、大于等于临界角时地震动的计算表达式，通过模型算例研究SV波全反射作用下的地震动特性。研究发现：由SV波产生的地震动主要由入射波和反射波构成，滑行波作用可以忽略;地面运动轨迹具有面波旋转振动特点;随着入射角的增大，地面震动从以水平方向振动为主逐渐过渡到以垂直方向振动为主，两个方向的振动均小于入射波峰值的2倍。

关键词： SV波; 临界角; 反射系数; 滑行波; 振动特性

中图分类号： TU435文献标志码：A 文章编号： 1000－0844（2023）04-0910-07

DOI：10.20000/j.1000－0844.20220206001

Synthesis and vibration characteristics of ground motionsunder the excitation of total reflected SV waves

FAN Liuming1，2 ， YANG Meng1

Abstract：  Research has shown that the propagation direction of seismic waves from bedrock is not perpendicular to the ground surface. The site effect generated by obliquely incident seismic waves is quite different from that generated by vertically incident seismic waves. The site effect under obliquely incident shear vertical （SV） waves is more complicated than that under vertically incident SV waves on account of the existence of total reflection. In this study， a set of mathematical expressions of ground motions was derived based on the theory of homogeneous elastic half－space seismic wave propagation when SV incident angles were less than， greater than， or equal to the critical angle. The mathematical expressions were then applied to a model example to calculate and analyze the ground motion characteristics under the excitation of total reflected SV waves. The results show that the ground motions generated by SV waves are mainly composed of incident and reflected waves， and the effect of sliding waves could be ignored. The ground motion trajectory exhibits the characteristics of rotational vibration of surface waves. With the increase in the incident angle， the ground horizontal vibration gradually decreases， whereas the ground vertical vibration gradually increases， but neither of them is greater than twice the peak value of the incident wave.

Keywords： SV waves; critical angle; reflection coefficient; sliding wave; vibration characteristics

0 引言

在工程抗震設计中，通常假定来自基岩的地震波是垂直地面向上传播的体波。随着人们对地震波认识的不断深入，越来越多的研究表明地震波并不总是垂直向上入射的。Jin等［1］通过对美国部分地震动记录的分析指出近场条件下地震波平均入射角和标准差为56.78°±6.77°。Takahiro［2］根据日本Sendai处的近场强震记录，反演得出地震波在近地表处的入射角变化范围为12.4°～54.1°，入射角平均值为38°。显然，地震波在斜入射时对地表建筑的影响与垂直入射时的情形有所不同［3－5］，而且地震SV波斜入射引起的地震动比P波更为复杂，这是因为传播至地面的SV波在入射角大于临界角时发生全反射现象，并衍生出来沿着地面滑行、在垂直地面深度方向衰减的非均匀波。

目前对斜入射SV波的研究方法大致可分为数值法和解析法两大类：前者主要用于解决斜入射SV波作用下特殊地形或隧道［6－7］、大坝等复杂工程［8－12］的地震响应问题，由于此类研究考虑的问题难度较大，故很少涉及入射角大于临界角的情况;而后者则多用于探讨弹性半空间、水平成层场地等简单模型［13－15］的地震响应问题，其中部分研究内容已经涉及SV波的跨临界入射问题［16－18］，但是对于斜入射SV波发生全反射情况还没有开展专题研究。

为此，本文基于无限大均匀弹性半空间传播模型，应用地震波理论分别推导SV波入射角在小于、大于等于临界角情况下的场地震动的理论计算表达式，据此研究全反射SV波作用下的地震动特性。

1 SV波斜入射场地模型

1.1 SV波在地面处的反射

SV波入射至地面处的反射模型如图1所示，图（a）、（b）分别对应SV波入射角β小于、大于等于临界角βc两种情况，其中βc由下式确定：

式中：vP、vS分别是地层的纵波速度、横波速度。

由图1可见，由于地面的反射作用，传播至地面处的SV波产生两类反射波：一类是同类型的反射SV波，反射角用β表示，其值等于入射角;另一类是转换反射P波，反射角用α表示。当β<βc时，反射SV波、反射P波分别沿着与oz轴成β角、α角方向向背离地面的深处传播［图1（a）］;当β≥βc时，SV波发生全反射现象，在这种情形下，反射SV波的传播方向与β<βc时相同，但是反射P波却转变为沿地面传播的非均匀波［图1（b）］。

1.2 反射波与入射波的关系

假定入射SV波及其产生的反射SV波、反射P波的时程函数分别为fsi（t）、fss（t）和fsp（t），则

式中：Rss和Rsp分别是反射SV波和反射P波在自由面处的反射系数;t是时间。

同样的，在频率域反射波与入射波之间仍存在如下关系：

式中：Fsi，Fss和Fsp分别是fsi，fss和fsp的傅里叶频谱，计算表达式如下：

式中：ux和uz分别是水平和垂直地震动时程。

3.2 β≥βc时的地震动时程

（1） 反射波

如图1（b）所示，SV波在β≥βc与β<βc时有很大不同。在这种情况下，反射系数可能不再是实数，反射波时程需要在频率域进行计算，其计算表达式可写成如下形式：

对比式（10）和式（16）可知，SV波在β<βc和β≥βc两种情况下的地震动计算方法有很大不同。前者可以直接在时间域内进行计算，相应的表达式最终可写成某一实系数与入射波的乘积形式，如式（11）;后者则需要在频率域进行计算，其表达式不能写成某一实系数与入射波的乘积形式，如式（16）。由此表明，在β≥βc情况下，SV引起的反射波不仅有大小的变化，还存在相位的变化。

4 SV波引起的地震动计算

4.1 计算步骤

根据上述讨论可知，由SV波产生的地震动时程的计算大致可概括为以下几个步骤：

（1） 选择入射波时程fsi和持续时间。

（2） 确定地层纵波速度vP和横波速度vS。

（3） 确定入射角β和临界角βc。

（4） 据式（6）计算反射系数Rss和Rsp。

（5） 据角β和βc的大小关系，选择计算地震时程的方法：如果β<βc，采用式（10）计算地震时程;否则，则采用式（16）。

（6） 计算得到地震时程。

需要说明的是：上述计算方法及计算步骤可以用于计算地震位移、速度和加速度，具体类型完全由入射波决定。如果没有特别说明，本文所提到的地震时程是指位移时程。

4.2 模型算例

选用Ⅱ类场地，取密度、剪切模量、泊松比分别为1 750 kg/m3、92.1 MPa、0.29，相应的纵波和横波的速度分别为562 m/s和229 m/s，SV波的临界角為32.946 2°。

入射波采用墨西哥帽函数：

式中：u0=1 cm;t0=0.25 s;σ=0.04。入射SV波的位移时程及傅里叶谱如图3所示。

为了便于对比分析SV波发生全反射前后的地震动时程特征，考虑入射角β<βc和β>βc两种情形，取入射角分别为30°和34.65°，按照4.1节计算步骤，计算结果如图4所示。其中，图4（a）是β=30°时的水平和垂直位移时程，图4（b）是β=34.65°时的水平和垂直位移时程。

5 全反射SV波的地震动特性

5.1 地震动的振动方向

由图4可见，尽管β=30°与β=34.65°时的角度值都接近SV波的临界角βc，且两者数值相差不大，但两者所对应的位移时程却有显著区别：前者的水平位移时程与垂直位移时程虽然大小不同，但形状相同;后者的水平位移时程与垂直位移时程不仅大小不同，形状也不相同。

为了便于分析上述两种情况地震动的偏振特性，绘制了β=30°与β=34.65°时质点振动轨迹图（图5）。图中横轴表示水平位移，纵坐标为垂直位移，轨线上一点表示质点某一时刻在xoz平面上的位置。由图5（a）可见，当β=30°时，水平方向比垂直方向振动大，地震动为线性振动，表现为体波振动特征;由图5（b）可见，当β=34.65°时，水平方向与垂直方向的振动接近，地震动为旋转振动，表现为面波振动特征。

5.2 地震动中的滑行波

当β≥βc时，SV波发生全反射，并衍生出沿地面传播的P波，这些波相互叠加形成地面滑行波，成为水平地震动的一部分。对于无限大空间，可根据式（13）计算滑行波。

图6是β=34.65°时的滑行波时程。由图可见，地面滑行波时程的形状复杂，表明SV波发生全反射会导致地震波形产生较大畸变，但是相对于地震动时程其值很小。例如，当β=34.65°时，滑行波时程的最大值为0.052 891 cm。

图7是滑行波峰值（绝对值）与入射角关系图。由图可见，当入射角小于临界角时，由于没有发生全反射，其峰值为0;在临界角附近得到其最大值，约等于0.064 cm。

由此可见，滑行波能量相对较小。在译著《地震波的生成与传播》［19］6.5.3.4能量方程一节指出，当入射SV波发生全反射时，反射P波理论上不携带能量，其能量与反射SV波相比很小，可以忽略不计。因此在计算地震动时可忽略地面滑行波作用，从而将式（16）简化为如下形式：

5.3 场地效应与入射角的关系

为了便于分析地震动与入射角之间的关系，绘制了地震位移时程峰值up（绝对值的最大值）与入射角关系图（图8），图中upx、upz分别表示up的水平和垂直分量。

由图8可见，upx、upz随β的变化总体上呈现此消彼长的关系：

（1） 当β=0～30°时，upx约等于入射波峰值的2倍，且随β的增大略有减小;upz则随β的增大略有增大，最大值接近1。

（2） 当β=βc 时，upx达到最大值，约等于入射波峰值的4倍，表明水平振动在临界角附近非常强烈;而upz则接近于0。

（3） 当β>βc时，upx小于入射波峰值的2倍，随β增大迅速减小，约在34.65°时与upz相等，在45°处达到最小值;upz随β增大而增大，且β>34.65°时，upz>upx，其最大值也小于入射波峰值的2倍。

6 结论

本文基于均匀各向同性弹性半空间模型，开展了对斜入射SV波所引起的地震动计算方法的研究，计算分析了地震动与入射角的关系，据此得到由全反射SV波引起的地震动的特点：

（1） 由全反射SV波引起的地震动时程通常需要在频率域计算得到。

（2） 由反射P波相互叠加形成的地面滑行波能量相对较小，其场地效应可以忽略。

（3） 地面质点运动轨迹不是线性往复振动，而是具有面波特点的旋转振动。

（4） 在临界角附近，地面水平方向振动随入射角的增大急剧减小，且随着入射角的增大，地面震动从以水平方向振动为主逐渐过渡到以垂直方向振动为主。

（5） 无论水平方向振动还是垂直方向振动，其振动大小均小于入射波峰值的2倍。

上述结论仅适用于均匀各向同性弹性半空间地层情况。对于非均匀复杂地层场地，其地震动特点还需要进一步研究证实。

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（本文编辑：赵乘程）