教材探源 感悟思想 积累经验

杨兴刚

判断函数零点个数和已知零点个数求参数范围是高考的常考题型.试题多数基于数学情境命制，考查学生灵活运用函数、导数等知识解决问题的能力，全面综合展现极限思想、估算思想的应用和学生的数学素养水平.判断函数零点是否存在不仅要借助函数增长差异的“形”去判断，而且要借助放缩估算的“数”去证明.本文以一道模拟试题为例，通过挖掘教材找根源、一题多解悟方法、反思提升育素养三个维度，探索函数零点问题的寻根之旅.

试题根据核心素养的三个水平设计问题，第（1）问通过指数函数考查学生利用导数研究函数单调性的通性通法，属于水平一的要求;第（2）问（ⅰ）由函数零点个数求参数范围考查学生解决一类问题的数学方法，属于水平二的要求; 第（2）（ⅱ）问以不等式放缩和极值点偏移为背景考查学生创造性解决问题的能力，属于水平三的要求，具有很好的区分度.本文重点探索第（2）问（ⅰ）的思维历程，呈现函数零點问题的寻根之旅.

1教材探源，深化理解

教材中的内容、例题、习题、旁白等都是高考命题的素材，对教材深度理解与挖掘运用是培养学生数学核心素养的根本.教材探源是回归基础、提升能力、发展素养的必经之路.

1.1直观感受函数变化差异

1.2导数研究函数变化快慢

人教版教材选择性必修第二册P88探究和P89例4，借助导数绝对值的大小，比较了两个函数图象变化的快慢.在教学过程中，教师要借助导数精细研究函数图象的“陡峭”与“平缓”程度，为估算函数值的大小奠定基础.

1.3泰勒展式估算逼近

2解题探索，感悟思想

通过对问题的多角度思考、分析与对比，不仅可以加深对基础知识、基本技能的理解，而且可以感受基本思想方法的内涵，加深基本经验的积累，促进数学核心素养的发展.

2.1极限思想下的解法

2.2估算解法

3反思积累经验

参考文献

［1］张奠宙.微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考［J］.高等数学研究，2006，9（2）：2－4.

［2］马淑风，杨向东.什么才是高阶思维？——以“新旧知识关系建立”为核心的高阶思维概念框架［J］.华东师范大学学报（教育科学版），2022，40（11）：58－68.