对话《孙子算经》：传统文化中算法思维的时代演绎

耿秋萍 江苏省江阴市山观高级中学

●透析教材，建立新旧算法的锚点

1.教材的解构与重构

本节是教育科学出版社出版的普通高中教材信息技术必修1《数据与计算》的第四单元的开篇，内容意在让学生学会将解决问题的方法归结为一系列清晰、准确的步骤，并能分析和掌握算法的要素和特征，逐步建立编程解决问题的思维和方法。教材选用了“寻找‘开关对应关系’”的活动作为导入体验活动，让学生通过完善流程图的方式理解算法及其特征，而后通过“寻找‘被污染的药丸’”和“寻找‘误删的ID号’”两个活动，让学生能够全面系统地分析问题。通过对学情的分析，结合《孙子算经》中经典的案例，笔者将教材中的理论重点保留，将问题调整为“物不知数”“河妇荡杯”和“三女归家”，这三个案例有共性的思维破解点，均可利用枚举法破解，均可采用条件循环实现，但又有相异的发散点，可以引导学生更好地理解算法的定义及其意义，增强学习活动的参与度和体验感。原教材中的活动设计具有较好的信息意识和计算思维提升作用，因此基于本节课的框架设计，安排到学生课后的自主探究任务中。

2.教学目标的设想与定位

本节课的核心学习目标是学生能够运用枚举法解决一类问题。在教学设计时可将教学目标的重点确定为“能够设计解决问题的算法并用恰当的方式描述，通过实践的反思去理解枚举法的含义及其用法”。而本节课的难点不仅仅是在解决问题过程中，对枚举法的理解和举一反三的提炼，还包括对《孙子算经》中案例的解读，这需要学生有较好的古文阅读和理解能力，所以在定位教学目标时，需要把提高学生的古文阅读能力也作为教学目标中的一部分。

3.教学环节的规划与编排

笔者根据对本节课教材的解构与重新架设，以预设的教学目标为实践基准，将学习活动设为六个部分。具体的教学环节设计如下页图1所示。

图1 《算法及其特征》第1课时学习活动规划设计

●课堂实践，建立新旧算法思维的聚力点

1.尚记“鸡兔同笼”否？始于典籍《孙子算经》

教师用学生耳熟能详的“鸡兔同笼”问题引出它的出处，即《孙子算经》。《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数”的问题……通过这样的介绍，让学生了解《孙子算经》的历史贡献和它的主要内容，让他们在现代化的学习环境中有意识、有兴趣、有方向地融合传统文化和科学知识，引起他们的好奇心，使其急切地想要一睹被欧洲人反复称道的“物不知数”。

2.白话“物不知数”，描述恰当算法

首先让学生通过阅读和语言转换，了解“物不知数”原文的含义：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？要求学生静心阅读，尝试用白话文说出自己的理解，并选择不同的方式表达算法，可以是自然语言、流程图或者伪代码。之后展示《数书九章·大衍求一术》中的“术文”：“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十减之，即得_____。”“答曰：二十三。”教师协助学生理解这段“术文”，并沿着传统思维回溯这种解题方法。学生在体验两种算法的内部逻辑与解题效率后，结合自身的能力与需求，作出选择。

教师接着引导学生梳理思路，用所学的数学知识写出近似图2的表达式，方便更清晰地理解题目，并引入枚举法，对比人脑与计算机的优缺点，介绍计算机的解题方式，把所有可能的答案一一列举，合适就保留，不合适就丢弃。最终在表达框架中增加如图3所示的表达式。

图2

图3

3.Python语言代入，调试运行看结果

把每一句白话文转译成Python语句，运行相应程序，并查看结果。最终代码如图4所示。

图4

4.回看解析过程，归纳算法特征

通过对“物不知数”的算法剖析和代码实现，要求学生回省自己对算法的理解：算法可能是一个计算公式，也可能是一种解决问题的策略或者方案。

5.立足算法思维，再探《孙子算经》

依据学生对“物不知数”的算法体验过程，参考师生讨论得出的算法的定义和特征，继续探究《孙子算经》中以下两个有趣问题：

①河妇荡杯。今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”“家有客。”津吏问曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”

②三女归家。今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问三女何日相会？

教师要求学生利用自己的思维方式，对这两个问题进行算法分析（数学建模），然后通过编程实现，并阅读、欣赏原文中的解题方法。学生的思维方式多样，最终形成的数学模型和代码列举如下。

①河妇荡杯。

方法一：利用代数法求解，设来了x位客人，根据题意：1/2x+1/3x+1/4x=65。

方法二：利用枚举法，不知道来了多少位客人，从1开始尝试，利用计数循环“for x in range(1，66)：”，当某个数满足1/2x+1/3x+1/4x=65的情况时，这个数即为客人人数。

②三女归家。

三女若要相聚，则所经历的天数需达到一致，可以参考“物不知数”的解题思路，也可以另辟蹊径，此问题的本质是求3、4、5的最小公倍数。且所求最小公倍数的各因子确切可知，倘若需求任意三个数的最小公倍数，则如何？

6.拓展引深思，释疑待下回

要求学生根据“三女归家”的拓展提问，丰富《孙子算经》中的题目，由原文的固定条件改为不确定输入，引出如何选择最佳算法和Python实现，为下节课的内容埋下伏笔，让学生带着思考离开这一节课堂，带着思想走进下一节课堂。

●溯源反思，建立新旧算法思维的话题

话题一：《孙子算经》中的文化感召如何融入《算法及其应用》的教学目标

本节课依据目标规划，把基本教学活动设计为“介绍典籍，激发兴趣——数学建模‘物不知数’——剖析算法，转换代码——解决问题，拓展延伸”，让学生能够多层次多角度尝试将问题作简化迁移，并利用已有的Python基础，较好较快地写出代码，调试运行。

话题二：《孙子算经》中的“术”与“法”如何推动学习活动的融合创新

课堂开始就开门见山地介绍千年前的数学典籍《孙子算经》，让学生了解其历史地位，原文采用的“术”是秦九韶《数书九章》中求解一次同余式组的“大衍求一术”，此法复杂但快捷，普通人工的解法烦琐但思路简单，而编程能很好地中和两种方式的优点，利用枚举法快速地实现释疑。这种能够实现简单思维解决复杂问题的方式，必然会引起学生的兴趣，这时再呈现《孙子算法》中的三个经典案例，让学生一展身手。在他们兴致正浓且志得意满时，延伸问题，将简单的问题变成令人深思的问题，留下“如何求任意三整数的最小公倍数”类似问题，让学生带着疑惑离开课堂，但思想却能长久沉浸其中。

话题三：《孙子算经》中的经典案例如何成就学生建构知识体系的思维创新

根据课堂中学习活动的节奏，笔者尝试把诊断型评价逐渐渗入《孙子算经》的问题分析和解题实施环节，学生在评价中完善自我认知。在本节课之初，由于学生对传统文化与现代数学思维的结合尚需热身，课堂节奏慢而平和，在学生适应《孙子算法》的语言释义以及算法表述的方式之后，课堂节奏快且热切，学生的反应由最初的齐声迎合变为后来的追逐抢答，课堂的温度也随之产生由升温到保温到降温的变化，让学生体会到了在课堂中，入戏出戏时的不同情感状态。