对数函数几种典型考题解读

■高红霞

对数函数是高中数学中重要的基本初等函数之一,下面就对数函数的定义、性质和相关应用进行举例分析。

题型1:对数函数的概念

对数在数学中应用广泛且意义深刻,因此对数常被用来研究各种有关数的计算或证明问题。

例117世纪,在研究天文学的过程中,为了简化大数运算,苏格兰数学家纳皮尔发明了对数,对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化成乘法和加法运算,数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。已知ln2=0.6931,ln3=1.0986,设N=45×2710,则N所在的区间为( )。

A.(e38,e39) B.(e39,e40)

C.(e40,e41) D.(e41,e42)

解:因为N=45×2710,所以lnN=ln45+ln2710=ln210+ln330=10ln2+30ln3=0.6931×10+1.098 6×30=39.889,所以N=e39.889∈(e39,e40)。应选B。

点拨:解决这类问题要熟练掌握对数的概念与运算性质,以及对数换底公式的应用。

题型2:对数函数的图像与性质

解答这类问题,可利用所给信息画出函数的大致图像,通过图像和对数函数的性质(如单调性和经过的特殊点)来解决问题。

例2函数f(x)=x[ln(x+1)-ln(1-x)]的部分图像大致是( )。

解:由可得-11-x>0,则ln(1+x)>ln(1-x),此时f(x)=x[ln(1+x)-ln(1-x)]>0,排除D。应选C。

点拨:由对数函数的解析式,可求对数函数的图像经过的特殊点,通过底数a的值可判断对数函数的单调性。

题型3:对数函数的应用

这类问题主要考查对数函数与其他函数的交汇应用。

例3已知函数f(x)=b·ax(a,b为常数,且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,6),B(3,24)。下列四个结论:①a=2;②b=4;③函数y=f(x)-5 仅有一个零点;④若不等式ax+bx-m≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,则实数m的取值范围为(-∞,5]。

其中正确结论的序号是____。

解:依题意得解得a=2(负根舍去),b=3,①正确,②错误。函数y=3·2x-5 在R 上递增,当x=0 时,y=3·20-5=-2<0,当x=2时,y=3·22-5=7>0,所以函数y=3·2x-5在R 上有唯一零点,③正确。不等式ax+bx-m≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,即m≤2x+3x在x∈[1,+∞)上恒成立,因为y=2x+3x在[1,+∞)上单调递增,其最小值为21+31=5,所以m≤5,④正确。答案为①③④。

点拨:需要注意的是,函数不满足f(a)·f(b)<0,也可能存在零点。