借助函数模型，解决应用问题

■刘红霞

数学来源于现实生活,又应用于现实生活,它们是紧密联系的。下面以函数模型的构建与分析为实例,借助函数模型来分析与解决实际应用问题。

1.指数型函数模型

例1用打点滴的方式治疗“新冠”病患时,血药浓度(血药浓度是指药物吸收后,在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合,其函数图像如图1 所示,其中V为中心室体积(一般成年人的中心室体积近似为600),m0为药物进入人体时的速率,k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值。此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间,当达到上限浓度时,必须马上停止注射,之后血药浓度随时间变化的函数符合c2(t)=c·2-kt,其中c为停药时的人体血药浓度。

图1

(1)求出函数c1(t)的解析式。

(2)一病患开始注射后,最迟隔多长时间停止注射? 为保证治疗效果,最多再隔多长时间开始进行第二次注射? (结果保留小数点后一位,参考数据lg2≈0.3,lg3≈0.48)

解决这类问题,要掌握指数函数的单调性,要熟悉指数式与对数式的互化。

2.对数型函数模型

例22020年12月17日凌晨,经过23天的月球采样旅行,嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域,我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功,成为时隔40 多年来首个完成落月采样并返回地球的国家,标志着我国探月工程“绕,落,回”圆满收官。近年来,得益于我国先进的运载火箭技术,我国在航天领域取得了巨大成就。据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式计算火箭的最大速度v(m/s),其中v0(m/s)是喷流相对速度,m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(kg)是推进剂与火箭质量的总和称为“总质比”,已知A型火箭的喷流相对速度为1000m/s。

(1)当总质比为200时,利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度。

(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加500m/s,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值。(参考数据:ln200≈5.3,2.718

对数型函数应用问题的基本类型和求解策略:先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,再根据数值解释其实际意义。

3.拟合型函数模型

例3某商场经营一批进价为每件30元的商品,在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销量y件之间的关系如表1所示。

表1

(1)根据表中提供的数据,在平面直角坐标系中描出实数对(x,y)对应的点,并确定x与y的一个函数关系式y=f(x)。

(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系式写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少时,才能获得最大日销售利润。

解:(1)由表中数据,在平面直角坐标系中作出实数对(30,60),(40,30),(45,15),(50,0)对应的点,如图2 所示。观察图像可知,它们近似地分布在一条直线上。

图2

设直线方程为y=kx+b(k≠0),将点(50,0),(45,15)代入得解得所以y=-3x+150(30≤x≤50)。

检验知点(30,60),(40,30)也在此直线上,所以所求函数关系式为y=-3x+150(30≤x≤50)。

(2)依题意得日销售利润P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)=-3(x-40)2+300(30≤x≤50)。所以当x=40时,P取得最大值,其最大值为300。

故当销售单价为40元时,才能获得最大日销售利润。

建立拟合型函数模型的四个基本步骤:画图,根据原始数据、表格等绘制出散点图;画线,通过观察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线;求函数,根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式;解答问题,利用函数解析式,对所给问题提出预测和控制,为决策和管理提供依据。