鸭舵式双旋弹非线性角运动及其分岔特性

2023-11-27赵新新史金光王中原张宁

兵工学报 2023年10期

赵新新, 史金光, 王中原, 张宁

(南京理工大学能源与动力工程学院, 江苏南京 210094)

0 引言

现代战争对弹药精确打击能力的需求日益提高,设法消除或控制随机误差影响、改善炮弹地面密集度,已经成为兵器弹箭技术发展的重要方向[1]。在此背景下,为克服弹丸转速过快对姿态测量和机构动作等的不利影响,以实现对常规旋转炮弹的精确化改造,一类采用滚动轴承连接、具有前/后体双自旋结构的弹道修正弹应运而生,并凭借对原弹结构改动较小、控制简易和低成本等优势,得到相关学者和研究机构的广泛关注[2]。

在当前国内外已经开展的各类将常规旋转炮弹改造为双旋弹的研究中,根据修正机构特点以及在弹上安装位置的不同,可将其主要技术途径归纳为两种[3]:一种是在弹丸头部加装具有鸭舵机构的修正组件,采用“前体低旋+后体高旋”的策略,通过控制前体滚转角控制方位实现弹道修正;另一种则是在弹丸尾部加装微型扰流片,采用“前体高旋+后体低旋”的策略,由扰流片张开提供弹道修正所需的控制力和力矩。由于第1种可以依靠舵片产生反转力矩,使前体在弹道初始段快速实现自主减旋,从原理上降低了对驱动电机的性能要求,因此表现出较好的发展潜力和应用前景,并已有学者和研究机构围绕其气动特性分析[4-11]、弹道模型建立[12-14]、修正策略与控制方法研究[15-20]等开展了大量工作,所得结果为该类炮弹的研制提供了理论基础。

近年来随着研究的深入,针对鸭舵式双旋弹在飞行过程中遇到的稳定性问题,相关工作开始重点围绕其角运动理论和稳定性条件等展开。其中Wernert等[21]针对一种舵偏角可调节的鸭舵式双旋弹,分析了其在线性假设下的稳定性问题;Zhu等[22]将攻角引起的舵片升力合并到后体上,研究了该类炮弹的飞行稳定性条件;文献[23-24]中对重力、控制力作用下的动态响应规律进行讨论,分析了舵片周期性干扰引起的强迫角运动;马国梁等[25]采用Lyapunov方法,推导了前体滚转角任意时变条件下的绝对稳定性判据;朱煌等[26]和赵新新等[27-28]通过建立并求解复攻角运动方程,对该类炮弹角运动的形成机理和弹道修正的力学本质进行阐释,提出其全弹道飞行的动态稳定性条件和前体结构设计的舵片参数约束条件。

上述研究主要围绕鸭舵式双旋弹的线性角运动理论展开,对其非线性问题分析较少,部分已开展的工作实质上也是在小攻角假设下进行[29]。但是考虑舵控起始扰动和强迫作用等的影响[24, 27-28],该类炮弹复攻角的幅值一般较大,尤其是在起控后前体滚转角控制方位多次切换时,甚至可能超出某一界限,使原基于小攻角假设得到的稳定性判据等结果不再准确,因此本文拟对其非线性角运动及其分岔特性展开研究。在非滚转系中建立改进的6自由度弹道方程,并在考虑几何非线性和气动非线性条件下,导出其精确的广义复攻角运动方程及其状态空间模型。据此推导该类炮弹大攻角飞行时的动态稳定性判据,并通过外弹道数值仿真计算,讨论不同因素对广义复攻角运动及其分岔特性的影响,以期为工程研制提供理论参考。

1 动力学建模

1.1 物理模型

鸭舵式双旋弹主要由装有修正组件的前体和高旋后体两部分构成,其中前体结构如图1所示:差动布置的舵片1、3为减旋舵,用于产生反转力矩,使前体转速在弹道初始段快速下降,斜置角为δf;同向布置的舵片2、4为操纵舵,用于提供弹道修正所需的控制力和力矩,舵偏角为δd。

图1 前体结构示意图Fig.1 The configuration of the forebody

该类炮弹在出炮口后开始无控飞行,后体高速旋转,以维持弹丸飞行稳定,转速约为300 r/s;前体快速减旋,为有控飞行时的姿态测量和机构动作提供条件,转速在反转力矩和前/后体滚转阻尼力矩综合作用下达到某一平衡转速,一般为5～20 r/s。飞行一段时间后进入有控飞行阶段,前体滚转角在驱动电机作用下迅速切换到某一固定方位,并且会依据后续弹道诸元与预定弹道诸元的偏差进行有限次调整,前体转速在一段时间内近似为0 r/s。

1.2 坐标系定义及转换

1)基准坐标系:用作各坐标系的基准,记为E。该坐标系的原点为弹丸质心,Ox轴在水平面内指向射击方向,Oy轴竖直向上,Oz轴按右手定则确定。

2)非滚转坐标系:由基准坐标系旋转得到,记为N。该坐标系OxN轴沿弹轴方向,OyN轴垂直弹轴向上,OzN轴按右手定则确定。其相对基准坐标系的转动角速度记为ωN,且ωN轴向分量为0 r/s。

3)前体坐标系:用于确定前体滚转角方位,记为F。该坐标系与非滚转坐标系相差前体滚转角γF,二者的转换矩阵为

(1)

1.3 改进的6自由度弹道方程

为便于研究,依据鸭舵式双旋弹前体滚转角速度可以进行设计的特点,结合后体转速导出约化滚转角速度,建立其改进的6自由度弹道方程如下:

1)依据质心运动定理,在非滚转坐标系下建立其质心运动方程,分量形式为

(2)

式中:vNx、vNy、vNz为速度矢量v在非滚转坐标系中的分量;ωNy、ωNz为ωN在非滚转坐标系中的横向分量;m为弹丸质量;FNx,p、FNy,p、FNz,p分别为弹体空气动力在非滚转坐标系中的分量;FNx,c、FNy,c、FNz,c分别为舵片控制力在非滚转坐标系中的分量;gNx、gNy、gNz分别为重力加速度矢量g在非滚转坐标系中的分量。

2)依据动量矩定理,在非滚转坐标系下建立其绕质心运动方程,分量形式为

(3)

式中:C、A分别为弹丸极转动惯量和赤道转动惯量;p为约化滚转角速度,p=(pFCF+pACA)/C,pF、pA分别为前体和后体的滚转角速度,CF、CA分别为前体和后体的极转动惯量;MNx,p、MNy,p、MNz,p为弹体空气动力矩在非滚转系坐标中的分量;MNx,c、MNy,c、MNz,c为舵片控制力矩在非滚转坐标系中的分量。

1.4 非线性角运动模型

为简化问题,在考虑几何非线性条件下,引入广义复攻角对弹轴相对速度矢量的空间方位进行准确描述,表达式为

(4)

其对时间的1阶导数为

(5)

(6)

1.5 空气动力和力矩模型

考虑前/后体的干扰作用,鸭舵式双旋弹的气动非线性程度较高,尤其是在大攻角情况下不宜略去,故本文建立其非线性空气动力和力矩模型。

1.5.1 弹体空气动力和力矩

将前体轴对称部分与后体合并记作弹体,其空气动力和力矩模型与常规旋转弹的相似。略去较小的马格努斯力,弹体空气动力主要由升力和阻力构成,在非滚转坐标系中的表达式为

(7)

式中:η为非线性因子,η=vNx/v,体现大攻角飞行时几何非线性的影响;ρ为空气密度;S为特征面积;cx为阻力系数,cx=cx0+cx2δ2,cx0、cx2分别为其线性项和非线性项,δ为广义复攻角幅值;c′y为升力系数对δ的导数,c′y=cy0+cy2δ2,cy0、cy2分别为其线性项和非线性项。

弹体空气动力沿v方向的分量为

(8)

不考虑气动偏心和动不平衡影响,弹体空气动力矩主要包括静力矩、赤道阻尼力矩、极阻尼力矩和马格努斯力矩,在非滚转坐标系中的表达式为

(9)

式中:l为特征长度;d为弹径;m′xz为极阻尼力矩系数对(pd/v)的导数,m′xz=mxz0+mxz2δ2,mxz0、mxz2分别为其线性项和非线性项;m′z为静力矩系数对δ的导数,m′z=mz0+mz2δ2,mz0、mz2分别为其线性项和非线性项;m′zz为赤道阻尼力矩系数对(ωNd/v)的导数,m′zz=mzz0+mzz2δ2,mzz0、mzz2分别为其线性项和非线性项;m″y为马格努斯力矩系数对(pd/v)和δ的联合导数,m″y=my0+my2δ2,my0、my2分别为其线性项和非线性项。

1.5.2 舵片控制力和力矩

在外弹道飞行中,舵片产生的轴向力较小,可以略去;法向力不仅与舵偏角有关,还受到弹体攻角的影响,在前体坐标系中的拟合公式可以写为

(10)

式中:c′f为减旋舵法向力系数对其有效攻角的导数,c′f=cf0+cf2δ2,cf0、cf2分别为其线性项和非线性项;α1,3为舵片1、3的有效攻角,α1,3=±δf-δ1sinγF+δ2cosγF,δf为斜置角;c′d为操纵舵法向力系数对其有效攻角的导数,c′d=cd0+cd2δ2,cd0、cd2分别为其线性项和非线性项;α2,4为舵片2、4的有效攻角,α2,4=δd+δ1cosγF+δ2sinγF,δd为舵偏角。

由于减旋舵和操纵舵作用上的差异,对前体进行设计时二者的气动参数可能不同,则假设

(11)

由式(10)整理可得舵片控制力在非滚转坐标系中的表达式为

(12)

式中:ν为广义复攻角的相位。

舵片控制力沿v方向的分量为

(13)

综合考虑式(12)对应的静力矩和由一对减旋舵产生的反转力矩,可得舵片控制力矩在非滚转系中的表达式为

(14)

式中:L为舵片压心沿弹轴方向到弹丸质心的距离;Mx,w为反转力矩,Mx,w=ρv2Slm′x,wδF/2,m′x,w为反转力矩系数对δf的导数,m′x,w=mx,w,0+mx,w,2δ2,mx,w,0、mx,w,2分别为其线性项和非线性项。

2 非线性角运动及其分岔特性分析

2.1 非线性广义复攻角运动方程

将作用在弹丸上的空气动力和力矩代入式(6),可得

(15)

式中:P=Cp/(Av)。

(16)

由于δf和δd取值较小(一般为4°～8°),且旋转稳定弹的复攻角运动是以复平衡攻角为中心做二圆运动,故将等号右边量级较小的第2、3和4项略去,再对其做周期平均处理,可得

(17)

式中:R为大攻角飞行时几何非线性的影响,R=(η2-1)(bf+bc/2)。

将式(15)前两式写为矩阵形式,可得

(18)

将式(15)后两式写为矩阵形式,可得

(19)

联立式(18)～式(19),并将方程转化为对弧长s的导数,推导可得包含几何非线性和气动非线性的精确广义复攻角运动方程为

(20)

式中:δ′1、δ′2分别为δ1、δ2对s的1阶导数;δ″1、δ″2分别为δ1、δ2对s的2阶导数;a11、a12、a21、a22、b11、b12、b21、b22为系数矩阵中各元素;c1、c2为非齐次项系数。

由于bx等空气动力和力矩组合参数、g/v2和η′/η(η′为η对弧长的1阶导数)均量级较小,可以略去彼此间乘积的高阶小项,整理得到式(20)中各参数的表达式为

(21)

2.2 分岔特性分析

分岔概念源于对力学失稳问题的研究,是指系统相轨迹拓扑结构随任意小的参数变化而发生突变的现象,依据具体问题的不同,主要可以分为静态分岔、动态分岔以及局部分岔和全局分岔等[30]。对于本文研究的鸭舵式双旋弹,为保证其具有良好的飞行特性,首先必须在小攻角条件下动态稳定。在此基础上,对其广义复攻角运动的分岔特性进行研究,有关问题即可转换为次临界状态下的闭轨线分岔,通过对稳定平衡点附近不稳定极限环的形成条件及其有关性质进行分析,探讨不同因素(包括非线性气动系数(导数)、弹道位置以及舵片控制力和力矩)对极限环半径的影响。

首先根据式(20)给出的鸭舵式双旋弹广义复攻角运动方程,导出其状态空间模型为

(22)

式(21)为状态矩阵中各元素的精确表达式。为简化问题,依据分岔点复攻角的幅值近似不变,略去a11和a22中的η′/η项。进一步考虑起控前/后前体滚转角运动特性的不同[28],可以分别导出该类炮弹在无控飞行和有控飞行时状态矩阵中各元素的表达式如下:

1)无控飞行时前体自由滚转,前体滚转角速度pF相对复攻角慢圆运动的频率较大,因此可以在一个运动周期内将状态矩阵中各元素平均处理,可得

(23)

2)有控飞行时前体滚转角控制方位固定不变,pF在一段时间内近似为0 r/s,故略去其与气动组合参数乘积的高阶小项,整理得到状态矩阵中各元素为

(24)

将式(23)和式(24)分别代入式(22),可得状态矩阵为缓变系统。采用系数冻结法对其进行研究,并任选参数σ为分岔参数,则其特征方程为

f(λ,σ)=h0λ4+h1λ3+h2λ2+h3λ+h4

(25)

式中:λ为特征根;各项系数的表达式为

(26)

据此依据文献[28],采用霍尔维茨方法可以导出满足系统在无控飞行和有控飞行时均动态稳定的充要条件为

(27)

因此若存在η0∈(0,1),能使式(27)在任意η>η0处成立、在η<η0处不成立,则系统稳定的平衡点附近会形成不稳定的极限环,且极限环半径为

(28)

则η=η0即为参数σ对应的分岔点,其由式(27)在η的取值范围内遍历求解,并判断上述条件成立时得到,故只有当δ

3 数值仿真计算分析

3.1 仿真初始条件

考虑到鸭舵式双旋弹的精确广义复攻角运动方程及其对应的状态空间模型较为复杂,直接对其解析求解存在困难,因此本节以某155 mm鸭舵式双旋弹为例,在炮兵标准气象条件下,采用数值方法对其分岔特性进行分析。弹丸物理参数见表1,将仿真初始条件设为初速930 m/s、后体转速300 r/s、初始扰动略去,可得主要空气动力和力矩组合参数(线性项)的全弹道变化曲线如图2所示。

图2 空气动力和力矩组合参数Fig.2 Combination parameters of aerodynamics and moments

3.2 计算结果分析

(29)

3.2.1 非线性气动系数(导数)的影响

为便于分析非线性气动系数(导数)对系统分岔特性的影响,首先依据1.5节建立的空气动力和力矩模型,在大攻角条件下,将bx等空气动力和力矩组合参数改写为

bx=bx0(1+τ1δ2),by=by0(1+τ2δ2),kz=kz0(1+τ3δ2),kzz=kzz0(1+τ4δ2),ky=ky0(1+τ5δ2)

(30)

式中:τi(i=1,2,…,5)为各空气动力和力矩系数(导数)的非线性项与线性项之比。

据此在无控飞行条件下,选取弹道顶点处参数为数值仿真条件,给出极限环半径随τi变化的曲线如图3所示。由图3可见:1)当τ1、τ3、τ4、τ5大于某界限,或τ2、τ5小于某界限时,稳定的平衡点附近均会形成不稳定的极限环,且r随τ1、τ3、τ4、τ5增大或τ2、τ5减小而减小;2)升力和马格努斯力矩的非线性项对系统分岔特性起主要影响,当τ2、τ5趋近某一界限值时,会导致r快速减小到较低水平。

将式(30)代入式(29),则f对τi分别求导,可得

(31)

图4分别为τ2=-25和τ5=25时不同初值下的复攻角运动曲线。由图4可见:当初值位于极限环内时,系统逐渐收敛;当初值位于极限环外时,系统逐渐发散,验证了前述分析和式(28)的极限环半径判别方法合理有效。

图4 不同初值下的复攻角运动曲线Fig.4 Complex attack angle motions under different initial values

3.2.2 弹道位置的影响

进一步分析弹道位置的影响,首先在不考虑气动非线性的条件下,给出极限环半径全弹道变化曲线如图5所示。易见系统在弹道初始段会形成不稳定的极限环,而在其余弹道点处不会形成。据此结合3.2.1节初步表明:τi的界限值会随弹道位置发生变化,并在某些弹道点上趋近于0,故不同弹道点上r对非线性气动系数(导数)的响应特性存在差异,导致较小的气动非线性也可能使r快速减小。

图5 r随t变化曲线(τi=0)Fig.5 Variation curve of r with t (τi=0)

图6为不同弹道点处r随τi变化的曲线。事实上弹道位置改变实质是飞行速度和空气密度的变化对系统分岔特性产生影响,且前者在弹道末段趋于平缓,后者在t=10 s和t=70 s处近似相等。由图6可见:1)空气密度变化会对系统分岔特性产生影响,其值增大总体上会使r逐渐减小,即高度越低弹丸稳定性相对越差;2)飞行速度对系统分岔特性起重要影响,其值改变可能使r增大,也可能导致其快速减小,故工程研制中应对弹丸初速和起控时刻进行设计,以尽量避免在某些速度条件下对弹丸进行控制。

图7以τ5=-25为例分别给出了以t为10 s和70 s处参数作为数值仿真条件的复攻角运动曲线。结合图6(e)可知,当飞行高度近似相同时,速度变化导致极限环半径发生改变,并使相同初值在t=10 s时位于极限环外,而在t=70 s时位于极限环内,故系统在两弹道点处分别逐渐发散和逐渐收敛,验证了前述结论合理。

3.2.3 舵片控制力和力矩的影响

此外,考虑有控飞行对系统分岔特性的影响。依据式(31)可知,f随τ1、τ2、τ4、τ5先增大、后减小,随τ3持续减小,故当起控后满足X>0时,舵片控制力和力矩会使图3中r随τi变化的曲线向内收缩,从而导致极限环半径相较无控飞行时的减小;又由于X中不含γF项,故前体滚转角控制方位改变对系统分岔特性影响不大,即弹丸在不同控制方位下的稳定性近似相同。

图6 不同弹道点处r随τi变化曲线Fig.6 Variation curves of r with τi at different ballistic points

图7 不同弹道点的复攻角运动曲线Fig.7 Complex attack angle motion at different ballistic points

图8 不同μ时r随τi(i=1,4,5)变化曲线Fig.8 Variation curve of r with τi(i=1,4,5) under different μ values

在τ5=-25情况下,选取t=70 s处参数作为数值仿真条件,给出了有控飞行时的复攻角运动曲线,如图9所示。易见,当γF分别取0°、45°、90°和135°时,复攻角曲线的运动频率和收敛性质基本吻合,表明前体滚转角控制方位对系统分岔特性影响不大,验证了本节结论和考虑有控飞行时的动态稳定性条件合理可行。