剖析不等式解法及应用的易错点

■重庆市第一中学校 王 军

不等式是高中数学代数板块的重要组成部分,与方程,函数等知识联系密切,在高考中也有着举足轻重的地位。本文将从不等式的解法与不等式的应用的易错点进行分析,以期提升同学们的复习效率,规避易错,提高解题速度和正确率。

一、不等式的解法

不等式的解法的易错点主要有:①系数需化为正数;②重根的处理需采用“奇次穿偶次不穿”的方式。

错因分析：错解1,当x＜0时,左右同乘x不等号方向会改变;错解2,在将除法改造为乘法时,没注意到不等式右边是2 而不是0,当右边为0 时才能如此操作;错解1,2,3均没有考虑分母不为0,且答案没有写成集合的形式。

正解:且x≠0⇒(-x-2)x≥0且x≠0⇒(x+2)x≤0且x≠0,所以-2≤x＜0,故所求不等式的解集为{x|-2≤x＜0}。

二、不等式的应用

1.隐藏条件挖掘不足致错

例2若集合A={x|2|x|≥3},B={x|log2(2-x)＜0},则A∩B=( )。

错解：解得,对于集合B,由log2(2-x)＜0=log21,可得2-x＜1,即x＞1,所以B=(1,+∞),所以。故选B。

错因分析：忽视了对数函数的定义域,要时刻关注,率先保障每个结构都有意义。

正解：对于集合B,真数为正,即2-x＞0,所以x＜2,由log2(2-x)＜0=log21,可得2-x＜1,即x＞1,所以B={x|1＜x＜2},所以。故选C。

例3若方程有两个不等的实根,则实数b的取值范围为( )。

错解：由得(x-2)2+(y-3)2=4,所以直线y=x+b与圆(x-2)2+(y-3)2=4有2个公共点,即直线与圆相交,则圆心(2,3)到直线y=x+b的距离,解得,。故选A。

错因分析：“由得(x-2)2+(y-3)2=4”这一步并非恒等变形,y的范围发生了改变,需注意这个隐藏条件。

正解：由得(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3),所以直线y=x+b与半圆(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3)有2个公共点,作出直线与半圆的图形,如图1 所示。当直线y=x+b经过点(4,3)时,b=3-4=-1;当直线y=x+b与圆(x-2)2+(y-3)2=4相切时,有,解得。由图可知,当直线y=x+b与曲线y=3-有2 个公共点时,-1。故选B。

图1

2.取等条件未验证致错

例4设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则的最大值为____。

错解：令2x+y=t,则4x2+y2+xy=(2x+y)2-3xy=t2-3xy=1,所以6+6xy=2(3xy+1)+4=2t2+4,所以,当且仅当t=时取等号。

错因分析：约束条件4x2+y2+xy=1对变量t的范围有所限制,这是一个隐藏极深的条件,在换元时一定要思考新变元的范围是否刻画完整,最后要检验基本不等式的等号能否取到。

3.分类讨论考虑不全致错

例5解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1＜0。

错因分析：该解法讨论不够充分,首先,二次项系数含参,应讨论a是否为0;其次,讨论开口方向,再讨论根的大小,上面遗漏了的情况。

正解：分以下几类情况讨论:

(1)当a=0时,由ax2-(a+1)x+1＜0⇒-x+1＜0⇒x＞1,即解集为(1,+∞)。

含参不等式分类讨论在高考中常出现在导数压轴题的第一问中,通常按如下程序推进:讨论二次项系数是否为0→讨论开口方向→讨论根的个数(判别式Δ)→讨论根的大小,以及根与定义域端点的关系。

注:本文系重庆市教育科学“十四五”规划2023年度立项课题“高中数学核心素养的行为表现及案例研究”(课题批准号:K23ZG1070110)的阶段性研究成果之一。