信息技术赋能高中数学建模课题研究活动的教学探索

黄炳锋

摘要：《普通高中数学课程标准（2017年版）》将数学建模活动纳入数学课程主线，明确其本质内涵、过程方法及育人价值，倡导以课题研究的形式开展数学建模活动。教材也以建模实例作样例，配备课题研究的活动指南作指引，响应数学课程主线教学的育人要求。为解决教学中缺乏有效辅助工具、学生对数学建模活动认识不足导致探究效果不佳等问题，教师基于教材上的数学建模实例，分析课题研究四个环节中的关键与困难，指出“选题环节关键是研究主题的确定，开题环节重点是研究计划的交流，做题环节难点是试验数据的收集，结题环节要点是建模活動的评价”，借助TI-NSPIRE CAS图形计算器、采集器和传感器等信息技术工具为数学教学赋能，支持学生针对“饮茶最佳温度”等问题构建数学模型，促进教、学、评一致，形成育人合力。

关键词：信息技术；数学建模活动；函数模型

2017年教育部发布《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“课标”），将数学建模活动与数学探究活动纳入高中数学课程四条主线，要求将其贯穿于必修、选择性必修的学习中（2020年对课标修订但上述相关内容保持不变）。课标指出：“数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容^[1]。”其内涵为：“对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。”学生参与数学建模活动，面对的是现实中的实际问题。教师要引导学生会用“数学的眼光”观察世界，从数学的视角发现问题、提出问题；会用“数学的思维”思考世界，应用数学的知识、思想方法，通过数学思维建立数学模型解决问题；会用“数学的语言”表达世界，从数学的角度加以解释、提供决策。

描述世界、认识世界、把握世界是人的本能和欲望。精准的定量描述，严谨的逻辑推理，使数学模型可以近似地表达世界。学生参与数学建模活动，对理解数学、全方位培养数学核心素养有重要作用。教学中，由于对数学建模的本质和内涵认识不足或因为实际操作困难，师生往往重数学应用，轻模型构建；重问题解决，轻问题提出；重应用解题，轻数据收集；重终结性评价，轻过程性评价……以致课程主线教学目标难以落实。笔者以人教A版《普通高中教科书 数学 必修第一册》中“数学建模：建立函数模型解决实际问题”为例，探索如何以课题研究的形式（包括选题、开题、做题、结题四个环节）开展数学建模活动，如何借助TI-NSPIRE CAS手持技术，对学生的数学建模活动进行有效评价。

一、选题环节：关键是研究主题的确定

课标指出，数学建模活动主要过程包括“在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题”。由于实际情境多且繁杂，学生不易“发现问题、提出问题”，选题环节教师的关键工作是引导学生确定研究主题。教学中，教师应结合教材整体设计，分层次、有计划地加以引导。以建立函数模型为例，在学生学习幂函数、指（对）数函数时，教师应结合这些函数的概念抽象过程，明示函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的基本数学语言和工具，适合于建立函数模型解决的实际问题有两个特点：（1）涉及两个变量，（2）具有函数关系。

例如，天安门广场每次升旗的日期与时间，汽车的刹车距离与速度，烧水壶的水温与烧水的时间，摩天轮上一点的高度与旋转的时间，乘坐计程车的费用与路程，某家庭用水的水费与用水量等实际问题，都具有上述两个特点。

现实问题涉及变量往往很多，选题时学生可查阅相关资料，用头脑风暴的形式交流讨论，分析并确定数学建模的关键因素。确定研究主题的主要步骤如下^[2]。

第一步，考察一个实际情境，发现并提出问题，分析可行性，明确研究意义。

第二步，列出问题中涉及的常量、变量，包括适当的单位，注意不要混淆变量和常量。

第三步，列出对变量的相互关系所做的全部假设，检查单位从而保证假设有意义。

第四步，选出最重要的影响因素，明确其运动变化的基本特征，确定运动变化类型。

第五步，用准确的数学语言描述目标。

例如，茶水温度问题^[3]。中国茶文化博大精深，饮茶是大众的喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。经验告诉我们：茶水的温度随时间的变化而变化，且每一个确定的时刻有唯一的温度与之对应，因此茶水的温度是时间的函数。饮茶的实际情境中，泡茶时水温往往较高，饮用时水温一般要低一些。

不难发现，冲泡好的茶水等多久饮用，口感最佳是一个值得研究的问题。如果能建立茶水温度关于时间的函数模型，就可以解决这个问题。研究并解决上述问题具有可行性。显然，影响茶水温度的因素有多个，如起始的水温、时间、室温、茶叶品种、容器形状等，其中最重要的影响因素是时间。将其他因素固定，即可提出茶水温度随时间变化的模型假设，并明确目标：在某环境条件下，借助实测数据建立茶水温度关于时间的函数模型，并根据模型预测刚冲泡好的茶水达到最佳饮用口感所需的时间。

二、开题环节：重点是研究计划的交流

确定研究主题后，教师不要急于让学生做题，应引导学生开好题。数学建模不等同于数学应用，它着重于真实世界与数学世界之间可逆的联系，关注于抽象出数学问题与解决现实问题的全过程。为确保可逆的联系转化自如、研究活动有序推进，开题环节不可缺少。开题环节，教师要为学生后续研究活动做好以下准备：其一，为确定求解目标查询相关资料，提升以多种方式查询相关资料的能力（要改变学生等待教师提供背景资料的习惯） ；其二，为确定研究路径制订研究计划，包括对选题的分析、解决问题的思路等，要引导学生深入分析、讨论待研问题所涉及的相关数学知识和数学模型，在交流中增强用数学语言表达问题的能力和用数学模型解决问题的意识。

以探究茶水温度问题为例，开题任务主要包括：

其一，查找文献或上网搜索，了解最佳泡茶水温和饮用水温；

其二，分析影响茶水温度的因素，了解与问题相关的背景知识，阐述需要确定的条件、需要准备的技术支持；

其三，阐述有效解决问题的办法，包括数据收集的方法、提高数据精度的方法等，说明实施方案的依据和优缺点；

其四，提出求解的目标、预期成果及其呈现方式。

上述任务都是为了研究而做的准备，开题环节教师应指导学生提出计划、讨论交流、互相启发、互相补充。

三、做题环节：难点是实验数据的收集

做题包括收集数据、分析数据、建立模型、求解模型等过程。学生要按照计划，真实、具体地解决问题。

（一）实验数据的收集

学生确定函数模型参数，一般需要相关数据支撑。如果没有现成数据可用，学生可以采用实验的方式生成数据。这就需要借助数学实验设备来收集数据。

教师给TI-NSPIRE CAS图形计算器配置采集器和传感器（温度传感器、位移传感器、光强传感器、声音传感器、压强传感器等），让学生用它收集数据以满足数学建模活动之需。教师将超级采集器与传感器连接，还可以借助软件进行演示和教学，借助传感器有效收集数据。为达到具体要求和所需精度，师生要注意传感器功能与技术参数要求（见表1）。

学生实际探究时，应注意环境的参数，并有效控制数据的误差。以“茶水温度”为例，实验环境室温为21.0 ℃，为保证茶水的品质一样，学生用开水冲泡相同数量的茶叶，且每次实验起始温度都略高于某固定温度。比如，本次实验起始温度为85.2 ℃，为保证茶水总水量不变，学生用相同的容器盛茶水，等等。

接下来，学生使用TI-NSPIRE CAS图形计算器及温度传感器，采集茶水温度与相应时间数据（如图1），将收集速率设置为10 秒/样本，持续时间设置为480 s，将温度传感器插入茶水中，点击“开始收集”，即可方便地获取实验数据。

结合多次实验数据与散点图分析，学生发现每隔1分钟记录的数据散点，生成的图象能较好地反映函数模型特点，于是每隔1分钟采集数据，将其作为建立函数模型的依据。

这里需要特别指出，数据是建立函数模型的依据，收集数据是评价学生数学建模成败的重要参考。但数据可能有误差，不同小组也可能不一致。教师评价时主要看学生数据收集的过程。数据差异并不影响数学建模活动的开展。

（二）函数模型的选择

根据收集的数据建立函数模型，难在模型的选择。学生使用TI-NSPIRE CAS图形计算器强大的数据分析与绘制图象的功能，可以解决这一问题。学生只需将收集的数据导入电子表格，调用数据分析中的拟合命令，选用几个基本初等函数模型进行拟合，就可得相关指数用于判断拟合效果，结合散点图、残差图及具体情况分析，可找到合适的函数模型。

以本次实验收集的茶水温度数据为例（见表2），不同的函数模型拟合情况如下。

学生用“线性回归”命令，选择一次函数f（x）=b+mx模型進行拟合，得到拟合函数关系式为f（x）=83.18-3.095x。从相关指数R²= 0.982 061、散点图与残差图（如图2），可以看出吻合程度较好。

学生用“指数回归”命令，选择指数型函数f（x）=a×b^x模型进行拟合，得到拟合函数关系式为f（x）= 83.708 2×0.957 465^x。从相关指数R²= 0.992 915、散点图与残差图（如图3），可以看出吻合程度优于线性回归。

很显然，学生用上述技术手段开展函数模型拟合研究忽略了一个重要影响因素，就如教科书所分析的那样^[4]——茶水温度降到室温就不能再降，建模需要考虑室温影响，选择的函数模型应该可以反映随着时间的变化温度趋于室温的变化规律。学生尝试选择指数型函数y=a×b^x+c进行拟合，但该函数模型不能直接通过TI-NSPIRE CAS的集成命令得到。在探究中，学生分析得到c=21，将数据作平移变换，令z=y-21，用“指数回归”命令，选择指数型函数z=a×b^x进行拟合，得出拟合函数关系式为z=62.979 9×0.939 95^x，即y=62.979 9×0.939 95^x+21。从相关指数R²= 0.995 991、散点图与残差图（如图4），可以看出吻合程度更高。学生采用拟合方式构建函数模型，发现当x=0时，y值为83.979 9与观测值85.2有微小差异。

（三）模型一致的思考

牛顿冷却模型指出：一个较周围温度高的物体的初始温度为t₀，忽略表面积及外部介质性质和温度的变化，它的冷却速率与该物体的温度f（t）与周围环境的温度C的差（f（t）-C）成正比，即，其中t为时间，k为一个正的常数。求解上述微分方程，得到f（t）=C+（t₀-C）e^-kt。这是一个指数型函数。以下，讨论用上述实验数据构建模型一致的指数型函数。分析实验的初始状态，可知t₀=85.2，C=21.0，为了求出茶水温度的衰减比例a=e^-k，学生从第2分钟的温度数据开始，计算每分（y-C）的值与上一分（y-C）值的比值（见表3）。

计算各比值的平均值，得

a=１/8（0.922 1+0.934 1+0.936 7+0.94 02+0.940 5+0.943 2+0.951 4+0.946 5）≈0.939 3。

将这个平均值作为衰减比例，所得函数模型y=64.2×0.939 3^x+21，与牛顿冷却模型是一致的，与借助计算器得到的指数型函数模型也是吻合的。

四、结题环节：要点是建模活动的评价

结题是活动的重要环节，不可忽视或简单处理。教师在学生自评、互评、小组选拔的基础上，选出若干研究课题，在全年级的层面集中进行课题答辩，按照“满意标准”与“加分条件”实施评价，尤其重视形成性评价^[5]。

具体实施时，教师首先要求研究小组（以表格等形式）提交结题报告；然后，让课题研究小组对研究的过程、结果、体会或发现进行交流，分享成果或收获；最后，让学生自评、互评，选出优秀成果，参与答辩。

教师从课题研究参与情况、过程与方法、成果与收获等方面提出“满意标准”，对符合“满意标准”的课题作出合格的鉴定意见，并将成绩纳入综合实践活动的整体评价。教师在课题研究的四个环节中，注意小组成员的表现，为表现突出、有所创新的小组或个人设计了“加分条件”，给出评价意见，提高成绩等级。

加分条件包含但不局限于以下五项。

第一，提出的问题有新意，阐述的研究价值符合基本认知。

第二，收集的数据精度高，方法简单、容易操作、有推广价值。

第三，阐明模型的局限，认识到数学模型有適用范围（通常表现于模型的假设前提、模型的初始值及对模型中参数的限制）。

第四，对模型作前瞻分析，认识到用建立的数学模型进行推断和预测，只是对现实近似的描述，与实际可能存在误差，要更好地认识世界、把握世界，需逐步精确化。

第五，在研究中提升认知，清晰阐述在情感、态度与价值观方面的收获，在过程中有效合作、克服困难，对合作、交流等提出新看法，等等。

数学建模使数学突破自我封闭，构建数学与现实世界的桥梁。教师借助手持技术赋能数学建模活动，让学生模拟真实情境，更简洁、更快捷地收集数据，研究规律，在探究中深刻体验，落实教学目标，促进学生核心素养发展。

注：本文系全国教育科学“十四五”规划2022年度教育部重点课题“数学深度学习的发生机制、过程特征与目标旨向问题研究”（编号：DHA220411）的研究成果。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准：2017年版[S].北京：人民教育出版社，2018：34-36．

[2] 史宁中，王尚志．普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018：195．

[3][4]人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心．普通高中教科书 数学A版 必修 第一册[M]．北京：人民教育出版社，2019：162，163．

[5] 章建跃．核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M]．上海 ：华东师范大学出版社，2021：374．

（作者系福建省福州第三中学数学教研组长，正高级、特级教师，省首批教学名师、省学科带头人，省市两级名师工作室领衔名师，人教版高中数学教科书参与编写者）

责任编辑：祝元志