抛物线中“切点三角形”性质的探究及应用

陶俊

摘要：过抛物线外一点作抛物线的两条切线，这两条切线与过两切点的直线围成的三角形有哪些性质，本文中对这一问题作了深入的研究，并给出了简洁的结论.

关键词：抛物线;切点三角形;性质;探究应用

1 抛物线“切点三角形”及其性质

过抛物线外一点P（x0，y0）作抛物线y=ax2+bx+c的两条切线PA，PB，A，B为切点（如图1），M为AB的中点，连PM交抛物线于点N，称△PAB为“切点三角形”，它具有如下性质：

性质1 “切点三角形”的一条中线平行抛物线的对称轴l，即PM∥l.

性质2 “切点三角形”的一条中线被抛物线平分，即PN=MN.

这里f（x0）是当x=x0时抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的值f（x0）=ax02+bx0+c.

2 抛物线“切点三角形”性质的证明

设其切线方程为y-y0=k（x-x0），与抛物线方程联立，整理得到

ax2+（b－k）x+c+kxo－y0=0.

由PA，PB与抛物线y=ax2+bx+c相切，得Δ=0，即（b－k）2－4a（kx0－y0+c）=0，亦即k2－（2b+4ax0）k+b2+4ay0－4ac=0，则

整理，得y+y0=2ax0x+bx+bx0+2c=f′（x0）x+bx0+2c.

所以直线AB的方程为y=f′（x0）x+bx0－y0+2c.

又点A，B在抛物线上，联立方程消去y，得

ax2+bx+c=f′（x0）x+bx0+2c－y0.

故AB的中点坐标为M（x0，2f（x0）－y0 ），又P的坐标为（x0 ， y0），则PM∥l.性质1得证.

这里，PN2=（f（x0）－y0）2，

由平面几何可知，在△PAB中，PM是AB边上的中线，根据三角形中线定理，可得

由①②式，可得4 PN2=PM2，即2|PN|=|PM|.所以N是PM的中点，PN=MN.性质2得证.

3 抛物线“切点三角形”性质的应用

所以△PAB的面积为18.

例2 如图3，从抛物线上A（1，3），B（3，-1）两点分别作抛物线的切线交于点P，若△ABP的面积为10，求抛物线的解析式.

解析：取AB中点M并连接PM交抛物线于点N，由切点三角形性质1，

可知PM平行于y轴，N为PM的中点.由A（1，3），B（3，-1），得M（2，1）.

因此抛物线的解析式为y=5x2－22x+20.

对于例1用常规方法，可以先计算两切点A，B的坐标，再利用三点坐标求三角形PAB的面积.这显然大费周折，用上面的方法要简便很多.对于例2也許用普通的方法就不好应对了，而用抛物线切点三角形的性质1则可迎刃而解，似乎“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”.