整合教材内容,渗透基本套路

晏炳刚 涂元梅

摘要：基本初等函数是高中数学的核心内容，从函数概念的产生，到图象与性质，再到应用是有基本套路的.本文中以指数函数为例，阐述基本初等函数学习的基本套路.学生在学习了幂函数又体验了指数函数学习的基本套路后，能够加深对基本初等函数学习基本套路的理解，为后续学习对数函数、三角函数等基本初等函数，甚至研究数列的基本套路打下套路基础.

关键词：基本初等函数；指数函数；教学设计

“发展学生的逻辑思维能力，教学生学会思考，就要让学生掌握研究问题的‘基本套路，使数学在培养人才，特别是创造性人才中发挥独特作用.”[1-2]基本初等函数的研究遵循从实际背景到函数的定义与表示，再到图象与性质，最后到函数的应用这一基本套路.学生在学习幂函数时，提炼了基本初等函数学习的基本套路，在接下来的指数函数的学习中巩固这一基本套路，可以加深对基本初等函数基本研究套路的理解，也为后续学习对数函数、三角函数等基本初等函数的基本套路打下基础.指数函数学习的基本套路起到承上启下的作用，为此本文中以高中数学2019新人教版必修第一册教科书中“指数函数”为例整合教材内容，设计教学案例来谈这一基本套路.

1 内容

课时内容为指数函数的概念、图象与性质.本节课是在学生经历了幂函数的图象与性质的基本研究套路之后，研究另一个基本初等函数.通过类比幂函数的研究方法，用两个衰减模型和两个增长模型来引出指数函数的概念，并对指数函数的图象与性质进行研究，进一步巩固研究函数的基本套路.

2 目标与达成

2.1 目标

（1）通过丰富的实例，了解指数函数的实际背景，能分析实例的共性并抽象出指数函数概念.

（2）能用描点法画出具体指数函数的图象，能探索提炼指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点、渐近线等.

（3）结合对指数函数与幂函数的图象特征与性质等的系统研究，进一步理解研究初等函数的基本套路，提升数学抽象、直观想象素养.

2.2 达成

达成目标的标志：

（1）通过纸的对折、游客增长率、碳14衰减及“一尺之锤，日取其半，万世不竭”等实例，能抽象

出y=ax（a＞0，且a≠1）及a的意义.

（2）通过列表、描点、连线，合理观察图象，分类归纳出指数函数的图象和性质.

（3）能用性质解决简单的大小比较问题.

（4）能体会函数研究的基本套路是从实例抽象概念—由解析式作图识图得性质—性质的简单应用.

3 课时教学设计

3.1 概念获得

问题1-1 如图1和图2，一张A4纸，你能对折几次？对折10次有多厚？对折40次呢？对折x次后，厚度是一张A4纸厚度的多少倍？

设计意图：引出指数函数的增长模型，激发学生兴趣，让学生感知到数学知识来源于生活.

问题1-2 （教材第112页）B地景区人数每年增长11%，经过x年后，B地景区的游客人数是开始年的多少倍？

设计意图：用社会经济中的旅游经济再次引出刻画指数增长模型问题.体现数学的社会价值.

问题2-1 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？

设计意图：通过考古碳14衰减的一般规律，引出刻画指数的衰减规律问题，为抽象得到指数函数递减模型做准备.体现数学的科学价值.

问题2-2 一尺之锤，日取其半，万世不竭，问x天后，还剩多少尺？

设计意图：通过传统名句引出指数衰减模型即指数函数递减模型，渗透历史文化，增強文化自信.

设计意图：四个问题分别从折纸长度看地月距离感受指数爆炸式增长，景区人口增长看社会经济现实问题，考古碳14衰减的科学问题和传统文化名言名句的数学含义方面引出四个指数函数模型，观察四个函数，由特殊到一般抽象出指数函数解析式特征进而得到指数函数的概念.

思考1 为什么规定底数a＞0且a≠1？

设计意图：对底数进行深入思考，对指数函数概念进行辨析，从纯数学角度和现实角度理解底数a的范围.

例1 下列函数中，哪些是指数函数？

（1）y=x4;

（2）y=-4x;

（3）y=2-x;

（4）y=2x+1;

设计意图：对指数函数概念进行辨识，加强对指数函数解析式结构的认识.

3.2 图象与性质

问题3 学习了指数函数的概念后，根据函数研究的基本套路，接下来该研究什么？

（图象与性质，即列表、描点、连线、识图、得性质等.）

设计意图：回忆幂函数研究路径与方法提出指数函数图象与性质的研究路径与方法.强化函数研究的一般套路，为接下来的学习建立先行组织者.

学生活动：填表1，学生用描点法画出四个函数的图象（见图3），看图象完成表2的填写.

师生活动：学生参与画图，感受底数对图象的影响.在教师的引导下，学生能观察图象的单调性、特殊点、渐近线，利用数形结合理解函数定义域、值域等，并能完成表格填写.

设计意图：通过大量画图，比较研究不同种类指数函数的图象，归纳概括它们的主要共同性质特征，并能数形结合、直观地分析出各类指数函数的基本性质.

思考2 同一直角坐标系下第一象限内，底数不同的几个指数函数图象有什么特点？

思考3 根据这组图象，还能发现什么？

设计意图：通过观察和分析同一直角坐标系下第一象限内图象的直观特征，得到“底大图高”和“底数互为倒数

的两个指数函数图象关于y轴对称”.形成由图象特征到图象结论的转化.

例2 如图4所示，曲线C1，C2，C3，C4

分别是指数函数y=ax，y=bx，y=cx，y=dx

的图象，则a，b，c，d，1的大小关系是.

设计意图：强化理解底数对指数函数单调性的影响，以及指数函数“底大图高”的特征.

例3 比较下列各组值的大小：

师生活动：教师引导学生归类分析.比较同底数的两个值时，直接利用指数函数的单调性来解决；同指数的两个值

可以利用一个幂函数的单调性，或者利用两个不同指数函数的单调性进行比较；

底数与指数都不同时，可利用两个不同的指数函数来解决，

或者找中间数进行比较.

设计意图：通过数值的大小比较，进一步深入理解指数函数的单调性.通过底数不同的两个值的大小比较，进一步巩固“底大图高”的结论；通过底数与指数都不同的两个值的大小比较，加强理解指数函数过特殊点及单调性等图形特征.

3.3 课堂小结

引导学生认真回顾、总结本课的主要内容，并回答以下三个问题：

（1）研究函数的基本套路是什么？

（2）研究函数图象时，看什么？怎么看？

（3）从本节课来看，函数的图象与性质有什么用途？

设计意图：通过问题（1），建立起函数研究的基本套路，为后面對数函数、三角函数等的研究打下基础；通过问题（2） 再次强化函数图象的作法，以及如何观察图象特征得到函数的性质；通过问题（3）强化函数图象特征，强化使用函数特征解决问题，形成函数研究的基本套路——从概念到图象与性质，再到应用解决问题.

3.4 布置作业

根据课堂实际教学情况，从教科书习题4.2中选取第2，3，4，6题作为作业.

设计意图：考查学生对指数函数概念、图象与性质的理解与掌握.

参考文献：

［1］时杰.关于数学教学“基本套路”的文献综述[J].中学数学教学参考，2020（25）：71-75.

［2］章建跃.注重“基本套路”才是好数学教学[J].中小学数学（高中版），2012（3）：50.