抛物线中的平行四边形存在性问题探究
2023-11-24周红雨
周红雨
抛物线中的平行四边形存在性问题是中考数学的常客,其综合性强,对解题能力要求高.现举例剖析,以帮助同学们掌握这类问题的破解之法.
类型一:已知平行四边形的三个顶点,求第四个顶点
例1 (2022·四川·攀枝花)如图1,二次函数y = ax2 + bx + c的图象与x轴交于O(O为坐标原点),A两点,且二次函数的最小值为 - 1,点M(1,m)是其对称轴上一点,y轴上一点B(0,1).
(1)求二次函数的解析式.
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P,连接PA,PB,设点P的横坐标为t,△PAB的面积为S,求S与t的函数关系式.
(3)在二次函数图象上是否存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有符合条件的点N的坐标,若不存在,请说明理由.
解析:(1)根据题意知,二次函数顶点为(1, - 1),
设二次函数解析式为y = a(x - 1)2 - 1,
将点O(0,0)代入,得a - 1 = 0,解得a = 1.
所以,二次函数的解析式为y = (x - 1)2 - 1 = x2 - 2x.
(2)连接OP,根据题意得点A的坐标为(2,0),
则S = S△AOB + S△OAP - S△OBP = [12] × 2 × 1 + [12] × 2( - t2 + 2t) - [12]t = -t2 +
[32]t + 1.
(3)设N(n,n2 - 2n),分别以AB,BM,AM为对角线分类讨论,利用平行四边形的性质和中点坐标公式,分别求出n的值,进而得出答案.
当AB为对角线时,由中点坐标公式得2 + 0 = 1 + n,
∴n = 1,∴N(1, - 1);
当AM为对角线时,由中点坐标公式得2 + 1 = n + 0,
∴n = 3,∴N(3,3);
当BM为对角线时,由中点坐标公式得2 + n = 0 + 1,
∴n = - 1,∴N( - 1,3),
综上,N(1, - 1)或(3,3)或( - 1,3).
点评:已知三点求第四个点,使其组成的四边形为平行四边形,因为组成平行四边形顶点的字母顺序没有固定,所以需要分三种情况,即以已知的三点组成的三条线段分别为对角线,然后利用中点坐标公式或者全等知识和数形结合的思想进行求解.
类型二:已知平行四边形的两个顶点,求另两个顶点
例2 (2022·贵州·毕节)如图2,在平面直角坐标系中,抛物线y = - x2 + bx + c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为D(2,1),抛物线的对称轴交直线BC于点E.
(1)求抛物线y = - x2 + bx + c的表达式.
(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移,平移的距离为h(h > 0),在平移过程中,该抛物线与直线BC始终有交点,求h的最大值.
(3)M是(1)中抛物线上一点,N是直线BC上一点. 是否存在以点D,E,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
解析:(1)∵抛物线y = - x2 + bx + c的顶点为D(2,1),
∴抛物线的表达式为y = - (x - 2)2 + 1 = - x2 + 4x - 3.
(2)根据(1)中抛物线的表达式可得点A(1,0),B(3,0),C(0, - 3),
进而可得直线BC的表达式为y = x - 3;
设平移后的抛物线为y = - (x - 2)2 + 1 - h,
联立直线BC和抛物线的表达式得-(x - 2)2 + 1 - h = x - 3,
整理得x2 - 3x + h = 0,由于该抛物线与直线BC始终有交点,
所以Δ = 9 - 4h ≥ 0,解得h ≤ [94],
因此h的最大值为[94].
(3)存在,理由如下.
由题意可知,抛物线的对称轴为直线x = 2,
∴E(2, - 1),∴DE = 2.
设点M(m, - m2 + 4m - 3),
若以点D,E,M,N為顶点的四边形是平行四边形,则分以下两种情况.
①当DE为边时,DE[?]MN,则N(m,m - 3),
∴MN = [- m2 + 4m - 3 - (m - 3)] = [- m2 + 3m],
∴[- m2 + 3m] = 2,
解得m1 = 1,m2 = 2(舍),m3 = [3-172],m4 = [3+172].
∴N(1, - 2)或[3-172,-3-172]或[3+172,-3+172].
②当DE为对角线时,设点N的坐标为t,则N(t,t - 3),
∴[m+t=2+2,-m2+4m-3+t-3=1+(-1) ,]
解得[m=1,t=3,]或[m=2,t=2](舍),
∴N(3,0).
综上所述,点N的坐标为N(1, - 2)或[3-172,-3-172]或[3+172,-3+172]或(3,0).
点评:本题已知两点,解题关键是抓住这两点所连线段分别为边和对角线进行分类,作为边时通过平移得到另两个顶点,作为对角线时通过中点坐标公式得到另两个顶点.
综上,求解抛物线中的平行四边形存在性问题的解题方法是:先假设存在这样的平行四边形,然后恰当地分类(已知线段为边或对角线),再结合画图构造辅助线来“化斜为正”,最后利用平行四边形和全等三角形的性质,通过计算加以解决.