抛物线中的平行四边形存在性问题探究

周红雨

抛物线中的平行四边形存在性问题是中考数学的常客，其综合性强，对解题能力要求高.现举例剖析，以帮助同学们掌握这类问题的破解之法.

类型一：已知平行四边形的三个顶点，求第四个顶点

例1 （2022·四川·攀枝花）如图1，二次函数y = ax2 + bx + c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为 - 1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．

（1）求二次函数的解析式.

（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式.

（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．

解析：（1）根据题意知，二次函数顶点为（1， - 1），

设二次函数解析式为y = a（x - 1）2 - 1，

将点O（0，0）代入，得a - 1 = 0，解得a = 1.

所以，二次函数的解析式为y = （x - 1）2 - 1 = x2 - 2x.

（2）连接OP，根据题意得点A的坐标为（2，0），

则S = S△AOB + S△OAP - S△OBP = [12] × 2 × 1 + [12] × 2（ - t2 + 2t） - [12]t =  -t2 +

[32]t + 1.

（3）设N（n，n2 - 2n），分别以AB，BM，AM为对角线分类讨论，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，分别求出n的值，进而得出答案．

当AB为对角线时，由中点坐标公式得2 + 0 = 1 + n，

∴n = 1，∴N（1， - 1）；

当AM为对角线时，由中点坐标公式得2 + 1 = n + 0，

∴n = 3，∴N（3，3）；

当BM为对角线时，由中点坐标公式得2 + n = 0 + 1，

∴n =  - 1，∴N（ - 1，3），

综上，N（1， - 1）或（3，3）或（ - 1，3）．

点评：已知三点求第四个点，使其组成的四边形为平行四边形，因为组成平行四边形顶点的字母顺序没有固定，所以需要分三种情况，即以已知的三点组成的三条线段分别为对角线，然后利用中点坐标公式或者全等知识和数形结合的思想进行求解.

类型二：已知平行四边形的两个顶点，求另两个顶点

例2 （2022·贵州·毕节）如图2，在平面直角坐标系中，抛物线y = - x2 + bx + c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．

（1）求抛物线y =  - x2 + bx + c的表达式.

（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h > 0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值.

（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点. 是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解析：（1）∵抛物线y =  - x2 + bx + c的顶点为D（2，1），

∴抛物线的表达式为y =  - （x - 2）2 + 1 =  - x2 + 4x - 3．

（2）根据（1）中抛物线的表达式可得点A（1，0），B（3，0），C（0， - 3），

进而可得直线BC的表达式为y = x - 3；

设平移后的抛物线为y =  - （x - 2）2 + 1 - h，

联立直线BC和抛物线的表达式得-（x - 2）2 + 1 - h = x - 3，

整理得x2 - 3x + h = 0，由于该抛物线与直线BC始终有交点，

所以Δ = 9 - 4h ≥ 0，解得h ≤ [94]，

因此h的最大值为[94]．

（3）存在，理由如下.

由题意可知，抛物线的对称轴为直线x = 2，

∴E（2， - 1），∴DE = 2.

设点M（m， - m2 + 4m - 3），

若以点D，E，M，N為顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况.

①当DE为边时，DE[?]MN，则N（m，m - 3），

∴MN = [- m2 + 4m - 3 - （m - 3）] = [- m2 + 3m]，

∴[- m2 + 3m] = 2，

解得m1 = 1，m2 = 2（舍），m3 = [3-172]，m4 = [3+172]．

∴N（1， - 2）或[3-172，-3-172]或[3+172，-3+172]．

②当DE为对角线时，设点N的坐标为t，则N（t，t - 3），

∴[m+t=2+2，-m2+4m-3+t-3=1+（-1） ，]

解得[m=1，t=3，]或[m=2，t=2]（舍），

∴N（3，0）．

综上所述，点N的坐标为N（1， - 2）或[3-172，-3-172]或[3+172，-3+172]或（3，0）．

点评：本题已知两点，解题关键是抓住这两点所连线段分别为边和对角线进行分类，作为边时通过平移得到另两个顶点，作为对角线时通过中点坐标公式得到另两个顶点.

综上，求解抛物线中的平行四边形存在性问题的解题方法是：先假设存在这样的平行四边形，然后恰当地分类（已知线段为边或对角线），再结合画图构造辅助线来“化斜为正”，最后利用平行四边形和全等三角形的性质，通过计算加以解决.