用二次函数求最远距离
2023-11-24王建华
王建华
问题引入
例1 上体育课时,阿进在某次试投铅球时,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的函数关系是y = [-112(x-4)2+3] . 建立如图1所示的平面直角坐标系,铅球从y轴上的点A处出手,运动路径可看作抛物线,且点B是该函数图象上的一点.
(1)请你画出该函数的大致图象;
(2)若铅球推出的距离不小于9.5 m的成绩为优秀,请通过计算,求出铅球落地的最远距离,并判断阿进此次试投的成绩是否能达到优秀.
解析:(1)根据所给函数关系式,可以确定抛物线顶点是(4,3),从而可以画出大致函数图象如图2所示;
(2)落地最远距离与最大高度是不同的,当落地时y = 0,故 - [112](x - 4)2 + 3 = 0,解得x1 = 10,x2 = - 2(舍去),则抛物线与x轴正半轴的交点坐标为(10,0). 即铅球推出的距离为10 m. 因为铅球推出的距离不小于9.5 m的成绩为优秀,所以阿进此次试投的成绩达到优秀.
典例辨析
例2 (2022·浙江·台州)如图3,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶,为绿化带澆水. 喷水口H离地竖直高度为h(单位:m). 如图4,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象;把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE = 3 m,竖直高度为EF的长. 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的,上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m,高出喷水口0.5 m,灌溉车到l的距离OD为d(单位:m).
(1)若h = 1.5 m,EF = 0.5 m.
①求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程OC;
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标;
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,求d的取值范围.
(2)若EF = 1 m,要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,请直接写出h的最小值.
解析:(1)①如图4,由题意得A(2,2)是上边缘抛物线的顶点,
设y = a(x - 2)2 + 2,∵抛物线过点(0,1.5),∴1.5 = 4a + 2,∴a = - [18],
∴上边缘抛物线的函数解析式为y = - [18](x - 2)2 + 2.
当y = 0时,0 = - [18](x - 2)2 + 2,解得x1 = 6,x2 = - 2(舍去),
∴喷出水的最大射程OC为6 m.
②∵上边缘抛物线的对称轴为直线x = 2,∴点(0,1.5)的对称点为(4,1.5),
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的,∴点B的坐标为(2,0).
③∵EF = 0.5,∴点F的纵坐标为0.5,解方程0.5 = - [18](x - 2)2 + 2,
得x = 2 ± 2[3]. ∵x > 0,∴x = 2 + 2[3].
∵当x > 2时,y随x的增大而减小,∴当2 ≤ x ≤ 6时,要使y ≥ 0.5,则2 ≤ x ≤ 2 + 2[3].
∵当0 ≤ x ≤ 2时,y随x的增大而增大,且x = 0时,y = 1.5 > 0.5,
∴当0 ≤ x ≤ 6时,要使y ≥ 0.5,则0 ≤ x ≤ 2 + 2[3],
∵DE = 3,灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,
∴d的最大值为2 + 2[3] - 3 = 2[3] - 1.
再看下边缘抛物线,喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d ≥ OB,∴d的最小值为2,
综上所述,d的取值范围是2 ≤ d ≤ 2[3] - 1.
(2)由题意得A(2,h + 0.5)是上边缘抛物线的顶点.
设上边缘抛物线解析式为y = a(x - 2)2 + h + 0.5.
∵上边缘抛物线过出水口(0,h),∴4a + h + 0. 5 = h,解得a = - [18],
∴上边缘抛物线解析式为y = - [18](x - 2)2 + h + 0.5.
∵上边缘抛物线的对称轴为直线x = 2,∴点(0,h)的对称点的坐标为(4,h).
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的,
∴下边缘抛物线解析式为y = - [18](x + 2)2 + h + 0.5.
当喷水口高度最低,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D,F恰好分别在两条抛物线上.
∵DE = 3,设点D(m,0),E(m + 3,0),F [m+3,-18(m+3-2)2+h+0.5],
将点D坐标代入下边缘抛物线解析式,得 - [18](m + 2)2 + h + 0.5 = 0 ①,
又∵EF = 1,
∴ - [18](m + 3 - 2)2 + h + 0.5 = 1 ②,
联立①②,解得[m = 2.5,h=6532.] ∴h的最小值是[6532].
点评:读懂题意,建立二次函数模型是解题的关键,在解决本题的过程中需要分清喷水最远距离与最高距离的不同含意.
总结提升
呈抛物线形运动的最远距离(如抛出的球)、水平运动的最远距离(如飞机落地后的减速运动),这些问题的求解与平常学习过程中“二次函数最值”是有明显区别的,通常是抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标的值. 求解时,先要根据已知条件求出抛物线解析式y = ax2 + bx + c,然后根据点的纵坐标为0列方程ax2 + bx + c = 0,求出这个方程的两个根,最后再结合实际意义确定出最远距离. 在今后的学习过程中,同学们要注意不能遇到求“最值”就看“最高(低)”点,一定要认真审题、细加解题.