用二次函数求最远距离

王建华

问题引入

例1 上体育课时，阿进在某次试投铅球时，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是y = [-112（x-4）2+3] . 建立如图1所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，且点B是该函数图象上的一点.

（1）请你画出该函数的大致图象；

（2）若铅球推出的距离不小于9.5 m的成绩为优秀，请通过计算，求出铅球落地的最远距离，并判断阿进此次试投的成绩是否能达到优秀.

解析：（1）根据所给函数关系式，可以确定抛物线顶点是（4，3），从而可以画出大致函数图象如图2所示；

（2）落地最远距离与最大高度是不同的，当落地时y = 0，故 - [112]（x - 4）2 + 3 = 0，解得x1 = 10，x2 = - 2（舍去），则抛物线与x轴正半轴的交点坐标为（10，0）. 即铅球推出的距离为10 m. 因为铅球推出的距离不小于9.5 m的成绩为优秀，所以阿进此次试投的成绩达到优秀.

典例辨析

例2 （2022·浙江·台州）如图3，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带澆水. 喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）. 如图4，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE = 3 m，竖直高度为EF的长. 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m，高出喷水口0.5 m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）.

（1）若h = 1.5 m，EF = 0.5 m.

①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；

②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围.

（2）若EF = 1 m，要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值.

解析：（1）①如图4，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，

设y = a（x - 2）2 + 2，∵抛物线过点（0，1.5），∴1.5 = 4a + 2，∴a = - [18]，

∴上边缘抛物线的函数解析式为y = - [18]（x - 2）2 + 2.

当y = 0时，0 = - [18]（x - 2）2 + 2，解得x1 = 6，x2 = - 2（舍去），

∴喷出水的最大射程OC为6 m.

②∵上边缘抛物线的对称轴为直线x = 2，∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），

∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的，∴点B的坐标为（2，0）.

③∵EF = 0.5，∴点F的纵坐标为0.5，解方程0.5 = - [18]（x - 2）2 + 2，

得x = 2 ± 2[3]. ∵x > 0，∴x = 2 + 2[3].

∵当x > 2时，y随x的增大而减小，∴当2 ≤ x ≤ 6时，要使y ≥ 0.5，则2 ≤ x ≤ 2 + 2[3].

∵当0 ≤ x ≤ 2时，y随x的增大而增大，且x = 0时，y = 1.5 > 0.5，

∴当0 ≤ x ≤ 6时，要使y ≥ 0.5，则0 ≤ x ≤ 2 + 2[3]，

∵DE = 3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，

∴d的最大值为2 + 2[3] - 3 = 2[3] - 1.

再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d ≥ OB，∴d的最小值为2，

综上所述，d的取值范围是2 ≤ d ≤ 2[3] - 1.

（2）由题意得A（2，h + 0.5）是上边缘抛物线的顶点.

设上边缘抛物线解析式为y = a（x - 2）2 + h + 0.5.

∵上边缘抛物线过出水口（0，h），∴4a + h + 0. 5 = h，解得a = - [18]，

∴上边缘抛物线解析式为y = - [18]（x - 2）2 + h + 0.5.

∵上边缘抛物线的对称轴为直线x = 2，∴点（0，h）的对称点的坐标为（4，h）.

∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的，

∴下边缘抛物线解析式为y = - [18]（x + 2）2 + h + 0.5.

当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上.

∵DE = 3，设点D（m，0），E（m + 3，0），F [m+3，-18（m+3-2）2+h+0.5]，

将点D坐标代入下边缘抛物线解析式，得 - [18]（m + 2）2 + h + 0.5 = 0 ①，

又∵EF = 1，

∴ - [18]（m + 3 - 2）2 + h + 0.5 = 1 ②，

联立①②，解得[m = 2.5，h=6532.] ∴h的最小值是[6532].

点评：读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键，在解决本题的过程中需要分清喷水最远距离与最高距离的不同含意.

总结提升

呈抛物线形运动的最远距离（如抛出的球）、水平运动的最远距离（如飞机落地后的减速运动），这些问题的求解与平常学习过程中“二次函数最值”是有明显区别的，通常是抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标的值. 求解时，先要根据已知条件求出抛物线解析式y = ax2 + bx + c，然后根据点的纵坐标为0列方程ax2 + bx + c = 0，求出这个方程的两个根，最后再结合实际意义确定出最远距离. 在今后的学习过程中，同学们要注意不能遇到求“最值”就看“最高（低）”点，一定要认真审题、细加解题.