实数根细考量 判别式定范围

季近仁

我们知道，对于探究一元二次方程实数根个数的问题，可以借助[b2-4ac]值的三种情况来探寻. 但在历年中考中出现了大量考查逆向思维的考题，即给出方程有实数根的不同情景，来探究方程中字母系数的取值范围. 本文通过5道例题加以剖析.

一、二次项系数不含字母，方程无实数根

例1 （2022·青海·西宁）关于[x]的一元二次方程[2x2+x-k=0]没有实数根，则[k]的取值范围是（）.

A. [k<-18] B. [k≤-18] C. [k>-18] D. [k≥-18]

解析：∵关于[x]的一元二次方程[2x2+x-k=0]没有实数根，[∴]Δ [<0]，

[∴12-4×2×（-k）<0]，[∴1+8k<0]，[∴k<-18]. 故选A.

二、二次项系数不含字母，方程有实数根

例2 （2022·四川·巴中）对于实数[a]，[b]定义新运算：[a]※[b=ab2-b]，若关于[x]的方程1※[x=k]有两个不相等的实数根，则[k]的取值范围是（）.

A. [k>-14] B. [k<-14] C. [k>-14]且[k≠0] D. [k-14]且[k≠0]

解析：根据新定义运算法则，可得[1×x2-x=k]，化成一般形式可得[x2-x-k=0]，

∵关于[x]的方程1※[x=k]有两个不相等的实数根，

[∴]Δ = （-1）2 - 4 × （-k） > 0，解得[k>-14]. 故选A.

例3 （2022·四川·攀枝花）关于[x]的方程[x2-x-m=0]有实数根，则实数[m]的取值范围是（）.

A. [m<14] B. [m≤14] C. [m≥-14] D. [m>-14]

解析：关于[x]的方程[x2-x-m=0]有实数根，[∴]Δ = （-1）2 - 4（- m） = 1 + 4m [≥0]，

解得[m≥-14]. 故选C.

三、二次项系数含字母，方程有实数根且指明是一元二次方程

例4 （2022·四川·宜宾）若关于[x]的一元二次方程[ax2+2x-1=0]有两个不相等的实数根，则[a]的取值范围是（）.

A. [a≠0] B. [a>-1]且[a≠0] C. [a-1]且[a≠0] D. [a>-1]

解析：本题已指明是关于[x]的一元二次方程，因而[a≠0]，又因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ [=22-4×a×（-1）>0]，解得[a>-1]且[a≠0]. 故选[B].

四、二次项系数含字母，方程有实数根但未指明是一元二次方程

例5 （2021·山东·菏泽）关于[x]的方程[（k-1）2x2+（2k+1）x+1=0]有实数根，则[k]的取值范围是（）.

A. [k>14]且[k≠1] B. [k≥14]且[k≠1] C. [k>14] D. [k≥14]

解析：由于本题没指明是一元一次方程还是一元二次方程，因此方程可能有一个实数根，也可能有两个实数根，所以我们应对二次项系数分类讨论.

①当[k-1≠0]，即[k≠1]时，此方程为一元二次方程，根据关于[x]的方程（k - 1）2x2 + （2k + 1）x + 1 = 0有实数根，可得Δ  = （2k + 1）2 - 4× （k -1）2 × 1 = 12k - 3 ≥ 0，解得[k≥14]；

②当[k-1=0]，即[k=1]时，方程为[3x+1=0]，解得[x=-13]，显然有实数根.

综合①②可知[k]的取值范围是[k≥14]. 故选D.

总结：从上面５道例题的探究过程中我们可以清楚发现如下解题规律：

（1）二次方程的二次项系数不含字母，且方程有实数根，必然是两个相等或不相等的实数根，或两种情形兼而有之，這时可以大胆地使用判别式列出关于待定字母的不等式，解此不等式，便可以确定字母的取值范围；

（2）二次方程的二次项系数含有字母，方程有实数根且指明是一元二次方程，这时既要注意二次项系数不等于0，又要结合判别式满足条件列出字母的不等式组；

（3）二次项系数含有字母，方程有实数根且指明是一元二次方程，应区分是一元一次方程还是一元二次方程，也就是应对二次项系数等于0还是不等于0两种情形进行分类讨论，只有当二次项系数不等于0时，才能结合判别式求出字母的取值范围，但最后表述结果时应综合加以考虑.

由此看来，虽然根的判别式表述形式很简单，但应用起来里面有很大的学问，所以提醒同学们：判别式有用须会用，且勿盲目套用.