实数根细考量 判别式定范围
2023-11-24季近仁
季近仁
我们知道,对于探究一元二次方程实数根个数的问题,可以借助[b2-4ac]值的三种情况来探寻. 但在历年中考中出现了大量考查逆向思维的考题,即给出方程有实数根的不同情景,来探究方程中字母系数的取值范围. 本文通过5道例题加以剖析.
一、二次项系数不含字母,方程无实数根
例1 (2022·青海·西宁)关于[x]的一元二次方程[2x2+x-k=0]没有实数根,则[k]的取值范围是().
A. [k<-18] B. [k≤-18] C. [k>-18] D. [k≥-18]
解析:∵关于[x]的一元二次方程[2x2+x-k=0]没有实数根,[∴]Δ [<0],
[∴12-4×2×(-k)<0],[∴1+8k<0],[∴k<-18]. 故选A.
二、二次项系数不含字母,方程有实数根
例2 (2022·四川·巴中)对于实数[a],[b]定义新运算:[a]※[b=ab2-b],若关于[x]的方程1※[x=k]有两个不相等的实数根,则[k]的取值范围是().
A. [k>-14] B. [k<-14] C. [k>-14]且[k≠0] D. [k-14]且[k≠0]
解析:根据新定义运算法则,可得[1×x2-x=k],化成一般形式可得[x2-x-k=0],
∵关于[x]的方程1※[x=k]有两个不相等的实数根,
[∴]Δ = (-1)2 - 4 × (-k) > 0,解得[k>-14]. 故选A.
例3 (2022·四川·攀枝花)关于[x]的方程[x2-x-m=0]有实数根,则实数[m]的取值范围是().
A. [m<14] B. [m≤14] C. [m≥-14] D. [m>-14]
解析:关于[x]的方程[x2-x-m=0]有实数根,[∴]Δ = (-1)2 - 4(- m) = 1 + 4m [≥0],
解得[m≥-14]. 故选C.
三、二次项系数含字母,方程有实数根且指明是一元二次方程
例4 (2022·四川·宜宾)若关于[x]的一元二次方程[ax2+2x-1=0]有两个不相等的实数根,则[a]的取值范围是().
A. [a≠0] B. [a>-1]且[a≠0] C. [a-1]且[a≠0] D. [a>-1]
解析:本题已指明是关于[x]的一元二次方程,因而[a≠0],又因为方程有两个不相等的实数根,所以Δ [=22-4×a×(-1)>0],解得[a>-1]且[a≠0]. 故选[B].
四、二次项系数含字母,方程有实数根但未指明是一元二次方程
例5 (2021·山东·菏泽)关于[x]的方程[(k-1)2x2+(2k+1)x+1=0]有实数根,则[k]的取值范围是().
A. [k>14]且[k≠1] B. [k≥14]且[k≠1] C. [k>14] D. [k≥14]
解析:由于本题没指明是一元一次方程还是一元二次方程,因此方程可能有一个实数根,也可能有两个实数根,所以我们应对二次项系数分类讨论.
①当[k-1≠0],即[k≠1]时,此方程为一元二次方程,根据关于[x]的方程(k - 1)2x2 + (2k + 1)x + 1 = 0有实数根,可得Δ = (2k + 1)2 - 4× (k -1)2 × 1 = 12k - 3 ≥ 0,解得[k≥14];
②当[k-1=0],即[k=1]时,方程为[3x+1=0],解得[x=-13],显然有实数根.
综合①②可知[k]的取值范围是[k≥14]. 故选D.
总结:从上面5道例题的探究过程中我们可以清楚发现如下解题规律:
(1)二次方程的二次项系数不含字母,且方程有实数根,必然是两个相等或不相等的实数根,或两种情形兼而有之,這时可以大胆地使用判别式列出关于待定字母的不等式,解此不等式,便可以确定字母的取值范围;
(2)二次方程的二次项系数含有字母,方程有实数根且指明是一元二次方程,这时既要注意二次项系数不等于0,又要结合判别式满足条件列出字母的不等式组;
(3)二次项系数含有字母,方程有实数根且指明是一元二次方程,应区分是一元一次方程还是一元二次方程,也就是应对二次项系数等于0还是不等于0两种情形进行分类讨论,只有当二次项系数不等于0时,才能结合判别式求出字母的取值范围,但最后表述结果时应综合加以考虑.
由此看来,虽然根的判别式表述形式很简单,但应用起来里面有很大的学问,所以提醒同学们:判别式有用须会用,且勿盲目套用.