基于APOS理论的概念教学设计——以“实数”教学为例

孙丹丹

⦿ 哈尔滨师范大学教师教育学院

数学概念是解决数学问题的基础,因此概念教学是初中数学教学的重点和难点.但是,目前初中生还不能深入理解某些数学概念,基于此运用APOS理论模型通过具体实例,帮助学生初步理解数学概念,让学生在此基础上进行思维内化,抽象出数学概念的本质属性,再将其精确化为具体的数学对象,最后形成关于该数学概念的综合心理图式[1].APOS理论给出了数学概念教学的具体步骤,为初中数学概念教学提供了理论基础,降低了初中数学概念教学的难度.

1 教学设计

1.1 操作或活动阶段:实例直观,激发兴趣

问题1为了美化校园,学校打算建一些正方形花坛,如果每个花坛面积为1 m2,那么正方形的边长应为多少?如果把每个正方形的面积改为2 m2,此时应该怎样确定正方形的边长?

设计意图：从学生生活中的实例出发,使学生感受到数学在生活中的作用,问题设计层层深入,激发学生的探究兴趣.

1.2 过程阶段:思维内化,抽象概念

1.3 对象阶段:合作探究,领悟概念

问题3你能列举出一些无理数吗?

图1

如图2,将直径为1的圆从原点O出发沿着数轴正方向滚动一周,O′的位置对应的数就是π.

图2

图3

在学生深刻理解无理数的概念后,教师给出实数的概念,即有理数和无理数统称为实数.

问题6类比有理数m与其相反数和绝对值的关系,你能总结归纳出实数t与-t和|t|的关系吗?

小组合作探讨,得到:

问题7数轴上的点和实数之间有什么关系?

学生4:一一对应关系.

设计意图：类比有理数与数轴上点的对应关系,总结出无理数与数轴上点的对应关系,体会数形结合思想,为学生理解高中数学中集合的概念作铺垫.

1.4 概型阶段:建立联系,综合概念

问题8实数由哪些数组成?你能分类吗?

问题9还有其他分类方式吗?

设计意图：把新知识实数、无理数与已学的知识建立联系,让学生形成关于实数的综合心理图式.同时,将零散的知识系统化则有助于学生记忆该概念,并能够有效地加以运用.

2 教学反思

2.1 注重实例直观,激发学习兴趣

2.2 重视动手操作,培养数学抽象能力

2.3 提倡合作交流,提升数学抽象能力

基于APOS理论的“实数”教学中,“过程”和“对象”阶段都需要学生有较强的数学抽象能力,所以通过小组合作探究,组内成员相互启发引导,有助于学生更好地抽象和理解数学概念.在学生“抽象概念”的过程中,教师要循序渐进地引导学生,培养学生的抽象思维.同时合作交流符合《义务教育数学课程标准(2022年版)》的要求,是我国人才培养的需要.

2.4 鼓励知识整合,建立认知结构

在基于APOS理论的“实数”的教学中,鼓励学生对已学习过的数系进行分类与整合,有助于学生区分有理数与无理数的概念,理解实数概念的本质,培养分类思想,提高数学抽象能力,使数学概念系统化;同时,为高中数学继续扩充数系打下坚实的基础,也为高中数学中集合的学习做了铺垫.但是,分类思想的运用,要遵循数学概念分类的原则,避免分类重复或者遗漏的情况,从而体现数学的简洁之美、科学之美.