初中几何问题中线段长度的求解技巧探究

卢晓雨

⦿ 江苏省无锡市东林中学

求线段的长度是初中几何的基础问题.解这类题目要综合考虑线段的位置关系,通过题干信息的提取,采用合适的方式进行求解.

1 利用等面积法

等面积法是指用不同方式表示同一平面图形的面积,通过面积的相互转化或面积与边、角关系的互相转化,而使问题得到解决的方法.对于三角形而言,就是指利用三角形的面积自身相等的性质,或根据等高(底)的两个三角形的面积之比等于对应底边(对应高)的比等进行解题的一种方法.利用等面积法解题具有便捷、快速的特点.解题思路大致为:①根据已知条件通过面积的相互转化或面积与边、角关系的互相转化,用不同方式表示同一三角形的面积;②通过题中已知条件进行运算即可求出所求线段长度[1].具体解题思路和步骤如以下例题所示.

例1如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,CD是斜边AB上的高,求CD的长度.

图1

分析：首先根据题中已知条件,可知在一个直角三角形中∠C=90°,以及AC和BC的长度,从而可求得AB的长,又根据CD是斜边AB上的高,通过面积与边、角关系的互相转化,最后进行运算即可求出所求CD长度.

解：∵∠C=90°,AC=4,BC=3,

∴AB=5.

又CD为斜边AB上的高,

∴S△ABC=AC·BC=AB·CD.

∴4×3=5CD.

例2如图2,已知△ABC中,AD是△ABC的中线,AD=4,BC=6,AC=5,P是AB边上的一点﹐且△PBD是以BP为底的等腰三角形,求线段AP的长度.

图2

分析：首先根据题中已知条件,可得AD⊥BC.再根据面积相等可得DH长度.同理,可得BH长度.最后根据等腰三角形的“三线合一”性质,得到PH=HB,求出PB长度,从而求出线段AP长度.

解：过D作DH⊥AB,垂足为H.

∵AC2=AD2+CD2,

∴∠ADC=90°.

∴AD⊥BC.

在△ABD中,根据面积相等可得

在Rt△BDH中,求得

根据等腰三角形的“三线合一”性质,得

PH=HB,AB=AC=5.

2 利用勾股定理

已知直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2.因此,在直角三角形中,已知任意两边长,可求第三边长.构造出直角三角形,用勾股定理建立方程求线段长度的解题思路大致为:①根据已知条件构造直角三角形;②利用勾股定理建立方程;③通过计算求出所求线段长度[2].具体解题思路和步骤如以下例题所示.

例3如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,CD是斜边AB上的高,求CD的长度.

图3

分析：首先根据题中已知条件,可知在一个直角三角形中,∠C=90°,以及AC和BC的长度,从而可求得AB的长.再设BD=x,表示出AD.又因为CD是斜边AB上的高,最后利用勾股定理建立方程,通过计算即可求出所求线段CD的长度.

解：∵∠C=90°,AC=4,BC=3,

∴AB=5.

设BD=x,则AD=5-x.

∵CD为斜边AB上的高,

∴在Rt△ADC与Rt△BDC中,有

CD2=AC2-AD2=BC2-BD2.

∴42-(5-x)2=32-x2.

图4

分析：首先根据题中已知条件,设CE=x,CD=y,再表示出AC和BC,最后利用勾股定理建立方程,通过计算即可求出所求线段AB的长度.

解：设CE=x,CD=y,

∴AC=2x,BC=2y.

∴在Rt△ACD与Rt△BCE中,有

(2x)2+y2=25,
(2y)2+x2=40.

∴x2+y2=13.

∴AB2=AC2+BC2=4x2+4y2=52.

3 利用相似

利用相似求线段长度是根据边角关系发现相似三角形的模型,从而通过运算得到所求线段长度.解题思路大致为:①根据已知条件构造出相似三角形;②设相应线段为x,建立方程;③通过计算即可求出所求线段长度.具体解题思路和步骤如以下例题所示.

例5如图5,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,Rt△MPN中,∠MPN=90°,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,求线段AP的长度.

图5

图6

解：如图6,作PQ⊥AB于点Q,PR⊥BC于点R,则

∠PQB=∠QBR=

∠BRP=90°.

∴四边形PQBR是矩形.

∴∠QPR=90°=∠MPN.

∴∠QPE=∠RPF.

∴△QPE∽△RPF.

∴PQ=2PR=2BQ.

∵PQ∥BC,

∴AQ∶QP∶AP=AB∶BC∶AC=3∶4∶5.

设PQ=4x,则AQ=3x,AP=5x,BQ=2x.

∴2x+3x=3.

∴AP=5x=3.

根据上述不同的求线段长度例题的分析,可以得到求线段长度的基本方法有等面积法、利用勾股定理以及利用相似等.针对不同类型问题,采取相应的解题方法进行解答.在解题过程中,应加强对问题条件的分析应用,借助已知条件和相关性质去灵活解答,以此提高解题效率.同时,也希望同学们谨记各方法的注意事项,记住各方法的适用条件,在考试中灵活加以运用,避免出现错误.