初中数学教材编修中的几个具体问题

李树臣

⦿ 山东沂南四中

笔者有幸参加了《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》颁布以来初中数学实验教材的编写,以及《义务教育教学课程标准(2011年版)》(以下简称《课标(2011年版)》)发布后教材的修订工作.在《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《课标(2022年版)》)颁布后,有关出版社便组织教材修订人员,对与《课标(2011年版)配套的教材进行修订.二十余年以来,笔者亲身经历了在教材整体规划、修订、打磨过程中,始终有许多问题困扰着我们,今选几个典型问题与大家进一步探讨,也期望对正在进行的编修工作有所启发.

1 关于无理数概念的问题

无理数是数学的基础概念,是学生学习的难点,也是教材编写中有争议的地方之一.争议主要体现在两点:一是名称问题;二是编排的“位置”问题.

在《课标(2022年版)》颁布之前,笔者对“无理数”的诞生历史进行过研究,通过深刻思考曾经发表了以《初中数学教材无理数概念编排断想——供教材编者参考》为代表的论文.该文主要论述了三个问题:无理数概念的诞生史;对教材中无理数概念的总体设想;对教材中无理数概念编排的具体建议.对于无理数的概念,我们认为有如下两个问题:

(1)名称应还原历史:把有理数和无理数分别称为“可比数”和“不可比数”

大量资料表明,有理数应叫可比数,无理数叫不可比数.无理数的产生早于数轴的发明,教材中无理数出现在数轴之后是不符合“史实”的.把无理数提前到数轴之前,和有理数“同时”安排,还原了“历史”面貌,有助于学生整体认识数学,感悟数学的本质.

长期以来,我们一直把整数和分数叫做有理数,这似乎是一个毋庸置疑的问题.据文[1]介绍,由于一开始翻译的讹误,才造成了把整数和分数叫做“有理”的数,其原意并不是这个意思.

“有理数”的英文是rational number,“无理数”的英文是irrational number,irrational是rational的反义词.rational这个词原本的含义有二:其一是“比”,其二是“合理”.按照概念的内涵,rational number和irrational number应该分别翻译为“可比数”和“不可比数”[2],由此可见,无理数的本质是不能用整数之比表示的数[2].

《课标(2022年版)》在“课程性质”中的第一句话是“数学是研究数量关系和空间形式的科学”[3].教材编写首先应遵循“科学性原则”,数学教材是学生学习这门“科学”的第一载体,理所当然要尊重科学史实!教材编写中把有理数叫做“可比数”,把“无理数”叫做不可比数”就是还原历史、尊重科学的举措.

利用是否可“比”定义有理数和无理数的意义有三:

一是突出了数学的本质.教材最大的特色或者说排在第一位的特色就是要注重体现数学的本质.《课标(2022年版)》提出了“注重教材创新”的“编写建议”,其中提出,“教材编修……,‘所选内容应注重体现数学的本质’[2]”,用“比”的定义方式突出了数学的本质.

三是符合先“质”后“量”的习惯.任何数学概念都有“质”和“量”两个方面,是“质”和“量”的统一体,在这两个方面中,前者是第一位的.对于数学概念,有两种定义方式:一是通过揭示概念的内涵来定义;二是利用外延来定义.用内涵来定义是立足于“质”的方面揭示概念的本质,而用外延来定义则是从“量”的方面来考虑的.选择定义方式时应先“质”后“量”.

(2)强调关联:把有理数和无理数作为一节课安排在数轴之前

把有理数和无理数放到一节课,提到“数轴”前安排,很多教师认为这样会增加学习困难或负担.那么,该如何让学生“看到”无理数呢?

把有理数和无理数作为一节课符合学生的认识规律,理由有二:

二是具备了知识基础.《课标(2022年版)》在第三学段的“课程内容”中,提出了“探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式”[3]的要求;在“教学要求”中,提出了“会计算平行四边形、三角形、梯形的面积,能用相应公式解决实际问题”[3];在“教学提示”中,提出了“引导学生运用转化的思想,推导平行四边形、三角形、梯形、圆等平面图形的面积公式”[3].由此可见,学生通过第三学段的要求,已经具备了学习无理数的知识基础.

如何让学生感悟到无理数是客观存在的数呢?

笔者认为,对于无理数位置前移,应引导学生经历“实验操作—得到新数(扩充数系的必要性)—探索新数特点(扩充数系的合理性)—给出无理数定义—扩大数学知识结构[2]”的过程.教材要突出“给出可比数的概念、引进不可比数、画不可比数点”三个环节,目的是让学生感悟到“无理数”是实实在在存在的数.

2 关于几何证明安排的位置问题

“推理能力”是《课标(2022版)》提出的重要核心素养之一.推理能力主要包括合情推理能力与演绎推理能力.以往在培养推理能力方面过分依赖几何,比较重视“演绎推理”,对“代数推理”“统计推理”的重视程度不够.为了改变这一现状,《课标(2022版)》在“课程内容”中增加了“了解代数推理”的要求.代数推理能力一方面可以通过合情推理训练来培养,也可以通过演绎推理训练来提升.

平面几何内容历来被认为是培养学生推理能力的重要载体.数学教材应把培养学生的推理能力作为贯穿“图形与几何”内容的主线之一,遵循“合情推理—演绎推理—合情推理与演绎推理相结合”的原则,分三个阶段来设计这部分内容.

《课标(2022版)》对于“图形的性质”这一主题,强调“通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形”[3],这里“强调”意味着在学习图形的性质时应采用三种方法,这三种方法出现的顺序为“实验探究—直观发现—推理论证”.前两种方法有助于合情推理能力的发展,后一种方法注重演绎推理能力.

合情推理对于学生将来的发展具有重要的意义.从这个角度看,教材中“证明”不宜过早出现,安排在八年级下册比较合适,如果安排在八年级上册的话,也应该在其后半部分.

特别需要说明的是,“全等三角形”和“轴对称图形”内容是落实《课标(2022版)》“通过实验探究、直观发现研究图形”最恰当的内容,因此建议把“证明”放在这两章的后面.这样有助于培养学生合情推理能力和实验探究能力.

这两部分内容主要承担的是培养学生的合情推理能力,并为演绎推理能力的发展奠定基础.教科书应采取以实验、观察、类比、推测等合情推理的方式获取数学结论为主,初步感悟演绎推理和变换几何的思想.

例如,全等形概念是在学生“观察图片”的基础上引入的;全等三角形及其特征是在学生“动手操作、观察、比较、探究、感悟”的基础上得到的;三角形全等的四个判定方法都是通过实验探究得到的.

这种安排促进了学生合情推理能力的发展,也有利于培养和发展学生的几何直观和空间观念,丰富学生的数学活动经验,同时对于他们感受数学思考过程的合理性和数学结论的确定性也是非常有益的.

3 关于三角函数的名称问题

“锐角三角函数”是解直角三角形的基础,对应锐角A的正弦、余弦、正切应定义为锐角A的三角比,而不是锐角三角函数.理由如下:

(1)《课标(2022年版)》把“图形与几何”领域分为“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”三个主题.“锐角三角函数”是解直角三角形的基础,锐角三角函数概念在“图形的变化”主题中,在这个主题中图形的变化是主线,这里面包含了合同变换(图形的轴对称、图形的旋转、图形的平移、图形的相似),直角三角形的边角关系也属于这一主线.

(2)《课标(2022年版)》对“锐角三角函数”的要求是“利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA)[3]”.对应《课标(2022年版)》的解读指出“关于锐角三角函数,初中阶段主要研究直角三角形的边角关系,而没有从函数的角度去研究”[4].

(3)对于直角三角形的边角关系,教材中是利用“相似三角形的对应边成比例”来研究的,而不是从变量和函数的角度去研究的.

在定义过程中“比”是核心知识,我们认为叫锐角三角比更能反映它们的实质,也能很好地体现《课标(2022年版)》的上述要求.

在具体引入概念时,应从概念的内涵与外延上作深入的剖析,剖析概念的内涵就是抓住概念的本质特征.教材中可抓住正弦进行剖析,正弦在本质上是一个“比”.为了突出这个比值,结合图1,说明如下:

图1

(1)正弦是一个比;

(2)这个比是∠A的终边上任意一点的纵坐标y与这一点到原点的距离r的比值;

(3)这个比值随∠A的确定而确定,与点在∠A的终边上的位置无关(这一点可用相似三角形的原理来说明);

(4)由于|y|≤r,所以这个比值不会超过1[5].

事实上,对于∠A的每一个确定的值,都有一个确定的比值与之相对应.让学生认识到这一点,他们对正弦的理解就更深刻了.

另外,∠A的终边上的一点P(x,y)一旦确定,x,y,r这三个量(见图2)的值也就确定了,任取其中两个就可以确定一个比值,这样的比值有且只有六个.因此,基本锐角三角比有且只有六个,这便是锐角三角比的外延,在初中我们仅学习其中的三个.

图2

4 关于勾股定理的问题

勾股定理是直角三角形的一个性质定理,由于它有着悠久的历史、丰富的文化内涵以及在数学史上的独特地位和广泛的应用,因此成为数学中最著名、最重要的定理之一.

关于勾股定理,主要有两个问题:一是单独成章还是与实数合并;二是教材中需不需要对其进行证明的问题.这两个问题,编修过程中争议很大.笔者建议:

(1)把勾股定理并到实数一章

将“勾股定理”和“数的开方”合为“实数”一章,这种安排是还实数(勾股定理)到其应在的“位置”.二者合为一体,揭示了他们之间本来固有的实质性的联系,体现了数学的整体性和文化价值.

这种处理方式,不仅解决了传统教材中将二者分开后,究竟先安排勾股定理再安排无理数,还是先安排无理数再安排勾股定理的矛盾.同时,还回归到人类发现勾股定理和无理数的历史,揭示了二者之间的联系,是“形”和“数”两个研究对象在一定条件下相互转化,相互渗透的典范,也符合《课标(2022年版)》突出学生感悟数学思想方法的要求精神.

将勾股定理合并到“实数”后,本章的宏观设计是:在有理数的基础上,通过研究平方、立方运算的逆运算,以及已知直角三角形的两边由勾股定理求第三边边长的需要,引入新的运算——开平方和开立方运算,以及开方运算产生的新数——无理数,提出实数概念(前面只提出无理数概念,但不出现实数),将数的范围扩充到实数.

本章之后将在实数范围内讨论一元一次不等式、二次根式、一次函数.这种统筹安排、整体设计的方式,有利于学生逐步掌握当数域扩充后数学研究的规律和方法,加深学生对数学本质的理解与感受.同时,这种设计更加印证了人类对数的认识是在生产、生活和数学自身矛盾的发展过程中不断加深和完善的事实.

(2)勾股定理不需要证明

《课标(2022年版)》对于勾股定理的要求是“探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题”[3].这个要求在21世纪初开始实施的课程标准中一直没有变化.

直角三角形中的判定有:(1)有两个角互余的三角形是直角三角形;(2)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等,(3)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

用勾股定理看判定方法(2)(3),可以得到如下结论:在等式a2+b2=c2中,任给两个字母的值就可以唯一确定第三个字母的值.勾股定理的重要性在于它在定量几何中扮演着重要的角色.勾股定理的发现和证明具有很强的构造性,如果没有毕达哥拉斯那样对图形关系的高度敏感性和好运气,那么要发现直角三角形三边的平方关系也是很难的.

《课标(2022年版)》对勾股定理的要求是“探索”得到定理并且“会运用”,因此,在教材中不能出现关于勾股定理的证明问题.如果教材中出现勾股定理的证明,则超标了.

以上是作者对编修初中数学教材中几个“敏感”问题的思考建议,供大家讨论.