全概率公式背景下的递推数列

广东省佛山市乐从中学(528315)林国红

一、全概率公式

条件概率是旧版教材要求掌握的内容,新课标在条件概率的基础上,增加了全概率公式与贝叶斯公式(选学).全概率公式是概率论中最基本且最重要的公式之一, 也已成为2019 版普通高中教科书(人教版)数学选择性必修第三册的重要内容,具备“承上启下”的作用,在表现形式上拓展了条件概率,同时也作为贝叶斯公式的理论基础.可以预见,在高考、强基或竞赛等试题中会常看到全概率公式的身影,因此如何应用全概率公式变得非常重要.

完备事件组设A1,A2,··· ,An为n个事件,若满足:

(1)完全性:A1∪A2∪···∪An=Ω;

(2)互不相容性:AiAj=∅,ij,i,j=1,2,··· ,n;

(3)P(Ai)>0,i=1,2,··· ,n.

则称A1,A2,··· ,An为Ω 的一个完备事件组(或称A1,A2,··· ,An构成样本空间Ω 的一个划分).

全概率公式如果事件A1,A2,··· ,An是样本空间Ω 的一个完备事件组, 则对任意的事件B⊆Ω, 有.

全概率公式可以形象地看成“由原因推结果”,每个原因对结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关, 全概率公式表达了它们之间的关系.全概率公式常用于多个原因导致一个结果发生的知因求果的概率预测,表示将一个复杂事件B的概率分解成若干个简单事件的概率之和,这是全概率公式的基本思路.在不易直接求解事件B结果的情况下,需要根据具体情况构造一组完备事件组,得到完备事件组中每个事件的概率,以及在这些事件上的条件概率,然后利用全概率公式求和得到事件B的概率.

二、全概率公式背景下的递推数列的应用举例

在一些复杂的概率计算问题中,特别是概率与试验次数n有关的问题,可以利用全概率公式得到概率的递推关系,再结合数列的相关知识求解.本文采撷几例展示全概率公式与递推数列交汇的美妙,旨在揭示解题的规律与方法,供大家参考.

2.1 全概率公式在高考中的应用

例1(2023 年新课标Ⅰ卷第21 题)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中由此人继续投篮,若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第1 次投篮的人选,第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2 次投篮的人是乙的概率;

(2)求第i次投篮的人是甲的概率;

(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi= 0) =qi,i= 1,2,··· ,n,则.记前n次(即从第1 次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).

解答(1)第2 次投篮的人是乙的概率为0.6,过程略.

(2) 设事件Ai表示“第次投篮的人是甲”, 第i次投篮的人是甲的概率pi=P(Ai), 则事件表示“第i次投篮的人是乙”, 第i次投篮的人是乙的概率为, 显然构成完备事件组.又P(Ai+1|Ai) = 0.6,,且.

例2(2019 年全国Ⅰ卷理科第21 题)为了治疗某种疾病,研制甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分,乙药得-1 分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分,甲药得-1 分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分.甲、乙两药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列;

(2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分,pi(i=0,1,··· ,8) 表示“甲药的累计得分为i时, 最终认为甲药比乙药更有效”的概率, 则p0= 0,p8= 1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,··· ,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1),假设α=0.5,β=0.8.

(i)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,··· ,7)为等比数列;

(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.

解答(1)X的所有可能取值为-1,0,1.于是P(X=-1) = (1 -α)β,P(X= 0) =αβ+ (1 -α)(1 -β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列为

X -1 0 1 P (1-α)β αβ+(1-α)(1-β)α(1-β)

(2) (i) 因为α= 0.5,β= 0.8, 由(1) 得a=P(X=-1)=0.4,b=P(X=0)=0.5,c=P(X=1)=0.1.因为pi=api-1+bpi+cpi+1,所以pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p10,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,··· ,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.

(ii)由(i)可得

由于p8=1,故,所以

p4表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8 时,认为甲药更有效的概率为,此时得出错误结论的概率非常小,说明是这种试验方案合理.

解后思考:试题中递推公式的由来 解答完例2 后,进一步思考:试题中所给出的递推公式pi=api-1+bpi+cpi+1是否合理? 能否根据题意推出递推公式呢?

事实上,是不需要给出递推公式的,递推公式可以根据题意推出来!

由题意可知,若甲得分为i,则下一轮,甲得分要么变为i-1,要么不变,要么变为i+1,其相应的概率为a,b,c,其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).

设事件A表示“一轮试验中,施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈”, 事件B表示“一轮试验中, 施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈”,事件C表示“一轮试验中, 都治愈或都未治愈”, 则A,B,C构成完备事件组.且有P(A) =P(X= 1) =c,P(B) =P(X= -1) =a,P(C)=P(X=0)=b.

某医学院校医学生对非处方中成药类感冒药认知和使用情况的调查 ……………………………………… 谢 敏等（2）：258

设事件M表示“甲药的累计得分为i时, 最终认为甲药比乙药更有效”, 则P(M) =pi.其中P(M|A) 表示在甲药的累计得分为i时, 施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈的条件下, 最终认为甲药比乙药更有效的概率, 此时甲药的累计得分为i+ 1, 所以P(M|A) =pi+1.同理P(M|B) =pi-1,P(M|C) =pi.由全概率公式,得:P(M)=P(A)P(M|A)+P(B)P(M|B)+P(C)P(M|C),即pi=api-1+bpi+cpi+1.

所以试题完全可以不给出递推公式,试题把最难的递推公式直接给出来,原因有两个:2019 年高考学生使用的是旧教材,还没学习全概率公式;二是为了降低难度,给出递推公式是为了控制整个试题的难度,让考生相对更容易解答.

评注事实上,本试题还有深刻的概率论背景,是一个简单的随机过程的马尔科夫链问题,即是“有双侧吸收壁的直线上的随机游走问题”,详细分析可参看文[1].

例3(2020 年高考江苏卷第25 题)甲口袋中装有2 个黑球和1 个白球,乙口袋中装有3 个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2 个黑球的概率为pn,恰有1 个黑球的概率为qn.

(1)求p1,p2和q1,q2;

解答(1),过程略.

(2)由题设可知,Xn的可能取值为0,1,2,由于P(Xn=2)=pn,P(Xn=1)=qn,故P(Xn=0)=1-pn-qn.事件{Xn= 2},{Xn= 1},{Xn= 0}构成完备事件组.由全概率公式,有:

P(Xn= 2|Xn-1= 2) 表示在第n次交换前, 甲口袋已经有2 个黑球, 而第n次交换后仍有2 个黑球的概率, 此时即把甲口袋中的白球与乙口袋的白球交换, 因此.

P(Xn= 2|Xn-1= 1) 表示在第n次交换前, 甲口袋恰有1 个黑球, 而第n次交换后甲口袋有2 个黑球的概率, 此时即把甲口袋中的白球与乙口袋的黑球交换, 因此.

P(Xn= 2|Xn-1= 0) 表示在第n次交换前, 甲口袋没有黑球, 而第n次交换后甲口袋有2 个黑球的概率,这是不可能事件, 因此P(Xn= 2|Xn-1= 0) = 0.所以, 即.

同理有:

P(Xn= 1|Xn-1= 2) 表示在第n次交换前, 甲口袋已经有2 个黑球, 而第n次交换后只有1 个黑球的概率, 此时即把甲口袋中的黑球与乙口袋的白球交换, 因此.

P(Xn= 1|Xn-1= 1) 表示在第n次交换前, 甲口袋恰有1 个黑球, 而第n次交换后甲口袋仍恰有1 个黑球的概率, 此时即把甲口袋中的白球与乙口袋的白球交换或者把甲口袋中的黑球与乙口袋的黑球交换, 因此.

P(Xn= 1|Xn-1= 0) 表示在第n次交换前, 甲口袋没有黑球, 而第n次交换后甲口袋恰有1 个黑球的概率, 此时即只把甲口袋中的白球与乙口袋的黑球交换,因此.所以, 即.

Xn 0 1 2 P 1-pn-qn qn pn

所以

2.2 全概率公式在竞赛中的应用

例4(2017 年广西省高中数学联赛竞赛预赛第6 题)一名篮球队员进行投篮练习.若第n次投篮投中,则第n+1 次投篮投中的概率是;若第n次投篮不中,则第n+1 次投篮投不中的概率是.若该队员第1 次投篮投中的概率为,则第4 次投篮投中的概率为____.

解答设事件Ai表示“第i次投篮投中”, 第i次投篮投中的概率为pi=P(Ai)(i= 1,2,··· ,n), 则事件表示“第i次投篮不中”, 第i次投篮投不中的概率为, 显然构成完备事件组.

例5(2018 年湖南省高中数学联赛预赛B 卷第12 题)棋盘上标有第0,1,2,··· ,100 站,棋子开始时位于第0 站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99 站(胜利大本营)或第100 站(失败大本营)时,游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为pn.

(1)求p3的值;

(3)求p99,p100的值.

解答(1)棋子跳到第3 站有以下三种途径:连续三次掷出正面,其概率为;第一次掷出反面,第二次掷出正面,其概率为; 第一次掷出正面,第二次掷出反面,其概率为,因此.

(2) 设事件Ai表示“棋子跳到第i站”, 则棋子跳到第i站的概率为pi=P(Ai)(i= 1,2,··· ,n), 显然A1,A2,··· ,An构成完备事件组.又,P(An+1|Ai) = 0(i= 1,2,··· ,n-2).由全概率公式,得:

(3) 由(2) 可知, 数列{pn-pn-1}(n≥1) 以首项为, 公比为的等比数列, 故有, 所以.由于若跳到第99 站时,自动停止游戏,故有.

三、教学启示

1.复杂事件的概率计算是概率中的一个重难点问题,其技巧性强,方法比较灵活,往往与试验次数有关,较难一一枚举.利用全概率公式计算复杂事件的概率,关键在于找到适当的完备事件组对样本空间进行分割,“适当”是指在完备事件组下该事件的条件概率能够较为容易求得.通过本文的例子分析,不难发现,找准完备事件组,把事件的概率看作一个数列,利用全概率公式建立递推关系,结合数列的相关知识,能有效解决许多复杂事件的概率计算问题.

2.根据《普通高中数学课程标准(2017 年版,2020 年修订)》,人教版新教材对概率内容进行了调整,在条件概率的基础上增加了样本空间(有限)、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式(选学)等内容,新增内容使得高中概率知识体系更完整.尤其是条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式(即“一个概念,三个公式”)的整体“融入”,强化了条件概率在求解概率问题中的应用,有利于学生全面领悟概率的本质,增强解决概率问题的思维能力和逻辑推理能力, 对于落实“立德树人”的根本任务,有着特别重要的价值.

3.“一个概念, 三个公式”也将是高考命题的重要方向:2023 年新课标Ⅰ卷第21 题的问题(2)考查全概率公式;2022 年新课标Ⅰ卷第20 题就着重考查了条件概率(需要说明的是:试题也可以用贝叶斯公式解答);2019 年全国Ⅰ卷理数第21 题就是以马尔科夫链为背景,结合全概率公式命制的.全国卷对“一个概念,三个公式”的连续考查理应引起师生的重视.

4.“一个概念,三个公式”的教学不能止于公式的记忆和死板的应用,要理解概念、公式之间的联系,把握概念与公式的本质: ①以条件概率为逻辑起点,理顺关系,掌握知识间的逻辑结构.②要充分理解条件概率与三个公式的意义,注意“条件”的相对性与“条件”的变化.③要掌握通过“事件”引领,注重事件的转化和样本空间的分析,以事件与空间串联问题线索的问题解决方法,分析事件之间关系、概率关系.