DEM内插方法与精度评定

黄丽思

（福建省地质测绘院 福建南安 362300）

1 引言

数字高程模型是一组范围内标准网格的平面座标（X、Y）和它们的高度（Z)的数据集，它是一种以一套有序的数字值阵列形式来表达地表高度的物理模型。DEM 以地理区域地形空间分布为研究对象，在工程、军事、航天方面应用广泛。

DEM的数据质量是El研究的重点，DEM资料的质量对GIS 空间分析的精度有很大的影响，这关系到测绘工程、项目规划设计，甚至是工程项目的成功与否。DEM 数据质量的科学测量与质量管理成为DEM制作者和用户所关心的问题。

2 DEM的内插方法

根据内插点的面积和空间分布，可把内插方法分成整体内插、分块内插点以及逐点内插三种。如果用一个二进制函数来简单描述一个数理曲面与参照点之间的映射关系，可大致将它区分为以下两个基本类别：一类是纯的二维曲面内插,另外一类是三维曲面的内插。前者只需要在数学曲面上对其所有的参考点都进行内插，也就是说，它的全部参考点与数学平面的高度差异为0。后者无需精确地求出参照点，但有些情形必须符合，如在插值区内，所有参考点与数学高差之平方和均为最小，符合最小二乘条件。

2.1 整体内插法

通过对研究区各取样点的观察，建立了一套完整的内插拟合模型。采用多项式函数进行全局插值的实现，因而也被称为全函数内插。它们具有不能提供内插区域局部特征的特点，利用这种方法可以对大尺度的宏观变化趋势进行数值模拟。

将描述研究区域的曲面形式表示为下面的二进制多项式：

式中，有n个待定系数Cij（i,j=0,1,2,…,m）,在研究区域中，对n个基准点的三维坐标进行测量：P1（x1，y1,z1），P2（x2,y2,z2），…，Pn(xn，yn，zn)在此基础上，把它代入到方程中，得到一个唯一的门阶线方程。

用公式（1）将待插点的座标转换为待测点的高度值。全函数内插的优势在于容易理解，因为地形的简单参照点很少，用低次多项式来表示即可。但是如果地形比较复杂，需要适当增加参考点数目。不过，由于多项式本身为包含一个自变量的一个幂函数，参考点的增加减少及移动都必须针对该多项式中其他所有的参数来做出一个全面动态的调节，这样，在多项式参考点的内部就会逐渐形成一个很难被抑制到的振动。在实践中，很少采用直接内插的方法。其主要应用是在某些局部内插方法插入区域之前，剔除部分与整体趋势不符的宏观地理特性。

2.2 分块内插法

由于现实中我国的地理环境条件非常复杂,不能直接用某一个多项式函数对我国整体的地理环境条件展开一个模型的拟合。所以,在DEM 函数的内插算法中,一般并不要求先进行一个全局函数的存在性内插,而是直接采用包含了多个局部函数的内插值的算法,即分块内插。分块内插法也就是把将要用来建立一个数字高度模型中的区域分割转化为规则块（一般是正方形）。其规模取决于地形的复杂性和数据来源的规模，把数学面扩大到每个小块，并在它周围的区块间形成合适的交迭区域，保证它的数学平面和它附近的数学平面相结合。

2.3 逐点内插法

逐点内插法是将被插入的点作为一个中心，定义一种用于对周边数据点进行拟合的本地函数，数据点的分布随着要插入的位置的改变而改变，因而也被称作运动曲面法。

本文提出了几种方法：基于移动拟合法、加权平均法、泰森多边形图法、基于地形特征的点插法。采用逐点插入法简单方便，其中最重要的问题是如何确定内插窗口区域。这不但会影响插值的准确性，而且，这和内插的速度有关。因此，在此基础之上，Voronoi（泰森多边形）中的点内插算法是当前较为理想的一种逐点内插方法。

实际上，不同的内插方法各有利弊，在不同的地形和不同的采点下，会产生不同的误差。它的核心问题是如何确定相邻区域以及如何选取合适的内插函数。

3 DEM的生产方法

DEM能很好地模拟地形，而且DEM还能推导出大量的数据，比如最常用的坡度、坡向、山影等，DEM还可以与DOM 或其他主题数据相重叠，这是一种与地形有关的分析，也是DOM的基本资料。

DEM 资料的获取一般有两种方式，一种是直接从已有的DEM 资料中下载，如SRTM、ASTER，以及利用等高线产生DEM。使用等高线产生DEM 的方法有以下几个步骤：

1）先把等高线变成TIN。在ArcGIS 中，装入3D分析工具条，按下3D 分析-＞创建/修改TIN-＞创建TIN功能……。

2）在弹出的对话框里，在Layers 中勾选等高线图层，这些图层要求产生TIN，选择用于存储等高线高度的域，在Triangualte as 中选定边界类型，最后，设定TIN的输出路径，按OK键，产生TIN。

3）将TIN 转换成GRID。在下拉菜单中按顺序选择“转换”-＞“输入到收报器”……在Attribute 中，选择“Elevation”，也就是Raster 的象元值为高度，在这里也可以选择Slope、Slope 以及Aspect，即坡度（百分比）、坡度（标度）和坡向；在Z Factor 中设置Z因子，即高程因子，此处默认即可；在Cell size 中输入象元的尺寸；最后，在输出列表中。

4 DEM在剖面图中的应用

设定输出路径和文件名称，按确定键。

DEM 数字高程模型采用无人机进行空中测量，其地面分辨率通常较高，有些甚至能达到0.2米。有时需要用航测DEM 生成剖面图，用传统的手工剖面法进行剖面，不仅耗时耗力，而且还容易出现误差。用Global Mapper软件就可以很好地解决这个问题。

Global Mapper 在地图绘制方面具有多种功能，包含三维矢量，激光雷达数据生成高度栅格，计算交迭网格、地貌、视图、棚屋等，很适合运用于地学工作、公路施工、地质构造分析工作。

用DEM生成剖面图的工作流程：

1）开启Global Mapper，找到工具-＞路径剖面/视线工具。

2）在需要绘制剖面的位置处添加一个3D Path路径。

3）鼠标右键结束绘制后，剖面图根据DEM 的高程值，自动计算并生成出来了。

4）若对生成的剖面图不满意，可以调整其参数再次生成。

5）Global Mapper 还提供了计算视线、计算填挖方的功能。

5 DEM的精度评定

从DEM 资料中可以看出，DEM 数据中必然会有粗差。而且，因为粗差的存在，会较大影响DEM 的准确性，所以，在DEM 的准确性分析时，DEM 的粗差应该首先消除。在一般情形下DEM 的精度可以被看作是完全不受粗差影响的，因此，若从量化视角考虑，则DEM的误差也可以用定量的观点来表示：

其中，σDEM为DEM 的误差，sz为高程内插误差，a1和a2位系数，sm为原始资料的高程误差。采用数值计算与内插sz相结合的方法，分析了DEM 高程插值的误差。在此基础上，本文提出了一种基于传递函数法、协方差函数法的新算法。检查点方法可以事先指定为栅格或任何形式的检查点，在这些位置上对所产生的DEM 进行检验。通过对两个点上的插值与实际高程进行对比，得出各点的误差，并计算出中间误差，该方法简单、实用，是目前普遍采用（2）的方法。

假定检查点的高程是Zk（k=1，2，…，n），DEM 建立后，将DEM 中的高程插入到DEM 中，DEM 的精度为：

关于国家测绘地理信息局1∶10000 和1∶50000数字高程模型的生产工艺设计要求（暂行本）及其中关于DEM 网格点式和其他野外控制点之间的高程计算误差的规定，分别见表1 和表2。以1∶10000 的技术规范为例，系统在精度检测时采用了检查点分析法，可以较好地体现DEM的综合准确度。

表1 1∶10000 DEM精度标准

表2 1∶50000 DEM精度标准

1∶10000DEM技术规范如下：

1）高程的最大偏差是中间偏差的两倍。

2）如森林等隐秘区域，其高程误差应按照表1的1.5倍计算。

3）DEM内插高度中的误差是表1的1.2倍。

4）一般按照第二次精确度的要求，如果初始数据的准确性不高，可采用三次精度剖面法，即根据某一断面进行测量，求出高程及实际高程的精度。

断面形状可以是X方向、Y方向或任何方向。对于任意截面的误差，可以用诸如转移函数等数学方法来求解，利用实测和插值剖面的对比，可以估计出高程误差。转移函数方法以傅里叶级数为依据。

其基本原则是，任意一条连续曲面的截面都可以用傅里叶级数来表示：

6 结束语

DEM 插值法是通过对采样点的曲面进行估计每个位置的值。这些方法都是根据相邻取样点的相似度来生成曲面。为了找到最佳的内插方法，必须检测数据点之间的差异，数据点的改变决定了DEM内插的效率。不同地形、不同采点方法的DEM 内插方法存在着差异，不同方法的先决条件和优劣，在插值精度、速度等方面，根据应用的不同侧重点，选择最佳的插值算法。