一道三角形中线试题的多角度探究

吴志峰

一、真题回放

（2023年新高考数学Ⅱ卷第17题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，D为BC中点，且AD=1．

二、试题分析

三、试题解析

第（1）问的求解过程

解法1：利用余弦定理解三角形

解法2：作高法

【评注】在三角形的面积问题中，作高法是一个常见的方法，而且作高的本质也是在构建完全可解的Rt△ADE，而且作高后tanB的值恰好可以在Rt△ABE中利用正切的定义求得，从而使问题得到简化.

第（2）问的求解过程

解法1：利用互补的角构建方程

在△ABD与△ACD中，由余弦定理得：

【评注】本题条件中并没有发现明显的完全可解的三角形，如何利用正余弦定理构建方程组是解题的关键.在本题的几何图形中，有三个三角形，在这类多三角形的几何问题中，往往借助几个三角形的相关联的角（公共角、互补、互余）或公共边来构建方程组.解法1利用了△ABD与△ACD的一对互补的角来构建方程，解法2利用△ABD与△ABC的公共角来构建方程，体现了函数与方程数学思想方法在解题中的应用，这也是利用正、余弦定理解决此类问题的通法.

解法3：利用中线的向量公式

【评注】新教材把解三角形的知识放在了平面向量这一单元中，突出了向量方法在平面几何中的应用，体现了向量的工具性和应用性，也突出了向量法在解三角形问题中的地位.向量法是解三角形问题中的常用方法，向量法在三角形中线问题中有着广泛的应用，利用三角形中线的向量公式或极化恒等式等，通过向量的运算可以快速得到三角形边角之间的联系，为解题提供方便.

解法5：利用中线长公式

在△ABC中，因为D为BC中点，

得a2=2（b2+c2）-4AD2=12，所以a=23.（下同解法1）

【评注】中线长公式来源于人教A版教材必修第二册第六章平面向量及其应用的一道课后习题，在高考解答题中用这个公式需要先进行证明，可以利用余弦定理证明，也可以用向量法证明，上面的解法4、5得到的边的关系就是中线长公式的一个变形.如果能够熟练掌握这个公式，在求解三角形中线的问题中可以事半功倍.

解法6：补形后再解三角形

△ABF中，由余弦定理得：AF2=b2+c2-2bccos∠ABF，

所以2bccos∠ABF=b2+c2-AF2=8-4=4，

所以bc=4，联立b2+c2=8解得b=c=2.

【评注】此解法通过补形，借助平面几何中全等三角形的知识，把问题转化成解△ABF的问题，从而把一个多三角形的问题转化成了单个三角形的求解问题.通过图形转化，使条件更简洁和便于運算，体现了数形结合思想在解题中的应用.这也是解决三角形中线相关问题一种常用的解题思路.

解法7：坐标法

如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

设A（x，y），B（-t，0），C（t，0），t>0.

由AD=1得x2+y2=1.

由b2+c2=8得（x-t）2+y2+（x+t）2+y2=8，

【评注】坐标法是解决几何问题的常用解法之一，通过引入坐标系，借助坐标来表示平面几何中的边和角，再进行求解的过程.解三角形问题本身就是一个几何问题，当我们用正余弦定理求解遇到困难时，不妨试试坐标法.

四、解题反思

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，我们从不同角度对这个高考题进行求解，特别是对第（2）问的解析中，更是有多种构建方程的思路和方法，解法1、2利用正余弦定理构建方程，解法3、4利用向量构建方程，这两个解法是解决解三角形问题的通法，突出考查函数与方程数学思想方法的应用，要求考生能够熟练掌握.解法6、7从几何角度进行求解，巧妙借助平面几何的知识和解析法，使问题得到简化，是解决解三角形问题的特殊解法。了解这些解法有助于同学们了解知识之间的联系，对提升解题能力，提升数学核心素养有很大的帮助.通过以上分析，我们发现，在解决三角形的中线及其相关问题时，以下几个常用的公式给解题带来很大帮助，我们需要牢记.

五、练习题

下面整理几道与三角形中线有关的练习，从求边长、求角度、求面积、求最值、求范围五方面进行整理，供各位考生参考.

1.求边长

2.求角

练习2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D为AC中点，BD=b，求cos∠ABC.

【简析】由中线长公式得4BD2=4b2=2a2+2c2-b2，

又b2=ac，所以2a2+2c2-5ac=0，

解得a=2c或c=2a，

3.求面积

【简析】

设BD=DC=t，t>0，

△ABD中，AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=4+t2+2t，

△ACD中，AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=4+t2-2t，

5.求范围

【简析】