利用曲线坐标方程计算线路纵断面标高

张群亮，廖显军

（1.中国铁路青藏集团有限公司 格尔木工务段，助理工程师，青海 格尔木 816000；2.中国铁路南宁局集团有限公司 南宁铁路工程建设指挥部，工程师，广西 南宁 530029）

0 引言

根据线路设计规范，正线和城际铁路160km/h及以上相邻坡段的坡度差大于或等于1‰，城际铁路160km/h 以下动车组行走线相邻坡段坡度差大于3‰，应采用竖曲线连接［1］。

传统铁路线路纵断面标高在竖曲线范围进行近似调整的计算方法，存在以下几个缺点：

首先，实际上变坡点处没有竖曲线是不存在的，相邻坡段的坡度差小于1‰同样产生竖曲线，因为现场线路纵断面在变坡点处不可能出现有角度的变坡点，而是以平滑的线条过渡，即使竖曲线长度很短，每处变坡点都存在竖曲线，传统计算忽略这一点，理论上存在缺陷。

最后，在计算竖曲线范围内线路纵断面标高时，还需要进行竖曲线的纵距计算，换算为线路纵断面最终标高，不能一次计算完成，计算过程繁琐。

因此，有必要研究出新的计算方法以解决实际问题。

1 利用曲线坐标方程计算方法的提出

首先始坡度线上任意一点为坐标原点，以水平线为横轴建立独立坐标系，以每两个坡段和竖曲线构成一个竖曲线单元，变坡点为竖曲线的JD，如图1，每个竖曲线建立一个标准曲线坐标方程式，以曲线相对里程为自变量，计算竖曲线上任意测点里程对应的横坐标、纵坐标值，横坐标为线路里程，纵坐标为线路纵断面标高。再者在独立坐标系下，建立连续曲线坐标方程，计算出线路纵断面上任意一计算点的线路里程和标高。

图1 线路纵断面独立坐标系

2 建立线路纵断面独立坐标系

以大地水平线为横轴，以第一坡度线竖曲线外任意一测点为原点建立线路纵断面独立坐标系，每一个竖曲线方程单元划分如图1，各坡段的变坡点里程、标高，各竖曲线ZY点里程、标高计算如下：

（1）已知各坡段的坡度I（i），变坡点标高H（i）、坡长L（i）、竖曲线半径R（i），求得变坡点在独立坐标系中的坐标：横坐标、纵坐标YJD（i）=H（i）。

导线长度为：

（2）在独立坐标系内，将纵断面划分若干个曲线单元，第1 竖曲线单元从坐标原点至第2 曲线ZY（2），依次类推，第i竖曲线单元从ZY（i）点至ZY（i+1），如图2。

图2 独立坐标系下竖曲线纵断面图

在独立坐标系下，以线路纵断面线建立线路曲线坐标方程，线路上某点j，里程为S（j），计算线路纵断面上各测点的对应的坐标X（j），Y（j），横坐标为平面曲线的相对里程在水平线上的投影X（j），纵坐标Y（j）为线路纵断面标高，如图3。

图3 线路纵断面在独立坐标系下的坐标图

第1个竖曲线里程S（j）计算范围：0～LZY（2）。

第2个竖曲线里程S（j）计算范围：LZY（2）～LZY（3）。

…………

第i个竖曲线里程S（j）计算范围：LZY（i）～LZY（i+1）。

其中最后一坡段终点；LZY（i+1）就是LJD（i+1）的里程，图3中，LZY（3）就是LJD（3）的里程。

3 建立竖曲线标准坐标方程式

以ZY点为原点，始切线为横轴，建立坐标系，左转圆曲线如图4所示。

图4 标准坐标系下的圆曲线图

以里程li为自变量，假设ZY点里程为0，则圆曲线及两端切线方程为：

（1）始切线坐标：

（2）圆曲线上任意一点i的坐标方程为：

（3）终切线坐标：

以上公式中φi为弧长li对应的圆心角，L为竖曲线全长，T1、T2为竖曲线切线长，α为竖曲线的转角，这就是普通圆曲线标准坐标方程（公式证明从略）。

如为曲线向右转，则纵坐标Yi=-Yi，其他与左转曲线一致。

4 在独立坐标系下建立竖曲线坐标方程式

在独立坐标系下，以变坡点为导线点建立线路纵断面竖曲线坐标方程，线路上某点j里程为S（j），其坐标计算，首先计算竖曲线标准坐标方程下的坐标，再通过坐标平移旋转换算成独立坐标系下的坐标。

4.1 竖曲线标准坐标方程下的坐标计算

首先根据S（j）值，判断该点j落在哪个竖曲线范围，根据图1 判断，第i个竖曲线里程S（j）计算范围：LZY（i）～LZY（i+1）。

4.2 独立坐标系下竖曲线标准坐标方程坐标换算

第i个竖曲线平移横、纵坐标为：XZY（i）、YZY（i），旋转角度为始切的方位角AFJ（i），竖曲线标准坐标方程的坐标通过平移、旋转坐标换算为独立坐标系下的坐标，计算公式如下：

由于独立坐标系竖曲线坐标方程自变量里程S（j）是沿着线路纵断面线移动，其横坐标是线路里程，纵坐标是标高，曲线方程里程S（j）和线路里程并不相等，所以需要通过试算微调曲线方程里程的方式，达到计算出线路纵断面某一确定里程对应标高的目的，这一步通常需要编写计算机程序去完成。

用同样方法求得各计算点的绝对线路纵断面里程和标高，这样就完成了线路纵断面里程和标高的计算。

5 计算实例

已知i1=+2‰，i2=+3.4‰，变坡点里程V=K736+300，变坡点标高HV=68.300m，竖曲线半径R=20000m，试求竖曲线始终点里程及竖曲线上每20m点的标高［2］。

每个坡段的方位角：

以竖曲线ZY点开始计算线路纵断面标高，则导线长度，以竖曲线ZY点为坐标原点，水平线为横轴建立独立坐标系，如图5。

图5 建立竖曲线独立坐标系

ZY点的坐标为当j点的里程时，求其坐标为：

表1 线路纵断面标高计算成果表

6 结束语

利用曲线坐标方程计算线路纵断面标高的新计算方法，该计算方法数学逻辑推理严谨，精度高，计算结果经与已公开出版书籍的案例进行对比，证明计算正确，克服了传统计算方法存在的精度不高、计算过程繁琐等问题，该方法也便于编写计算机程序进行计算，通过对若干条线路的纵断面标高计算，其运算速度快，提高了工作效率。