五年级“因数和倍数”易错题分析及教学改进

杨锡鹏

［摘 要］五年级“因数和倍数”一课的主要知识点包括认识因数和倍数的含义，求一个数的因数的方法，求一个数的倍数的方法等。过多关注数学概念的教学，会容易忽视用数学概念解决问题的教学，导致学生解题出现错误。分析学生的易错点，在“因数和倍数”一课中采用基于生活情境的例题，以提高学生的审题和解决问题能力。

［关键词］因数和倍数；易错题；教学改进

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2023）23-0069-03

苏教版教材五年级下册“因数与倍数”一课中包含三个数学知识点：认识因数和倍数的含义，掌握求一个数的因数的方法，掌握求一个数的倍数的方法等。教师在教学因数和倍数的认识时，一般分三个层次开展教学活动：第一层次是用12个同样大的正方形拼成一个长方形，让学生用乘法算式表示自己的拼法；第二层次是借助“4×3=12”这个乘法算式向学生说明“哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数”；第三层次是让学生根据另外两个乘法算式说出“哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数”。教师在教学求一个数的因数的方法时，通过例题“找出36的所有因数”引导学生经历三个阶段：第一阶段是明白哪两个数的乘积是36，那这两个数都是36的因数；第二阶段是探索如何不重复、不遗漏地找出36的所有因数，可以依次列举积是36的乘法算式，也可以从1开始依次用36去除每一个数；第三阶段是引导学生用集合图表示36的所有因数。教师在教学求一个数的倍数的方法时，通过例题“用列举的方法找出3的倍数”引导学生经历两个阶段：第一阶段是理解3和某一个自然数（不为0）相乘所得的积就是3的倍数，按照从小到大的顺序排列3的倍数，后面还要加上省略号；第二阶段是用集合图按从小到大的顺序表示3的倍数。

可以发现，无论是教材的编排还是教师的教学活动，都做到了逻辑严谨和条理清晰。可是，学生在完成“因数和倍数”的作业时还是出现了大量错误。对此，笔者梳理了部分易错题，并通过分析错误原因来找到教学改进的方法。

一、易错题梳理（见表1）

二、错例分析

师（出示第1题）：这道题目要算什么？

生1：找3的倍数和9的倍数。

师：题目说了要在什么范围内吗？

生2：100以内的数。

师：是的，审题要仔细，要看清楚题目中的所有要求。那么你知道3的倍数和9的倍数有哪些吗？

生3：3的倍数有3、6、9、12、15、18、21、24、27；9的倍数有9、18、27、36、45、54、63、72、81。

师：要在100以内的数中找，3的倍数和9的倍数还有哪些？请列完整。

生4：3的倍数有3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45……99；9的倍数有9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99。既是3的倍数又是9的倍数的数有9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99。我还发现了既是3的倍数又是9的倍数的数其实都是9的倍数。

师（出示第2题）：这道题目问的是什么？

生5：这道题目就是问96的因数有哪些。

生6：我們就用96分别除以2、3和5，看看有没有余数。如果没有余数，就是答案了。

师：接下去怎么做？

生7：96÷2=48，96÷3=32，96÷5=19……1，所以用1号车或2号车正好可以装完。

师：像你这样做真简单啊！为什么可以这样做？

生7：我们找一个数的因数时，既可以去想哪两个数相乘的积是96，也可以用96除以1、2、3……的数。题目已经说了1号车载质量2吨，2号车载质量3吨，3号车载质量5吨，用96分别除以2、3和5更方便。

师（出示第3题）：能读懂这道题目的意思吗？

生8：题目要我们判断产品个数为78、94、86、87、82、80的箩筐中哪两只箩筐里的产品是徒弟加工的。

师：应该怎么解决呢？

生9：根据“师傅的产量是徒弟的2倍”，得出师傅的产量一定是双数。我发现题目的6个数中只有一个数是单数，所以87那筐肯定是徒弟的。

师：你是根据2的倍数确定了87那筐是徒弟的，那么徒弟还有一个箩筐的产品个数怎么确定呢？

生9：这就要靠计算了。根据“每只箩筐都标明了产品的个数：78、94、86、87、82、80”，可以计算出师傅和徒弟加工的产品总个数是78+94+86+87+82+80=507（个），又根据“师傅的产量是徒弟的2倍”，这道题目就变成了和倍问题，可以算出徒弟的产量是507÷（2+1）=169（个）。因此，徒弟的另一个箩筐的产品个数是169-87=82（个）。我们要选择“87”和“82”这两个答案。

通过以上的师生对话发现，学生在解决问题时经常出现思维卡壳现象，不能用因数和倍数的数学知识来解决问题，这往往是由于教师缺乏用因数和教学解决问题，原因有三。

第一，从数学知识的角度看，本节课中教师要落实三个数学知识点的教学，既要帮助学生体会本节课中的因数和倍数与以前的因数和倍数是不同的，又要学生在探究活动中掌握求一个数的因数和倍数的方法，因此本节课的教学时间较为紧张。

第二，从解决问题的角度看，缺少运用因数和倍数的知识解决实际问题的机会，会导致学生缺乏用因数和倍数的知识解决问题的能力。同时，学生的审题能力较弱，当题目中有较多条件时，学生不能顾及每个数学信息。

第三，从作业练习的角度看，相应的练习要让学生在丰富的情境中解决问题，但教师布置的作业与例题基本相同，情境不够丰富。只有创设丰富的作业套餐，设计不同难度的基础题、提高题和拓展题等，才能满足不同学生的发展需求。同时，教师设计的作业中要有丰富的背景素材，让学生在真实情境中解决问题，感受学习数学的应用价值。

三、教学改进

一节数学概念课，教师既要帮助学生建构数学概念，又要引导学生运用数学概念解决问题。如何统筹安排数学概念与解决问题的教学呢？这就需要教师精心地设计课堂中的教学活动，精选课堂中的例题和习题，帮助学生在学以致用中巩固数学概念，提升解决问题的能力。

第一环节：暴露已有学情，建立因数和倍数概念

师：你知道什么是因数，什么是倍数吗？

师：用12个同样大的正方形拼成一个长方形，每排摆几个，摆了几排？请你先画出示意图，再用4个算式表示。

师：如4×3=12这个乘法算式中，4和3都是12的因数，12是4的倍数，12是3的倍数。又如12÷2=6这个除法算式中，2和6都是12的因数，12是2的倍数，12是6的倍数。

师：根据6×2=12，你能说出哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数吗？根据12÷3=4呢？

【设计意图：美国数学家杜宾斯基认为，学生学习数学概念要经历操作或活动阶段、过程阶段、对象阶段和图示阶段等四个阶段。本课教学中，活动阶段是让学生通过活动初步体会因数和倍数的含义，辨析本单元中的因数和倍数与之前学习过的区别；过程阶段是学生对活动进行思考，在思维内化和压缩中抽象出因数和倍数概念的特征；对象阶段是学生通过抽象过程认識了因数和倍数的概念后，就要模仿着去说出乘法和除法算式中谁是谁的因数，谁是谁的倍数；图示阶段是学生在学习中进一步完善因数和倍数概念，在头脑中形成综合的心理图式。】

第二环节：借助生活情境，探究求一个数的因数

师（出示例题：货场有36吨煤，用载质量是多少的卡车多次运送正好可以装完？请找出所有答案）：题目中的条件和问题分别是什么？先独立解决这个问题，再在小组里交流你的想法。

师：我们要解决用载质量是多少的卡车多次运送正好可以装完，就是解决什么问题？要找36的所有因数，你会怎么找？

生1：可以想哪两个数的积是36，四九三十六，六六三十六。

生2：不对，不能只从乘法口诀表里找，只要两个数的乘积是36的都是。有1×36=36，2×18=36，3×12=36……

生3：也可以用除法来找，用36依次去除以1、2、3、4……看除了之后有没有余数。

师：刚才我们是怎么做到不重复、不遗漏的？你能用集合图表示这道题目的所有答案吗？

出示练习：妈妈买来28个鸡蛋，让聪聪把鸡蛋放到冰箱里。聪聪每次拿的个数相同，且每次只拿2～10个，拿到最后正好一个不剩。请列举聪聪所有可能的拿法。

生4：我用乘法来找28的因数，1×28=28，2×14=28，4×7=28。每次拿的个数可以为1、28、2、14、4和7。

生5：我有补充，题目说了每次只拿2～10个，所以只有每次拿2、4和7个的三种拿法。

【设计意图：教师巧妙地设置了一个在生活情境中求一个数的因数的问题，需要学生在审题中“识得庐山真面目”——发现这道题目考查的数学知识点是求36的所有因数。在探究求一个数的因数的方法过程中，学生经历了一波三折：先是在乘法口诀中找，发现这样会找不全；然后无序地找，发现这样也会遗漏；最后尝试用乘法或除法有序地找，从而做到找一个数的因数时不重复、不遗漏，为后续找一个数的倍数时提供经验。之后设计一道有关找一个数的因数的练习，一方面是帮助学生巩固求一个数的因数的方法，另一方面是提高学生的审题能力。】

第三环节：借助生活情境，探究求一个数的倍数

师（出示例题：每本故事书的价格是7元，买不同数量的书，你会怎么付钱呢？）：题目中的条件和问题分别是什么？先独立解决这个问题，再在小组里交流你的想法。

师：我们要解决付钱的问题，就是解决什么问题？找7的所有倍数，你会怎么找？

生1：7的1倍是7，7的2倍是14，7的3倍是21。

生2：7的倍数有无数个，最后要加上省略号。

师：刚才我们是怎么找一个数的倍数的？你能用集合图表示这道题目的所有答案吗？

出示练习：乘坐小艇每人应付5元，应付钱数都是5的倍数吗？先把表格填写完整，再说一说。

【设计意图：当学生有了前一个环节中求一个数的因数的学习经验，他们在这个环节中就能自发地按照从小到大的顺序求倍数，做到既不重复也不遗漏。同时，学生也能解决生活中有关找倍数的问题，真正体现运用数学的知识解决生活问题。】

第四环节：设计分层练习，促进不同学生的发展

作业A套餐：

1.下面的3组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？

4和24         13×2=26         75÷25=3

2.找因数和倍数。

（1）18的因数有（     ），30的因数有（      ）。

（2）3的倍数有（      ），8的倍数有（       ）。

（3）1的因数有（   ）个，7的因数有（   ）个，10的倍数有（   ）个。

（4）一个数的因数的个数是（    ）的，最小的因数是（   ），最大的因数是（   ）；一个数的倍数的个数是（    ）的，最小的因数是（   ），（   ）最大的因数。

作业B套餐：

1.从下面的数中选出3个数组成一道乘法或除法算式，再说说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。

12   3   18   6   36   4   9

2.把下表中6的倍数涂色。看一看，6的倍数也是几的倍数？

3.一个数是42的因数，同时也是3的倍数，这个数可能是多少？

【设计意图：作业A套餐属于基础题，是对“因数和倍数”这节课基础知识的考查，要求人人都掌握。作业B套餐属于提高题，是对因数和倍数知识的综合考查，满足部分学有余力学生的需求。】

总之，学生在完成数学作业中必然会出现错误，这些错误就是最好的生成性教学资料，如同反光镜，折射出教学过程中存在的问题；如同放大镜，放大了学困生还未掌握的知识点；如同显微镜，呈现每一个数学知识点的落实情况。正是有了这样的生成性资源，教师才能打造出基于学生立场的好课，真正帮助学生用数学知识解决生活问题。

（责编 金 铃）