论域非原点对称的等效变论域模糊PID 控制＊

樊康生 杨光永 吴大飞 徐天奇

（云南民族大学电气信息工程学院，云南 昆明 650500）

PID 控制器具有结构简单、易于实现、鲁棒性强等优点，在工业控制领域中的应用极为广泛[1]。但PID 控制的控制效果极易受参数的影响，合适的PID 参数可有效增强PID 控制器的控制效果[2]。自适应调整参数方法可根据系统状态对PID 参数进行实时调整，相比于固定参数的策略，自适应策略可提升PID 控制器的控制性能[3]。

作为一种主要的自适应PID 参数调整方法，模糊PID 控制将系统的误差和误差变化率作为模糊控制器的输入，经过模糊控制器后输出PID 控制器参数，从而实现PID 参数的自适应变化。文献[4-6]指出，该种方法可使PID 控制器的参数更切合系统状态，且具有极大的优势。

李洪兴教授于1999 年提出了一种变论域的模糊控制方法[7]，当系统误差越小，固定论域相对于误差会越粗糙，变论域的模糊控制器可使论域随着系统状态进行缩放[8]，有利于提升模糊控制器的性能。变论域模糊控制器的PID 参数自适应控制因卓越的控制性能[9]，受到广泛的关注和应用[10]。

由于传统的变论域模糊控制器需改变模糊控制器的论域，因此具有复杂度较高且设计难度大等问题[11]。针对变论域模糊控制器的实现，诸多学者提供了一些方法[12]，但并未解决变论域模糊PID 控制器难以实现的问题。

为此，本文提出一种通过改变模糊PID 控制器的输入输出达到与改变模糊控制器内部论域相同效果的策略，从而实现变论域模糊PID 控制，同时，针对目前的论域变化后变量位置确定方法不适用于论域非原点对称时的情况，提出了非原点对称论域的变量位置伸缩后确定方法。本文设计了一种以伺服电机和滚珠丝杠作为传动机构运动系统的等效变论域模糊PID 控制器，从而验证本文提出的等效变论域模糊PID 控制的可行性，并以仿真对比实验验证等效变论域模糊PID 控制器的性能。

1 等效变论域模糊PID 控制器

1.1 模糊PID 控制

PID 算法通过线性组合误差信息e(t)的比例、积分和微分项，得到控制项u(t)：

式中：Kp、Ki、Kd分别为PID 控制器的比例、积分和微分系数。

此前大量研究和实验表明：PID 控制器的控制效果极依赖于Kp、Ki、Kd参数，且采用固定参数的PID 控制效果不佳[13]。针对这种情况，基于模糊控制的自适应PID 控制器被提出，模糊PID 将系统变量误差和系统变量误差变化率作为模糊控制器的输入，经过模糊化、模糊推理和解模糊阶段输出∆Kp、∆Ki、∆Kd，从而使模糊PID 控制生成的控制项为

模糊PID 控制器改善了因PID 控制器参数固定造成的控制效果不佳的问题，但常规模糊PID 中模糊控制环节的论域是固定的，当系统运行误差减小后，相较于微小误差而言，初始论域过大，模糊控制器的控制效果减弱。针对该问题，李洪兴教授提出了一种变论域模糊控制器[7]。变论域模糊控制器通过引入伸缩因子 α调节论域，设变量i的初始论域为[E1,E2]，E1=-E2，则经伸缩因子作用后论域变为[α(xi(t))E1,α(xi(t))E2]。该方法可使模糊控制器的论域随着误差变化而变化，从而增强模糊控制算法的控制效果。

1.2 等效变论域模糊PID 控制

变论域模糊控制虽实现了论域随着系统状态变化而变化，但模糊控制器的论域变化后，论域中的模糊子集也需进行相应的变化，这种变化在实现时复杂度极高，且需花费的时间代价极大。

为简化变论域过程的复杂度，本文提出一种等效的变论域模糊PID 控制方案：设计伸缩因子对模糊控制器的输入和输出进行缩放，以代替模糊控制器内部的论域缩放。设模糊控制输入端伸缩因子为α(xi(t))，输出端伸缩因子为β(yi(t))，为表述方便，设选取的输入端论域关于原点对称，即[E1,E2]，E1=-E2。设计的伸缩因子应满足以下条件。

其中，sgn为符号函数，即：

（1）当模糊控制器的输入xi(t)减小至小于既定论域范围时，增大输入量xi(t)以确保模糊控制器能实现高效控制，并减少相应的输出量yi(t)。

（2）当模糊控制器的输入xi(t)增大至大于既定论域范围时，伸缩因子应使输入量减小使其不超过论域边界，并应增加响应的输出量yi(t)。

等效变论域模糊PID 控制的控制流程如图1 所示，其中α(e)、α(ec) 和 β均为伸缩因子。

图1 等效变论域模糊PID 流程图

2 非原点对称论域的伸缩方法

此前针对变论域模糊控制的研究大多基于原点对称论域，即论域为[E1,E2]，E1=-E2。但在一些模糊PID 控制的场景中，输出端论域设定为非原点对称时，控制效果会更佳，论域对称和非对称示意图如图2 所示。

图2 论域是否关于原点对称示意图

若采用非原点对称论域，变论域模糊控制及第1.2 节提出的等效变论域模糊控制的伸缩因子作用于系统时，直接将伸缩因子与输入量、输出量的乘积作为传统变论域模糊控制的论域范围或等效变论域模糊控制最终输入输出量的方案将不再适用。

为此，本文对非原点对称论域的伸缩方法进行研究。设模糊控制的论域范围 Φ为

则由伸缩因子 λ作用后论域范围应变为

论域中的某一变量x经伸缩后，结果为

该方法同样可用于论域关于原点对称论域内变量的位置确定。

3 仿真实验验证

为验证本文提出的等效变论域模糊PID 控制器的控制性能，以一个汽车前桥前束测量系统中的一种采用伺服电机和滚珠丝杠作为传动结构的运动系统的位置控制为例进行仿真实验验证，并选取PID控制、传统模糊PID 控制、传统变论域模糊PID 控制为对比实验。

3.1 运动系统数学模型

汽车前桥前束测量系统结构图如图3 所示。测量系统初始状态时左侧前端测量距离为L3，后端为L1；右侧前端测量距离为L4，后端为L2，此时前桥前束：

图3 前束检测系统结构图

由于汽车前桥设计要求，前桥左右轮毂需要转动一定角度呈“内八”形。假设左右轮毂分别转动θ1和 θ2角度，产生的距离分别为X1和X2，此时环境温度形变量为UT，前桥总成刚体形变量为U1（如图中L7位置），工作台刚体形变量为U2。其中X1和X2为系统需要的测量值，UT、U1和U2为系统干扰输入，此时系统理论检测值见式（8），而实际前束见式（9）。

将X1、X2、UT、U1和U2作为控制系统的输入量，其控制系统示意图如图4 所示。由于UT属于非平稳过程、U1和U2属于平稳过程，为了识别并消除UT、U1和U2，设计三阶相关峭度反卷积算法模块M3CKD 用于信号识别和提取，然后设计逆滤波器W 模块用于消除输入系统的干扰信号，得到输出信号：

图4 控制系统示意图

式中：∗表示卷积运算，再将得到的信号输入本文设计的控制器H 模块得到系统输出。

通过调节M3CKD 和W模块参数，使得系统最终输出为Y=HWX，经过三阶相关峭度逆滤波器处理后系统输出只与X有关（本文不作细述）。本文主要在H模块验证控制器的性能。

本文以伺服电机结合减速箱和滚珠丝杠作为传动机构的运动系统，工作台的直线位移d（图3 中的滚珠丝杆1、2）与伺服电机（图3 中的伺服电机1、2）的角位移θ的关系为

其中：k为丝杠导程，n为齿轮箱减速比。伺服电机采用位置控制模式，通过输入脉冲的数量控制伺服电机的角位移，通过输入脉冲的频率控制伺服电机的角速度 ω。伺服电机的角位移与角速度的关系为

式中：t为采样周期。用r代表输入系统的温度形变量和刚体形变量，则加入扰动因素r后运动系统台的直线位移可表示为

3.2 等效变论域模糊PID 控制系统设计

将运动系统的理想位移和实际位移的误差e和误差变化率ec作为模糊控制器的输入，将输入进行模糊化，将其分为7 个模糊子集NB（负大）、NM（负中）、NS（负小）、ZO（零）、PS（正小）、PM（正中）、PB（正大）。利用Matlab 的模糊工具箱进行模糊控制器的生成。设定模糊控制器的输入e和ec的论域范围为[-1,1]，输出Kp、Ki和Kd的论域范围分别为[0,1]、[80,120]和[-0.009,-0.001]。隶属度函数形式均为三角形，解模糊方法为重心法。模糊规则参照文献[14]。图1 中的伸缩因子生成方法为

式中：k1、k2和k3均为人工设定的参数。同文献[15]等文献采用的变论域模糊控制PID 不同，等效变论域模糊PID 控制不会伸缩模糊控制器的论域，设计的伸缩因子仅需满足式（3）即可，不必证明伸缩因子是否具有文献[15]中的对偶性、非零性、单调性、正规性及协调性，从而证明伸缩因子具有稳定性。该运动系统的控制框图如图5 所示。

图5 运动系统等效变论域模糊PID 控制系统框图

3.3 参数设定及Simulink 仿真模型

在本文的对照实验中，等效变论域模糊PID 控制器的参数除3.2 节中的叙述外，选取k1、k2和k3，分别为100、100 和10；传统模糊PID 控制器参数和本文等效变论域模糊PID 控制器完全相同，即Kp0、Ki0、Kd0和C分别为0.109、8 800、8.76 和0.089；PID 控制器的Kp、Ki、Kd分别为0.5、1 000、-0.005；传统变论域模糊PID 控制器参数Kp0、Ki0、Kd0和C分别为1、6 000、0.5 和1。采样时间设置为1×10-4s，仿真时间为0.2 s。运动系统跟踪单位阶跃信号位移的Simulink 仿真实验模型如图6 所示。

图6 Simulink 仿真模型

3.4 实验结果及分析

模拟理想非负载状态下4 种控制器控制的运动系统跟踪单位阶跃位移时的响应曲线如图7 所示。图中本文提出的等效变论域模糊PID 控制器作用时系统的响应曲线为EVUFP，传统模糊PID 控制器作用时系统的响应曲线为FPID，PID 控制器作用时系统的响应曲线为PID,传统变论域模糊PID 控制器作用时系统的响应曲线为VUFP。

图7 理想条件下各控制器运动系统响应曲线

由表1 和图7（前0.03 s 的响应曲线）可以看出，4 种控制器下系统的超调量相同均为0，本文提出的等效变论域模糊PID 控制上升时间为4×10-4s是4 种控制中最小的，较PID 控制缩短了80.00%，较传统模糊PID 控制缩短了77.78%，较传统变论域模糊PID 控制缩短了71.43%；峰值时间为1×10-3s为4 种控制中最小的；调节时间为6×10-4s 较PID控制缩短了99.37%，较传统模糊PID 控制缩短了91.18%，较传统变论域模糊PID 控制缩短了91.18%，没有出现振荡现象。响应曲线最终于1×10-3s 时趋于稳定并保持在稳态值不变，PID 控制需9.8×10-2s后系统响应曲线才趋于稳定。

表1 仿真结果主要参数对比

设系统由控制器输出至伺服电机转化时k·n=1（为理想状态），由伺服电机至输出时式（14）中k·n=0.99，以模拟负载条件下，由于刚体形变和温度形变等因素产生的系统固定扰动；在0.02 s 时，以一脉冲信号干扰模拟运动系统突然受到外部干扰的情况。其系统受到扰动后再次回到稳态所需调整时间见表2，系统的响应曲线如图8所示。由表2 和图8 可看出，在模拟现实受到扰动运行情况下，本文提出的等效变论域模糊PID 控制器受到扰动后需要调整时间4×10-4s 回到稳态，较PID 控制缩短了94.17%，较传统模糊PID 控制缩短了95.12%，较传统变论域模糊PID 控制缩短了95.00%，说明本文提出的等效变论域模糊PID 控制器控制下系统抗干扰能力更强，受到干扰后，在本文提出的控制器控制下系统能在更短时间内趋于稳定。

表2 系统受到扰动后回到稳态调整时间对比

图8 模拟现实工作时各控制器下运动系统响应曲线

为了验证本文提出的等效变论域模糊控制器控制性能，还设计了运动系统跟踪正弦信号仿真实验，并在0.02 s 时，以一脉冲信号干扰模拟运动系统突然受到外部干扰的情况。正弦信号幅值为1，频率为50 rad/s；仿真时间为0.14 s。系统的响应曲线如图9 所示。

图9 模拟正弦信号输入时各控制器下运动系统响应曲线

由图9 可以看出，四种控制器都能很好地跟踪正弦信号，但相较于其他3 种控制器，本文提出的等效变论域模糊控制器跟踪偏差最小、效果最佳，在受到干扰后，本文提出的等效变论域模糊控制器从响应至最佳跟踪状态用时最少、无振荡现象。再次表明本文提出的等效变论域模糊PID 控制器控制下系统的响应最快，抗干扰能力更强。

由以上3 个实验验证了本文提出的等效变论域模糊控制器的可行性，且相较于传统模糊PID 控制器、PID 控制器和传统变论域模糊PID 控制器，等效变论域模糊PID 控制器的控制性能更佳。

4 结语

针对变论域模糊PID 控制器实现难度大的问题，本文提出了一种等效变论域模糊PID 控制方案，该方案将传统变论域模糊PID 控制自适应论域转化为模糊控制器的输入和输出自适应变化；并且还提出了非原点对称论域的变量伸缩后位置确定方法以弥补传统变量伸缩确定方式仅适用于原点对称论域的问题。通过对一种以伺服电机和滚珠丝杠作为传动机构的系统进行仿真实验，表明本文提出的等效变论域模糊PID 控制具有更快的响应速度、更强的抗干扰能力。相较于PID 控制器、传统模糊PID 控制器和传统变论域模糊PID 控制器，等效变论域模糊PID 控制性能更佳。