面向对象的数控机床XY 工作台动态定位误差分析与建模＊

杨洪涛 薛庆涛 李 莉 刘士萍

（①安徽理工大学机械工程学院，安徽 淮南 232001；矿山智能装备与技术重点实验室，安徽 淮南 232001）

XY 工作台是数控机床非常关键的组件之一，其动态定位误差严重影响着机床的加工精度。机床误差主要由几何误差、力变形误差和热误差等误差组成，对于机床在加工过程中，机床几何误差和切削力引起的误差占比高达30%～65%[1-2]。数控机床XY 工作台的定位误差不仅受各组成部件的结构特性、摩擦磨损和工作台移动速度等因素影响，还受切削力影响[3-4]。近年来许多学者对工作台组成部件的特性及精度进行了深入研究。陈勇将等以双螺母预紧式滚珠丝杆为研究对象，建立了滚珠丝杆静接触刚度模型[5]。徐起贺等对导轨工作台进行了详细的受力分析，并分析了其影响因素[6]。陈文平基于Stribeck 模型分析了滚珠丝杆的摩擦曲线[7]。Majda P等提出了一种分析直线导轨几何误差对关节运动误差影响的方法，考虑了工作台载荷对导轨几何误差的影响[8]。Raksiri C 等提出了包含有力误差的三轴数控机床的误差模型并进行了补偿[9]。上述研究主要单独研究了工作台各组成部分的结构特性和误差，缺乏对工作台在切削力和运动速度共同影响下XY工作台动态定位误差变化规律的系统研究。

因此，本文在综合分析XY 工作台单运动方向的各组件动态特性对工作台定位误差影响规律基础上，进一步研究切削力和运动速度共同影响下XY工作台动态定位误差变化规律。

1 切削力下XY 工作台动态定位误差产生机制分析

XY 工作台主要由滚珠丝杆、导轨系统、工作台台面和电机等构件组成，如图1 所示。电机驱动滚珠丝杆旋转带动工作台向前运动，光栅测量系统记录位置。工作台在切削力的影响下，将引起滚珠丝杆的螺距误差和工作台台面的角度误差。为了系统研究XY 工作台在切削力和运动速度共同影响下动态定位误差的变化规律，将分析工作台产生定位误差的原因和机理，建立相应计算模型。

图1 XY 工作台的结构及组成

1.1 切削力下滚珠丝杆组件引起的工作台定位误差建模

XY 工作台滚珠丝杆组件误差主要来源于切削力影响下滚珠丝杆扭转引起的变形、滚珠丝杆的螺距变化和支撑滚珠丝杆轴承的轴向变形等方面，以下分别对各误差分量进行分析与建模。

1.1.1 滚珠丝杆轴扭转变形引起的定位误差

在电机驱动扭矩和切削力共同影响下会导致滚珠丝杆轴扭转变形，引起工作台产生定位误差，而扭转变形量与其扭转刚度有关。滚珠丝杆的扭转刚度为

式中：G为丝杆剪切弹性模量；J为丝杆的截面极惯性矩；Lm为滚珠丝杆螺母到左轴承的距离。

滚珠丝杆的轴向力可表示为

式中：m为工作台及其安装的工件总重量；Fx、Fz为切削力沿轴向、垂直方向的合力；fx、fy、fz为轴向、径向、垂直切削力；θ1(x)、θ2(x)、θ3(x)为工作台随上层导轨运动的偏转角、滚转角和俯仰角（由实验测得）；µ为丝杆摩擦因数。

电机驱动力矩计算公式为

式中：P为丝杆导程；η为丝杆传动效率。

则滚珠丝杆相对于电机的转角变化为

因此工作台滚珠丝杆由扭转变形引起的定位误差为

1.1.2 滚珠丝杆螺距变化引起的定位误差

在工作台运动过程中，切削力导致的丝杆轴向变形引起螺距变化，将导致定位误差变化，且其变形量与丝杆支撑方式和螺母的位置有关。本文研究的工作台采用两端固定的方式，无需考虑螺杆自重引起的变形。

滚珠丝杆的轴向变形量为

式中：l1、l2分别为两固定端到螺母之间的距离；A为丝杆的截面积（内径）；E为丝杆的弹性系数；L为丝杆的支撑距离。

当丝杆螺母移动到丝杆行程的中心位置时，其产生最大变形量为

丝杆轴向变形引起螺距最大变行量为

因此滚珠丝杆螺距变形产生的定位误差为

式中：ϕ为摩擦角。

1.1.3 滚珠丝杆轴承受力变形引起的定位误差

不同类型的滚珠丝杆支撑轴承会产生不同的轴向接触变形量，进而产生定位误差。本实验台采用推力球轴承，其受切削力作用后的轴向变形量计算公式为

式中：dQ为轴承的滚动体直径；Z为轴承的滚动体数；Fp为轴向预紧力。

综上所述，滚珠丝杆组件因切削力影响引起的工作台动态定位误差计算模型为

1.2 切削力影响下工作台角度误差建模

XY 工作台受切削力影响会导致工作台台面发生弯曲变形，产生相应的俯仰角、偏摆角和滚转角误差，进而导致定位误差的变化。因此有必要对工作台进行受力分析。

1.2.1 工作台受力分析

为分析工作台受切削力影响所产生的角度误差，需求解工作台支撑滑块的垂直和水平支反力。图2为工作台上层导轨在受垂直切削合力Fz作用时的受力分析图。

图2 Fz 作用下工作台受力分析分析图

图2 中，F1、F2、F3、F4为四滑块所受垂直支反力；L3、L4为工件（切削点）距离X、Y轴距离。受力分析步骤为

合力Fz对X轴取力矩如下：

合力Fz对Y轴取力矩如下：

合力在Z轴上平衡：

据弹性力学变形协调条件得：

由上式（14）～（17），可得4 个滑块垂直支反力为

图3 为工作台受径向切削合力Fy作用时的受力分析如图3。

图3 Fy 作用下工作台受力分析图

图3 中，S1、S2、S3、S4为工作台四滑块所受的水平支反力，受力分析步骤为

合力对Z轴取力矩：

合力在Y轴上平衡：

据弹性力学变形协调条件得：

由上式（19）～式（21），可得4 个滑块的水平支反力为

1.2.2 工作台角度误差分析

XY 工作台受切削力作用时会产生滚转角、仰角误差和偏摆角误差。

图4 为工作台受轴向切削合力Fz作用下滚转角和俯仰角误差示意图。

图4 工作台受力 Fz 角度误差示意图

图4 中，γ1为滚转角；γ2为俯仰角；δ1、δ3、δ4为四滑块受垂直支反力产生的微小位移量。

受力分析可知ϕ1、ϕ2计算公式如下：

式中：K为滑块内部滚珠的弹性变形系数。

图5 为工作台受力Fy作用下的偏摆角误差示意图。为四滑块受水平支反力后的微小位移量；γ3、γ4为力Fy导致的偏摆角误差。

图5 工作台受合力 Fy角度误差示意图

经图5 分析可知，偏转角计算公式：

1.3 切削力影响下XY 工作台摩擦特性分析

XY 工作台在运动过程中受切削力和摩擦力作用时，会影响工作台的定位精度，本文采用Stribeck摩擦模型对工作台摩擦力的变化规律进行分析，并建立相应的计算模型，如图6 所示。

图6 Stribeck摩擦模型

本文将导轨组件近似为两个滑动体，则工作台摩擦力可以假设为库伦摩擦和Stribeck摩擦的和，因此XY 工作台总摩擦力可表示为

式中：v为工作台移动速度；fs为静摩擦力，取fs=µs(mg+Fz)；fc为库伦摩擦力，取fc=µc(mg+Fz)；µs为静摩擦系数；µc为动摩擦系数；vs为Stribeck 速度；B为粘滞摩擦系数；α为经验常数。

1.4 导轨系统受摩擦力对工作台定位误差影响分析

工作台导轨系统运动过程中随着切削力和运动速度的改变，导轨的摩擦力也会发生变化，进而引起工作台动态定位误差的变化。由牛顿第二定律可知，工作台导轨系统的动力学关系模型可表示为

式中：F′为工作台驱动力；为切削力导致的工作台俯仰角、偏摆角和滚转角。

1.5 XY 工作台动态定位误差总模型

综上所述，XY 工作台动态定位误差总模型可表示为

由式（31）可知，XY 工作台所受切削力大小、运动速度和摩擦力是影响数控机床XY 工作台动态定位误差的主要因素。

2 XY 工作台动态定位误差理论计算与分析

由第一节对XY 工作台的动态特性分析可知，其动态定位误差主要与所受切削力和运动速度等因素有关。下面以本课题组自行设计的XY 工作台作研究对象进行理论计算分析。

2.1 工作台上层导轨角度误差测量

由第一节可知，需测量XY 工作台在未受切削力影响下的俯仰角和偏摆角数据用来计算工作台的动态定位误差。利用数控XY 工作台和激光干涉仪搭建实验装置，如图7 所示。

图7 实验装置

由于本文在2.2 节需要用不同速度来计算动态定位误差值，因此设置工作台移动速度的中间速度8 mm/s 进行实验，XY 工作台的行程距离为200 mm，每间隔5 mm 采集一次误差数据。测量3 次取平均值作为最终测量结果，图8a、图8b 分别为实际测量所得的俯仰角和偏摆角。

2.2 动态定位误差理论计算

2.2.1 不同切削力影响下的工作台动态定位误差理论计算

由2.1 节和1.2 节实验测量和理论计算得到的俯仰角、偏摆角代入到动态定位误差理论模型公式（31）中，可计算得到XY 工作台在一定速度，不同切削力作用下上层导轨的动态定位误差理论值。由公式（31）可知最终影响XY 工作台动态定位误差的未知参数包括：工作台的切削力、临界速度vs、粘滞摩擦系数B和工作台运行速度。经本课题组前期研究[10]，本文将用临界Stribeck速度vs=0.02 mm/s，粘滞摩擦系数为B=10 000 N(m/s)下进行分析计算。

综上所述，当工作台所受切削力大小分别为50 N、170 N、240 N、320 N、410 N、470 N、550 N、640 N、700 N、820 N、900 N 时，XY 工作台上层导轨的动态误差曲线如图9a 可以发现，机床工作台在不同切削力下的动态定位误差整体变化趋势是一致的，但数值上有差异。从图9b 可以发现，当工作台上层X导轨位移分别为30 mm、60 mm、90 mm、120 mm、150 mm、180 mm 等位置时工作台的切削力大小不同，其动态定位误差也不相同。

2.2.2 不同速度影响下的动态定位误差理论计算

由式（31）计算可得，在一定切削力下，当工作台运行速度分别为1 mm/s、2 mm/s、4 mm/s、6 mm/s、8 mm/s、10 mm/s、12 mm/s、14 mm/s、16 mm/s、18 mm/s、20 mm/s 时，XY 工作台的动态定位误差变化曲线如图10a 所示。机床工作台在不同速度下动态定位误差整体变化趋势一致，但数值上有差异。且从图10b 可以发现，当工作台在导轨系统上运动速度为4 mm/s 时的定位误差最小，因此将4 mm/s 定义为工作台最佳运动速度。

图10 XY 工作台不同速度下定位误差变化曲线

3 XY 工作台动态定位误差仿真结果与分析

为分析数控XY 工作台的动态定位误差，本文利用SolidWorks建立工作台简化模型，并将其导入Ansys中进行静力学仿真。为模拟工作台实际运动情况，利用XL-80 激光干涉仪测量出工作台在X、Y、Z三个方向上的位移误差，并将位移误差数据加载到工作台三维模型导轨中，见图11a 中黑色方框区域。

图11 XY 工作台结构图

3.1 工作台偏摆角、俯仰角误差仿真

为模拟机床实际工作过程，拟在三维模型待加工工件上添加切削力，将工作台沿X轴从0 mm 处开始，运动到200 mm 处结束，每间隔5 mm 进行仿真分析，并将仿真后得到的工作台俯仰角和偏摆角数据进行分析，得出工作台在切削过程中的角度变化规律，如图12b 和图12d 所示。

图12 理论与仿真角度误差曲线图

3.2 切削力下工作台动态定位误差分析验证

为有效验证XY 工作台动态定位误差理论模型，将理论计算与仿真的俯仰角和偏摆角数据代入式（31）中，得出XY 工作台动态定位误差曲线图13a、图13b。

图13 理论与仿真动态定位误差曲线图

3.3 仿真结果分析

通过对比上述理论与仿真动态定位误差曲线图可知，其整体变化趋势基本相似，从而有效验证了理论计算模型，但理论计算和仿真结果存在一定差异，均在合理范围内，见表1。

表1 理论与仿真动态定位误差数据对比

理论和仿真数值上差异原因可能有：

（1）图12b 中出现的明显凹点由于在SolidWorks给导轨建模中添加X、Y、Z方向的位移误差所导致。

（2）理论计算值变化幅度较小是由于导轨本身的精度高，激光干涉仪所测量的角度误差值也较小，所以代入理论公式中，会出现变化幅度微小的情况。仿真误差值变化幅度稍大是考虑了导轨添加的位移误差和下层Y导轨相关性的影响，幅度大但均在合理范围内。

4 结语

（1）详细分析了数控机床XY 工作台的动态特性，建立了各动态定位误差分量的精确计算模型。从理论模型中可知，XY 工作台中切削力、运动速度和摩擦力是造成工作台动态定位误差的主要因素。

（2）精确计算了工作台动态定位误差值，同时分析了XY 工作台在不同切削力和不同运动速度影响下动态定位误差变化规律，得出了切削力会对工作的动态定位误差产生影响且工作台存在着最佳运动速度4 mm/s。因此为提高数控机床加工精度，必须精确建立工作台动态定位误差与切削力和运动速度下的误差补偿模型，尽量保证数控机床在其最佳运动速度下工作。