稳抓线段图教学,体会数形转化之妙——以“画线段图解决问题的策略”为例

江支惠 叶心宇

(庐江县城东小学 安徽合肥 231500)

引言

我国数学家华罗庚曾言:“数无形时少直观,形无数时难入微。”在数学问题中,很多数量关系是隐含或比较抽象的,将这些数量关系与相关图形对应,通过探究图形直观地得出数量关系,能够使问题的解决变得简单。这就是小学数学中由数转形、由形助数的数形结合思想。一至四年级数学有不少内容涉及数形结合,大致分为画实物图、平面图和线段图。但是大部分学生还没有形成将较复杂的数学问题转换成直观的图形的习惯,甚至有些学生宁愿“想破脑袋”也不愿去画图。为此,本文以苏教版小学数学四年级下册“画线段图解决问题的策略”的教学为例,探析如何引领学生根据题意画准线段图,感受画线段图解决问题的直观有效,从而提高学生自主画图解决问题的主动性,使其养成自主画图解决问题的习惯,达到贯彻数形结合思想的教学目的。

一、画线段图解决问题的过程

(一)线段拟人化出示,导出“画图”新知

上课伊始,笔者运用多媒体课件将线段比作“笔直又优美的老朋友”,直接引出课题,创设良好的学习氛围,充分调动学生的兴趣,激起他们的好奇心,吸引他们主动参与。然后用“可长可短、可实可虚”给线段下定义,为接下来使用不同长短、虚实结合的线段表达题意埋下伏笔。接着叙述:“同学们,在三年级时利用它画线段图解决了不少问题,今天我邀请它再露一次身手,让你们感受画线段图解决问题的魅力!”这既是对旧知的回忆,又交代了本节课的教学内容,使新知与旧知衔接,形成知识链。

(二)认真读题,厘清数量关系

出示例题:小宁和小春共有72枚邮票,小春比小宁多12枚,问小春和小宁各有多少枚?

认真读题初步了解题中的条件,是把题中数量关系转化成对应图形的前提。古人云:“书读百遍,其义自见。”只有把题中条件和问题读懂了,才能在脑中重组代数条件,才能转化成直观的几何形象,为找到思路奠定基础。所以笔者出示例题后提出要求:认真读题,读懂题意后思考题中有几个量、知道题目的条件、求什么,做到心中有“数”。

(三)分层教画线段图,初步实现数转形

为了确保学生敢画、会画线段图,将抽象数学内容转化为直观图画,同时启发带动后进生学会寻找策略,笔者采用分层教学的方法:先画出代表两个事物的线段,再让他们自主思考如何添补出题中其他条件和问题。但是班级学生出现了分化:部分学生经过尝试添画完成,而另一部分学生迟迟不敢动笔操作。这时笔者仔细示范题中每一个条件转化成线段图的过程,边画边说出相关条件在线段图中如何表示,特别强调具体的操作:先画出两条线段,注意要做到起始端对齐,方便比较;用小括线把多出的量表示出来,再用大括线将上下两条线段括起来表示一共有72枚,用大括线和问号分别表示小春和小宁各有多少枚。先放手给每位学生动手实践的机会,让学生在主动思考中暴露问题;再“帮扶”——示范画图,让学生从模仿中比照自己和教师的操作,加深对范例的印象,从而主动去掌握正确的画法。虽然这是旧知,但根据四年级学生的学情,有的放矢地教画线段图还是很有必要的,因为用线段图把题中条件和问题准确地表示出来,是学生学会用线段图解决问题的基石。这样不仅更正了部分学生自主绘图时犯的错误,更为大部分中等生和后进生提供了“灯塔”,为下一步找思路解决问题打下了重要基础。

(四)细审线段图,自主找寻解题思路

认真读题,“画”出条件和问题,这只是将题中数量关系直观地在线段图上表示出来,真正解决问题还是要对图形进行分析,把线段图隐含的数量关系用等式表示出来。于是笔者引导学生细致地观察,先独立思考再合作探究,在思维碰撞中多角度解决问题。最终师生从线段图的观察、比较中总结出三种解决问题的方法。

去多法:因为图中代表小春邮票数的线段比小宁的长,所以把小春多的部分去掉,使代表小春邮票数的线段变得和小宁的同样长,这时图中他们的总枚数变成72-12=60(枚),这60枚也可以说是小宁邮票数的2倍,所以小宁的邮票数为60÷2=30(枚),小春的为30+12=42(枚)。这一解法我们称之为“去多法”。

添少法:把图中代表小宁邮票数的线段比小春少的部分补上,让代表小宁邮票数的线段变得和小春的同样长,这时图中他们的总枚数变成72+12=84(枚),这84枚也可以说是小春邮票数的2倍,所以小春的邮票数为84÷2=42(枚),小宁的为42-12=30(枚)。这一解法我们称之为“添少法”。

均分法:通过线段图可以看出如果把小春多的部分平均分成两份,也就是12÷2=6(枚),自己留下一份,另一份送给小宁,让小宁的和小春的变得同样多。这时图上他们的总枚数没有变,但72÷2=36(枚)是小春和小宁的邮票变得同样多后的枚数,所以小宁实际的邮票数应该是36-6=30(枚),小春的应是36+6=42(枚)。这一解法我们称之为“均分法”。

整个解决问题的过程以学生自主表达为主,以教师引导为辅。教师将手机和大屏幕连接,适时展示学生代表解决问题的过程。在新技术的支持下,学生观察、比较并改变线段图,推导出各种新的数量关系,非常便捷又高效地呈现出不同方法,突破了线段图中各种关系及变化的难点。学生通过直观的线段图,在思维的碰撞中找出更多的新条件,想出不同的解决问题的方法。这样一个看似简简单单的线段图经过不断改变,不仅给学生带来视觉上的冲击,还能发掘隐含的数量关系和多样的解决方法,使问题化难为易。学生从中真切感受到画线段图解决问题的巧妙之处,自觉意识到画线段图的重要性,从而发展数形结合思想。

(五)归纳反思利用线段图解决问题的过程,探讨解决问题的策略

例题的教学让学生经历从抽象的题文到直观的线段图的转化过程,但学生还缺乏对解题方法的总结和思考。学会举一反三才是高效教学的体现,所以教师还要适时引领学生回顾反思方法,重点思考三种方法的相同和不同之处,由方法的探究上升到策略的总结。

笔者同时展示三种方法的线段图(见图1),在集中观察、对比下学生会发现三种方法都是把小宁和小春的邮票变得同样多,这是解决问题的关键,也是学生在观察和运用线段图的过程中解决问题的重要突破口,抓住了这个思路,线段图的作用才能充分发挥出来。

图1 三种方法的线段图

有的学生通过观察图片总结:去多法是让小春的邮票减少12枚,变得和小宁的同样多;添少法是给小宁的邮票增加12枚,变得和小春的一样多;均分法是把小春多的12枚平均分,让小春送6枚给小宁,两人邮票数都变化后才同样多。这些都是让两个不同的量变得相同,然后用和倍的关系计算出一个量,最后解决所有问题。

有的学生总结:三种变得同样多的方法中,他俩的总枚数是不一样的。去多法中总枚数减少12枚,变成(72-12)枚,是小宁邮票数的2倍;添少法中总枚数增加12枚,变成(72+12)枚,是小春邮票数的2倍;均分法中总枚数没有变,但72枚既是小宁增加6枚后的2倍,又是小春减少6枚后的2倍。

两个不同的量的和倍关系,从题目的文字描述中是很难发现的,而通过观察和改变原来的部分线段图就能清楚地看出来。由此可知,这三种方法的共同之处就是把两个不同的数量变得同样多,然后通过两数之和求出其中一个数,但是为了变得同样多,其他的数量关系就要做出变化。这样复杂的变和不变的数量关系只要我们在线段图上添一添、删一删就可以直观地呈现,这就是画线段图解决问题的策略。

以上利用线段图解决问题的过程,引导学生思考不同方法背后的异同之处,探寻其中的规律,抓住解决问题的关键。学生认识到线段图不仅能直观清晰地表示题意,还能挖掘出题目中隐含的信息,从而让我们轻松地找到解决问题的思路。“授人以鱼不如授人以渔”,只有帮助学生把已有经验上升到策略的层面,才能真正培养学生分析问题和解决问题的能力,使其形成数形结合的意识和思维。

二、画线段图解决问题的策略应用

(一)实战:练习画图之历程,培养运用策略的意识

学生只有在实战练习中才能逐渐内化策略,逐步自觉熟练地运用策略来解决实际问题。因此,教师要设置合适的练习给学生经历由数转形的机会,使其进一步熟悉画线段图解决问题的策略。练习时充分利用手机拍照投屏,适时展示成果,引导学生多问“为什么这样做”,梳理自我思考的过程,真正掌握方法,增强运用线段图分析问题的能力,进一步培养运用此策略的意识。

(二)拓展:灵活挖掘图中隐含条件,提升运用策略的能力

练习的目的是把思路越练越活,安排的练习不仅要适合运用画线段图的策略,还要在数量关系、结构和解题方法上做出改变,既让学生感受到此策略的普遍性,又不断给学生带来挑战,使其意识到数形结合的多样和多变,避免学生机械片面地理解和运用策略。所以课堂练习不能仅仅停留在熟练掌握已有方法上,还要拓展延伸应用,增强应变能力,深化数形结合思想。

拓展类习题提供的条件不如基础类习题明晰,给学生解决问题设置了障碍、增加了难度,学生在画线段图时容易陷入“山重水复疑无路”的境地。这就需要引导学生分析、挖掘线段图中隐含的数量关系。比如对于拓展题中“书架上层书的本数是下层书的三倍”这个条件,学生先要推断出上层与下层的差倍关系,才能用两条线段来表示相对应的两个量,接着需要思考:为什么搬60本书能使上下层书的数量正好相等?这时学生由相差的线段图能直观感受到从上层书多出的两份中“搬”一份到下层书中就实现“同样多”,也能看出其中一份就是60本,那么上下层书的本数就显而易见了,可谓是“柳暗花明又一村”。这样的拓展练习让学生明白在画图、看图时要灵活运用所学到的方法,真正做到学以致用;并且解决更难的问题必然会让学生对新策略的运用产生更浓厚的兴趣。

学生经历了画线段图解答多种题型的过程,学会了思考如何改变以及为什么这样变化题中的数量关系,进而综合运用策略创造性地分析线段图,提高了认识,真正将策略内化为自身解决问题的能力,初步形成了数形结合的思想。相信学生今后在解决问题的过程中能自然想到且乐于使用线段图,最终养成良好的解决问题的习惯。

三、结语

在数学课堂教学中,教师要充分了解学生的学情,引导学生经历画线段图解决问题的过程,为学生初步形成数转形意识打下基础,努力让学生的思维在严谨又愉快的环境中得到训练和拓展。要想使数形结合的数学思想有效植根于学生的学习思路,需要长期的、多样的教学引导,需要教师坚持不懈地探索更多更好的方法。