厘清知识脉络,重视数学概念的自然生成——以“因式分解提公因式法”教学设计为例

李志东

(合肥经开实验学校 安徽合肥 230000)

数学知识的学习是从认知数学概念开始,数学概念作为最小的数学认知元素,是学生未来学习公式、定理、性质等的基础,厘清知识的脉络,了解前后关联,可以拓展学生数学思维能力。因此,概念教学的引入尤为关键,新概念的生成一定不是无中生有的,必然是以前概念为基础,因知识延伸的需要,进一步生成发展出来的。教师应低起点、低跨度、循序渐进式地引入,充分利用类比的学习方法,尽可能使所有学生都能够手动、嘴动、脑动,在探究新知的过程中一起探索、发现、思考和总结,共同体验新知识的生成、发展和应用的自然形成过程。充分运用“最近发展区理论”,在课堂教学活动中落实数学课程标准中的“三会”——会用数学的眼光观察世界,会用数学的思维思考世界,会用数学的语言表达世界。

下面以“因式分解提公因式法”一课为例,进行一节概念教学课的设计和分析。

一、教材内容及分析

(一)教学内容

沪科版数学教材七年级下册第八章4.1.1的内容。

(二)教材分析及学情分析

学习“因式分解”之前已学过整数分解、整式乘法等知识,是整式的一种恒等变形。它与整式乘法是互逆关系,更是分式、二次根式、分式方程、一元二次方程、函数等知识学习的基础,同时也是学生未来解决数学问题的有力工具。

(三)教学目标

1.通过回顾小学阶段所学习的因数、公因数、分解质因数,引入新知,以“数”“式”类比,促进学生理解因式、公因式、因式分解的意义,最终掌握因式分解的概念。

2.通过对多项式的观察,确定公因式,再进一步提取公因式,实现分解因式。

3.体会类比的数学思想,培养学生的观察、分析能力,以及数学语言表达能力,进一步发展学生的逆向思维和推理能力。

(四)教学重难点

重点:理解因式分解的概念,并应用提取公因式法进行因式分解。

难点:灵活使用提公因式法分解因式,注意细节,不漏项,不丢项。

二、教学过程设计

(一)回顾“数”“式”学习,明确知识脉络,引入课题

步骤1:学生已经在小学阶段学过整数的分解因数,例如:6=2×3;30=2×3×5。

以下分解因数正确吗?为什么?

30=5×6;12=3×4。

设计意图:引导学生发现分解得不彻底,为分解因式学习做好铺垫,做好“数”“式”的过渡和衔接,体现知识的自然生长过程。

请类比上面整数的分解过程,说说下面整式的因式分别是哪些。

ab,-3m2n,m(a+b-c)

归纳:发现都是整式积的形式,可自然引入因式概念。

让学生默写完全平方公式和平方差公式,再利用等式的对称性写出下列等式:

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

a2-b2=(a+b)(a-b)

ma+mb+mc=m(a+b+c)

观察这些“式”的变形特点。

设计意图:通过类比引出新的概念——分解因式,提高学生学习的积极性,提升课堂教学效果。

步骤2:引入因式分解的概念。

把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫作因式分解,也叫作把这个多项式分解因式。

“因式分解”的概念是抽象的文字表述,对于学生来说枯燥且难以理解。教师在授课过程中可以通过图形等面积拼接问题的探讨的方式,化抽象为具体,激发学生的兴趣,还可以让学生体会到拼图中蕴含着因式分解的知识,辅助学生更好地理解和掌握新知识。以形表意,促理解,反之以数辅形,解难点,将“数形结合”的思想融入教学之中。

设计意图:类比小学的分解因数,由“数”到“式”,实现知识的迁移,形成新的知识点和注意事项。作为定义性概念,可以通过“数形结合”的方式促进学生对概念的内化,同时结合相关的练习来巩固,让学生自然过渡到知识辨析观察因式分解和整式乘法的关系。

知识辨析:下列各式哪些是因式分解,为什么?

(1)m(a+b+c)=ma+mb+mc

(2)24x2y=3x·8xy

(3)-2x2+4x+1=-2x(x-2)+1

(5)8x2+12x=2x(4x+6)

(6)4x-2=2(2x-1)

学生在知识辨析的过程中,找条件、说依据,并归纳出因式分解概念的三个关键点:

(1)对象:多项式;

(3)注意事项:分解到不能分解为止。

设计意图:典型例题采用设陷阱的方式呈现,纠错的过程就是知识再掌握的过程,同时注意因式分解与整式乘法是互逆运算,辨析时多问为什么。结合师生评价,促进新知识点的内化,归纳出因式分解的三个关键点。

(二)由“数”到“式”,实现知识的自然生长和延伸

步骤3:多项式ma+mb+mc有哪几项?每项有没有相同的因式?

归纳:多项式中每一项都含有的相同因式叫作多项式的公因式,如上面的整式中每一项都含有一个相同因式m,m叫作这个多项式的公因式。

设计意图:引入类比思想,教学过程中多提问,调动学生的积极性,形成教学互动。

步骤4:ma+mb+mc中的每一项都含有因式m,能不能将m提取出来?

提示:学生在小学阶段学过乘法分配律的逆运算ma+mb+mc=m(a+b+c)。

(三)尝试运用,分解因式——提公因式法

引例:ma+mb+mc。

这个多项式的各项含有公因式m,那么可以把公因式m提取出来作为多项式的一个因式,将提取公因式m后的式子放在括号里,作为另一个因式,即ma+mb+mc=m(a+b+c)。这种分解因式的方法叫作提公因式法。

如何找多项式中的公因式呢?

引例:尝试找3x3y+6x2这个多项式的公因式,小组合作完成,并总结方法。找出多项式中各项公因式,需要从以下三个角度出发:系数,字母或式子,指数。

方法检验:

(1)3x+6y(2)ab+2a2c(3)4(m+n)2+2(m+n)x(4)-6x2y3z+8xy2

在方法检验的过程中,归纳出找多项式中各项公因式的方法:

(1)先找各项系数的最大公约数,作为公因式的一个因式。

(2)再找各项相同字母或因式的最低次幂,作为公因式的一个因式。

设计意图:学生小组合作学习,学会用数学语言进行表达和概括,进而形成数感、量感和符号意识。以问题为驱动,可以更好地帮助学生理解和掌握找公因式的方法。

例1 知识应用,尝试用提取公因式法分解因式。

(1)4m2-8mn(2)3ax2-6ax+3a

设计意图:在这一过程中培养学生准确、严谨的思维品质。利用因式分解与整式乘法的互逆关系,检验分解是否正确,最后观察是否漏项和分解是否彻底。

例2 能力提高,尝试用提取公因式法分解因式

(1)2x(b+c)-3y(b+c) (2)3n(x-2)+(2-x)

设计意图:关注项的符号,以及相反数等问题。通过课堂活动让学生学会用数学的眼光观察数量关系,抽象出研究对象的本质,形成数感、符号意识,以润物细无声的方式将数学学科素养落实到课堂教学活动中。

(四)综合运用,巩固拓展,分解因式

(1)-7a2+21a(2)x3y-x2y2+xy(3)6(x-y)3-3y(y-x)2

设计意图:让学生学会观察,回顾解决问题的过程,反思解决问题的方法,形成具有个人特色的批判思维和创新意识。

(五)知识梳理,承前启后

教师最后提问道:“本节内容学习已接近尾声,同学们可以用自己的语言复述一下学习的相关知识点和学习方法吗?以及涉及了哪些数学思想?后续会学习哪些知识点?”

设计意图:学生能用准确的语言表述自己在数学探究活动中发现的新知和收获,提升自信心。

(六)作业布置

基础夯实题:

(1)复习今天上课的内容,整理好笔记,画出本节课的思维导图。

(2)完成教材75页第2、3题,78页第1、2题。

(3)复习完全平方公式知识后预习第二课时内容,标记出不明白的地方。

能力提升题:

(1)-4x3+x

设计意图:在落实“双减”政策的同时,做好因材施教,紧扣教材,精选练习,让不同层次的学生在数学上得到不同的发展。

(七)板书设计

三、思考与建议

(一)立足课标,深挖教材,从整体看知识的前后关联,促进数学概念的自然生成

本节知识在沪科版教材中仅仅是以举例的形式呈现,需要教师深挖和细研教材,关注学段知识之间的联系,厘清知识脉络,精心设计,教学中才能更好地让学生理解和掌握知识。为了实现既定的目标,将教学内容一分为二:首先是因数、分解因数的复习,有了方向上的引导,以类比的学习方式逐步引出因式、公因式,从整体看知识的前后关联,新知自然生成,因式分解的概念正式登场,实现了知识点之间的无缝衔接,进而达到知识的自然迁移。学生只有理解了“因式”是什么,才能更好地理解“公因式”,所以授课时补充了教材中没有直接呈现的知识点,当然教学中以学生小学时学习的“因数”概念引入“因式”概念,自然水到渠成。其次是提公因式法的教授,这部分内容以“数”的分解为开始,由“数”向“式”进行知识迁移,将类比的数学思想不断融入教学中和学生的学习中,让学生学会总结和归纳如何找到多项式中的公因式,同时用几何语言进行概括与表达,这就是数学知识的自然生长以及数学素养的落实过程。

(二)聚焦探知过程,厘清知识脉络,关注知识本质,精心设计,突破知识难点

本节知识是在学生已经经历了“数”与“式”等相关知识和整式运算的学习后,自然过渡到因式分解的知识学习,它不仅仅是整式乘法的逆过程,更是影响着后续学习的成败,它是工具型的知识,起着承前启后的作用,对于课堂中的问题设计既要精心,又要有深度。关注知识本质的同时要突破难点,特别是在“双减”政策背景下要充分利用好课堂教学主阵地,发挥学生的主体作用,进行知识的拓展和延伸,以类比学习为核心,促进学生生长型思维形成,实现预定的教学目标。在“数”到“式”的过渡学习中,利用类比思想学习,可以更简洁、更方便地引导学生使用准确、规范的数学语言进行表达和概括,进而促进其对新知的理解与掌握。以经历知识形成过程为本,发展学生的核心素养,从而达到提高学生类比迁移的能力,同时将本节知识的学习方法迁移到后面的学习中,实现单元整体教学的目的,整个过程不断渗透和培养学生的核心素养。

(三)尊重个体差异的同时实施多元评价,激励学生与教师及时反思

学生的认知基础和认知水平等存在个体差异,所以合理评价对于教学效率的提升至关重要,教学相长不是一句空话,按照马斯洛的需要层次理论,学生渴望得到教师和同学的认可,迫切想成功,所以正面、积极、多元的评价可以更好地激励学生,促进学生参与到课堂教学的活动中,将学生主体的作用真正发挥出来,让数学核心素养落地生根,彰显数学育人价值。当然评价的方式应该是多样化、多角度、渐进式的,在遵循实事求是的基础上,激励措施“看得见”“摸得着”,也可以是肢体、动作和面部表情上的评价。“三分课堂、七分课下”,有“思”才有“悟”,教学更是如此,每节课无论课前怎么备课,课后反思时都会发现有这样或那样的遗憾。因为授课对象有太多的不确定因素,所以不能只关注表层的情况,而是需要更多的思考。比如本节课作为一节概念课,在使用类比学习的方法引入新知后没有留更多的时间给学生思考,很难实现知识的迁移;为了使教学环节完整,节约课堂教学时间,减少了提问学生的人数,都是以追问的形式完成的,没有让更多的学生表达或是阐述自己的发现和总结,这就是留“白”少了;教学时语速过快,同时对于课堂生成的问题没有利用好,过于依赖自己的课程预设;等等。教学的最终目的是“扶上马,送一程”,所以教学中需要更多关注学生以及反馈,及时做出相应的调整。

(四)赋予知识以“生命”,促进其生长与延续,渗透数学思想

教师会在引入新知前复习了学生小学时所学的分解因数,赋予相关知识以“生命”,结合刚刚学习过的整式乘法,融入类比学习的思想,在“数”的生长过程中自然引入“式”,即因式分解的概念,过渡自然,前后知识完美衔接,实现知识的再生长、再迁移和再理解。同时为方便学生对概念的理解,提升学生的学习兴趣,自然过渡到通过图形等面积拼接来了解因式分解的意义,数形结合的思想潜移默化地渗透在教学中。利用了恒等变形的思想来检验因式分解是否正确。提取的公因式可能是单项式,也可能是多项式,这里也涉及了整体思想和模型观念,在方法总结中应用了化归思想。当然在后续的学习中,通过不断完善关联的知识点,将其他数学思想慢慢融入教学中,传授给学生,使他们真正做到学以致用、融会贯通,培养其创新意识。

(五)将信息技术融入板书设计,构建知识框架,凸显知识的脉络

本节课是一节概念课,内容比较抽象,将信息技术融入板书设计中,利用信息技术中的动画演示、音视频播放、标记、放缩、拖拽等功能,将本节课的主要内容、重点内容、难点内容、学习方法、例题等呈现出来,板书时用不同颜色的笔做标记、打箭头、画圈等突出重点和难点,提醒学生记笔记,并掌握记笔记的方法和技巧。从声、光、电等角度吸引学生,这样既有课堂互动,又有留白时间给学生去理解和掌握知识,在合作交流中形成知识框架,不仅方便课后的复习,也为学生总结知识并绘制思维导图做铺垫。在例题讲解中,板演过程体现了知识生成过程中严谨的逻辑关系,知识脉络清晰,能够有效培养学生的推理能力和良好的数学学习习惯,也有助于学生理解知识的来龙去脉和新知的应用,着眼于学生的长远发展、终身发展。

简而言之,厘清知识脉络,赋予知识以“生命”,如在探知数学概念自然生长过程中,让学生愿意去学习和思考这些有温度的数学知识,达到知识的内化,培养创新意识,形成数学核心素养,实现数学教育的价值。