考虑不确定性物理边界的灵活爬坡备用分布鲁棒经济调度

2023-11-11王浩元别朝红

电力自动化设备 2023年10期

王浩元，别朝红

（西安交通大学电力系统及其弹性研究所电力设备电气绝缘国家重点实验室，陕西西安 710049）

0 引言

近年来，随着“双碳”目标的提出和新型电力系统建设的推进，风电、光伏等调节能力不足且出力具有较强不确定性的电源占比明显增加，极大地增加了电力系统的不确定性［1］。面对高比例新能源接入带来的挑战，充分挖掘灵活调节能力、提高系统灵活性是建设新型电力系统的重要支撑［2］。北美电力可靠性委员会（North American Electric Reliability Corporation，NERC）将灵活性定义为电力系统供需两侧响应系统不确定性变化的能力［3］。国际能源署（International Energy Agency，IEA）则进一步指出，一个灵活的电力系统既能消纳大量的间歇性电源发出的电能，又能经济和高效地处理过剩的电能，也能保证间歇性电源出力不足时系统电力供应的充裕度［4］。

为了充分挖掘灵活性潜力，需要设计能够更好地反映灵活性价值的市场机制。其中，最具代表性的是美国加州独立系统运营商（California Independent System Operator，CAISO）和美国中部独立系统运营商（Midcontinent Independent System Operator，MISO）引入的灵活爬坡服务（flexible ramping product，FRP）［5］。我国国家能源局颁布的《电力辅助服务管理办法》也将爬坡服务列为5 种主要的有功平衡服务之一［6］，其中山东现货市场已经计划引入FRP［7］，以缓解新能源大规模接入带来的灵活调节能力不足的问题。

作为一种新的辅助服务产品，FRP 需要提供服务的灵活资源事先预留足够的向上／向下功率调节容量（即本文所述的灵活爬坡备用），专门用于应对大规模新能源接入引起的系统净负荷短时大幅度变化，满足时段间的不确定性调节需求。FRP 可以包括向上、向下爬坡调节2 种类型，通常不进行单独报价，而是根据电能量与辅助服务市场的信息，补偿提供爬坡服务的机会成本［8］，但也可以根据需要采用单独投标报价等方式出清。在交易方式方面：MISO同时开放日前市场与实时市场；CAISO 则为了降低预测误差与市场不确定性，仅开放了日内市场，包括15 min和5 min这2个时间尺度［8］。

传统上，包括灵活爬坡在内的辅助服务通常是由电力系统运营者估算该服务的总需求量，然后采用确定性方法求解出清。例如：文献［9-10］根据预测误差水平、切负荷成本等估算不确定性爬坡需求。确定性方法较为简单、直观，但是没有考虑实时运行中的不确定性以及功率调节的可行性问题。文献［11］采用随机规划方法，利用可调机会约束实现了灵活爬坡容量的最优分配。文献［12］引入鲁棒优化方法，研究了不确定性下电能量与灵活爬坡备用的联合出清问题。然而，随机优化方法较依赖场景的生成质量，且不确定的概率分布难以准确获取；而鲁棒优化仅考虑最差的情况，在系统不确定性较高时可能过于保守，甚至无法求出可行解。

相比于随机规划方法、鲁棒优化方法，分布鲁棒优化［13］能够利用现有的矩信息［14］、历史场景［15］等统计信息，分析随机变量可能的概率分布，还能考虑随机变量间的相关性［16］，因此可以更好地兼顾安全性与经济性目标。文献［17］将分布鲁棒优化方法引入灵活爬坡备用调度，通过求解基于文献［18］的混合整数线性规划模型确定了爬坡容量分配结果。文献［19］采用基于矩信息的分布鲁棒机会约束，保证了FRP 的可传输性。然而，这些方法在构建概率分布模糊集时都未能考虑不确定性的物理边界，即由新能源的装机容量、上网政策等决定的新能源出力波动范围。在实际运行中，由于出力范围或者市场规则的限制，新能源的不确定性功率波动往往是不对称甚至单向的。例如：在新能源出力达到额定值后，实际上只能向下波动，而不可能进一步增大；同时，对于功率可以通过换流器调节的并网新能源场站而言，其不确定性功率波动往往并不允许超过事前预测值。因此，忽略物理边界的模型可能会过高地估计新能源的实际出力波动范围，也无法考虑新能源主动削减不确定性［20］。

为此，本文提出了考虑不确定性物理边界的灵活爬坡备用分布鲁棒经济调度模型，主要贡献包括：①提出了基于数据驱动分布鲁棒联合机会约束的电能量与灵活爬坡备用联合经济调度模型，能够根据数据信息自动确定爬坡备用需求，并用联合机会约束保证了备用在实际平衡调度中的可用性；②在构建模糊集时，引入不确定性物理边界，将传统鲁棒优化中的不确定集与分布鲁棒方法相结合，能够实现更加真实的不确定性建模，提高模型的准确度与泛用性；③利用条件风险价值（conditional value at risk，CVaR）理论，将优化模型转化为线性问题，在保证模型准确性的同时，实现了高效快速求解，并通过算例分析验证了所提方法的有效性。

1 基于数据驱动的不确定性模型

电力系统所需要平衡的不确定性既包括调度时段内的短时间功率波动不确定性，也涵盖了时段间耦合的爬坡功率不确定性［21］。前者主要依赖调频服务，考虑预留调节容量以满足实时平衡；后者则需要考虑不同时段间不确定性的耦合，在每一个时段为下一个时段的功率波动预留调节容量与爬坡能力，主要由灵活爬坡备用处理。本文所提模型将同时考虑上述2种不确定性的影响。

1.1 不确定性的定义

本文所述灵活爬坡备用的目的是用于平衡系统中的不确定性功率偏差，包括新能源、负荷等实际功率相较于预测值的偏差。为了便于讨论，此处仅给出新能源出力功率不确定性的数学表示，如式（1）所示。

式中：随机变量ξk，t为时段t新能源场站k的出力波动分别为时段t新能源场站k的实际出力、预测出力。

在电力系统中，新能源场站、负荷等的功率受到实际物理系统的约束，只会在有限的功率范围内波动。例如，对于新能源场站的出力波动ξk，t，其波动范围可根据新能源场站的出力上、下限确定，如式（2）和式（3）所示。

式中：u、u分别为ξk，t向上、向下波动的最大值，即分别为时段t新能源场站k出力的上、下限。

用向量ξ=[ξk，t]、uup=[u]、udn=[u]分别统一表示系统中各时段所有注入功率波动及其边界，则功率波动的概率分布函数的支撑集Ξ可以表示为：

支撑集Ξ相当于传统的鲁棒优化调度方法中的不确定集，因此也可以直接按照鲁棒优化不确定集的方法进行设置。

上述功率波动边界的建模对于调度优化具有重大的意义，因为实际运行中新能源发电功率受天气因素影响，常常接近额定出力上、下限，此时对应的不确定性功率波动范围也将受到物理边界的限制。同时，对于功率可以通过换流器调节的并网新能源场站而言，往往不考虑其向上的出力波动，此时对应的出力向上波动最大值u可设为0。

除了上述较为简单的出力上、下界外，该模型还可通过简单的改进转化为线性通用形式。此时，不确定集Ξ可以定义为：

式中：Q为线性常数矩阵；u为不确定性边界向量。在该形式下，所提模型可以考虑所有的线性不确定集，例如传统鲁棒优化中常采用的u为不确定性边界）形式的不确定预算。为了叙述方便，下文将仍采用式（4）中较为简单的出力上、下界模型。

1.2 基于数据驱动的不确定性模糊集

分布鲁棒优化方法不仅要考虑随机变量在特定概率分布下取值的不确定性，还要考虑在信息有限的条件下随机变量概率分布本身的不确定性，从而使得优化结果在可能的最差分布下也能满足要求。这种概率分布的不确定性通常用模糊集表示。本文采用基于Wasserstein距离的数据驱动方法构建不确定性模糊集。

对于概率分布未知的随机变量ξ，若给定Ns组已知样本{ξ^s}，可定义经验分布P^ 如下：

式中：(ξ)为经验分布下随机变量ξ的概率密度函数；S为样本集；|S|为样本集的大小，即样本数量；δξ，s(ξ)为定义在ξ^s处的狄拉克函数。式（6）表示随机变量ξ取值等于每个样本ξ^s的概率均为1/|S|。

经验分布P^ 到任一其他概率分布P的Wassterstein距离d(P，P^ )可定义为：

式中：ξ1分别为符合概率分布P的随机变量；‖ ·‖κ为κ阶范数，其中κ取决于模型所需要的阶数；Π为ξ1的联合概率分布。

在此基础上，可以定义模糊集Λ为到经验分布的Wasserstein 距离d(P，) ≤ρ的概率分布P的集合，即相当于一个以为圆心、ρ为半径的1-Wasserstein球，如式（8）所示。

模糊集Λ可以用于度量系统中随机变量概率分布的不确定性。Wasserstein 球的半径ρ可基于经验公式，根据样本集S的大小与模糊集置信水平确定［22-23］。通常，样本集S越小，所需的置信水平越高，半径ρ应设置得越大。随着样本数据的积累，样本集S逐渐增大，模糊集Λ也将逐渐收缩，从而反映数据信息的价值。

2 基于分布鲁棒机会约束的灵活爬坡备用调度模型

本章基于第1 章描述的不确定性模型，考虑不确定性物理边界，提出了基于分布鲁棒机会约束的灵活爬坡备用与电能量联合调度模型，并进一步将其转化为线性规划模型，以实现高效求解。为了叙述方便，模型描述中仍只考虑新能源出力的不确定性，忽略负荷的不确定性，同时将所有可调度灵活资源都用发电机组表示，但是所提模型及方法也可以应用于储能等灵活资源，相关结果将在算例分析中进行展示。

此外，由于本文的研究重点是根据不确定性计算灵活备用需求，模型叙述中忽略了机组组合约束及相关启停变量。最终的优化模型为线性凸优化问题，如果需要求解机组组合，则只需引入相关的整数变量及约束［24］，即可通过求解混合整数线性规划问题得到最优机组组合。

2.1 基于分布鲁棒机会约束的联合调度模型

对于确定性电能量与灵活爬坡备用联合优化问题，其目标函数为：

式中：T为调度时段集合；I 为发电机组集合；Ci，t(gi，t)为时段t机组i的发电成本函数，对于传统火电机组而言，其通常为二次函数，可用分段线性函数近似，gi，t为时段t机组i的出力；C(R)、C(R)

为灵活爬坡备用成本，取决于补偿机制或报价，其亦可用分段线性函数表示，R、R分别为时段t机组i的上调、下调备用。在现有电力市场中，FRP通常无须单独报价，而是直接将其计算为机组的机会成本，此时可直接省略C(R)、C(R)项。

针对新能源与负荷功率波动带来的不确定性，系统调度需要预留足够的功率与爬坡备用，同时也需要预留足够的传输容量，以确保系统发用电两侧的实时功率平衡。调度过程中需要满足的约束条件如下。

1）灵活爬坡备用与机组出力约束。

灵活爬坡备用与传统的调频备用类似，需要满足机组的功率限制与爬坡约束，即：

式中：K、N分别为新能源场站、系统节点集合；dn，t为时段t节点n的电力负荷。

3）线路传输容量约束。

式中：fl，t为时段t线路l流过的功率；sl，n为节点n到线路l的功率转移因子；In、Kn分别为节点n处的发电机组、新能源场站集合；为线路l的最大传输功率；、分别为为了确保灵活备用可传输而预留的正向、反向线路传输容量备用。

4）基于分布鲁棒机会约束的再调度安全约束。

系统的再调度安全约束包括调度时段内备用充裕度、线路传输容量备用充裕度以及时段间爬坡备用充裕度约束，即相当于在不确定性功率波动和灵活功率响应之下的机组出力、爬坡、线路传输容量约束。这些再调度安全约束被当作分布鲁棒联合机会约束纳入第一阶段的优化中，如式（18）所示。

式中：ϵ 为根据可靠性要求设定的风险容忍系数；Δgi，t为时段t机组i因提供灵活响应而产生的出力波动，其满足式（19）所示再调度平衡约束；Δ fl，t为时段t线路l的传输功率波动；sl，i、sl，k分别为机组i、新能源场站k相对线路l的功率转移因子。

作为分布鲁棒联合机会约束，式（18）要求即使在可能的最差概率分布下，所有再调度安全约束都不越限的概率也不低于1-ϵ，即最大有ϵ的概率存在约束越限。其中，机组的爬坡约束不仅需要考虑确定性爬坡需求gi，t+1-gi，t，还需要同时考虑下一时段的功率预测偏差带来的不确定性爬坡需求Δgi，t+1，从而确保在时段间不确定性耦合之下系统仍能满足功率平衡的调节需求。

约束式（18）—（20）没有确定性表达式，因此无法直接求解。此前的研究［19-20］大多采用Bonferroni近似方法，将联合机会约束近似为一系列相互独立的机会约束，即要求任一约束不越限的概率分别不低于设定值。这种近似模型计算较为简便，但是没有考虑到不同安全约束之间的关联。本文采用更加准确的联合机会约束模型，避免了Bonferroni近似带来的误差，能够得到更加高效、准确的优化结果。下文将直接针对分布鲁棒联合机会约束给出确定性表达式，并进而实现高效求解。

2.2 基于仿射决策规则的再调度模型

本文采用仿射决策规则描述灵活资源出力的再调度与不确定性之间的关系，即假设机组按照一定的响应系数调节出力，以平衡新能源功率波动，如式（21）所示。

式中： βi，k，t为时段t 机组i 对新能源场站k 出力不确定性的响应系数。式（22）规定了所有机组对新能源场站k 的响应必须能完全平抑其功率波动。显然，式（21）和式（22）所定义的仿射控制策略刚好能够满足再调度功率平衡约束式（19）。

在此基础上，根据式（20），线路功率波动也可以表示为新能源场站不确定性的仿射函数，如式（23）所示。

式中：αl，k，t为考虑再调度后，时段t线路l随新能源场站k出力不确定性变化的转移系数。

在上述模型中，根据第1 章给出的不确定性定义，随机变量ξ 指的是系统中所有新能源场站或负荷的出力预测偏差。在此定义下，式（21）所规定的功率响应Δgi，t是不确定功率偏差的线性函数。如果令同一机组对于所有不确定变量的仿射响应系数相等，即相当于对系统中总的功率偏差进行响应，则仿射决策规则等价于传统的自动发电控制。然而，由于本文所采用的不确定性模型允许为随机变量ξ 设定上下限，通过简单的数学变换即可将式（21）中的Δgi，t转换为不确定功率波动的分段线性函数，以实现更加复杂的再调度控制策略。例如：新能源场站k的出力波动ξk，t∈[-u，u]可以分解为ξ∈[0，u]、∈[-u，0]这2 个相互独立的随机变量，如果进而定义不同的仿射响应函数 β、 β，则能够模拟对正、负新能源功率波动的不同响应。因此，在不确定模型中引入物理边界可以显著提升模型的泛用性与准确性。

2.3 基于CVaR的模型重构与求解

在采用2.2节所述的仿射模型后，将式（21）和式（23）代入式（18），可以将再调度安全约束转化为如下的线性约束：

为了方便起见，将式（25）简记为：

联合机会约束式（26）可以等价为如下形式：

式（27）可以视作一个单独的分布鲁棒机会约束，根据文献［25］，其可以用CVaR 实现保守近似，如式（28）所示。

式中：CP，CVaR，ϵ{·}表示在概率分布P下，对应置信水平ϵ的CVaR值。

式（28）作为式（26）和式（27）的保守近似，满足式（28）的解必然也满足式（26）和式（27），反之，则未必成立。这是因为相比于机会约束，CVaR形式的近似模型不仅考虑了再调度安全约束的越限概率，还考虑了可能的越限幅度。机会约束下一部分可行解中可能存在发生概率不高但越限幅度较大的越限事件，而该部分可行解在CVaR 约束下则已被排除。虽然CVaR 近似模型相比于原有的分布鲁棒机会约束较为保守，但是模型的保守性可以通过风险容忍系数ϵ的取值进行调整，且CVaR 的特性可以排除部分潜在危害较大的“小概率-高损失”事件，这与电力系统的需求是一致的。

根据CVaR 的定义，式（28）中不等式左侧可以进一步转化为：

式中：τ为辅助变量；EP[·]为概率分布P下的数学期望函数；[· ]+=max { ·，0}为取正函数；|Ω|为线性化再调度安全约束的数量。

采用与文献［20］中类似的推导过程，根据文献［26］的结论及模糊集Λ的定义，可将式（29）转化为一个凸优化问题，如式（30）所示。

在式（30）的基础上，分布鲁棒联合机会约束式（18）可以转化为一系列线性约束：

由此，便可得到基于数据驱动分布鲁棒联合机会约束的灵活爬坡备用调度问题的CVaR 近似模型，如式（37）所示。

上述模型为线性规划问题，可用商业求解器实现高效求解。

值得一提的是，在式（31）—（36）中，若令风险容忍度ϵ→0（对应于λ，σs→0，τ≤0），则可将分布鲁棒联合机会约束转化为鲁棒约束，即随机变量ξ∈Ξ的任意可能取值均需要满足再调度安全约束。这一性质将在算例分析中用于本文所提方法与鲁棒优化方法的保守性比较。

2.4 市场价格机制探讨

上文主要从调度决策方法的角度，探讨了不确定性下的灵活爬坡备用调度优化方法。在实际系统中，由于FRP 本质上是系统对市场主体因提供灵活调节能力而不能发电或提供其他辅助服务的补偿，其关键在于价格激励引导［27］。因此，需要根据系统的实际情况，设计合理的市场价格机制。

针对本文所提灵活爬坡备用调度方法，对应的市场交易及出清机制可以有以下几种。

1）固定价格激励机制。对于电力市场改革尚未完全展开、主要由调度制定发用电计划的情况，可以暂时采用固定价格激励机制，通过制定合理的价格激励标准和资格审查机制，对符合要求的灵活资源给予固定价格激励，鼓励其提供FRP。

2）间接报价机制。在已经具备电力现货市场的区域，可以仿照目前CAISO 等系统运营商所采用的间接报价机制，通过相关市场主体在电能量和其他辅助服务市场中的报价信息，计算其提供灵活爬坡备用的机会成本，并与电能量和其他辅助服务实现联合出清。

3）直接报价机制。在间接报价机制的基础上，根据系统的实际情况及需求，也可以采用直接报价机制，令符合要求的市场主体直接参与灵活爬坡备用的投标，与电能量和其他辅助服务市场共同进行边际价格出清，并采用设定价格上限、加强监管等方式限制可能的市场力的影响。

对于后2 种通过市场方式确定的价格机制，其市场出清的灵活爬坡备用价格为相关约束方程所对应的影子价格；对于传统的确定性出清方法，其价格为平衡需求约束的对偶乘子；而对于本文所提方法，通过分析可以得到，灵活爬坡备用的影子价格应当为线性化约束式（32）中备用充裕度相关约束的对偶乘子。具体的价格分析、不确定性成本分摊等内容将在后续研究中展开。

3 算例分析

3.1 系统介绍及参数设置

采用改进的IEEE 9 节点系统为算例进行测试来验证所提方法的有效性，所用算例系统结构如附录A 图A1 所示。系统包括3 台火电机组（G1— G3），容量分别为180、230、200 MW；2 座风电场（W1、W2）和1 座光伏电站（PV1），装机容量分别为120、160、180 MW；1 个电池储能（battery energy storage，BES）系统，其最大充放电功率为30 MW，最大荷电量为100 MW·h。系统的总负荷最大值为700 MW。线路7-8 的传输功率上限被设置为较小的120 MW，以测试系统阻塞对所提方法的影响。

为了简单起见，假设算例中采用的BES 模型的充放电效率为100 %，并将充放电带来的设备老化等影响近似为线性成本函数。在实际优化调度中，还需考虑提供备用对储能荷电状态（state of charge，SOC）、后续时段可用性的影响，这需要更加复杂的数学模型，例如在式（18）的再调度安全约束中添加考虑多时段不确定性的储能SOC约束。由于本文主要探讨不确定性与灵活爬坡备用的关系，储能的加入只是为了验证所提方法对于发电机组之外的灵活性资源的可用性，故忽略了提供备用对于储能SOC的影响，相关内容将在后续研究中进行深入探讨。

现有市场中的FRP交易时间尺度既包括实时市场，也可能包括日前市场，其中日前市场的预测误差与不确定性更高。为了充分验证所提方法应对不确定性的能力，测试中考虑日前市场，将系统调度周期设置为24 h，以1 h 为时段间隔分为24 个时段。分布鲁棒模型模糊集构建采用∞-范数，并根据文献［26］设置对应的Wasserstein 球半径ρ=1。数据驱动方法的样本数量为20 个，使用正态分布随机采样生成24 h 的新能源出力波动场景，波动方差为预测出力的5 %，通过设置时段间相关系数为0.9 来体现时段间不确定性波动的相关性。在构建不确定集Ξ时，上下波动的最大边界均设置为额定功率的30 %，且同时考虑新能源实际出力的上、下限。训练采用的新能源出力随机波动场景及对应的不确定性上、下限见附录A图A2 — A4。

3.2 电能量与备用联合调度结果

采用本文所提方法求解24 h的电能量与备用联合调度问题，得到的电能量与备用调度优化结果分别如图1 — 3所示。

图1 电能量调度优化结果Fig.1 Dispatch optimization results of electric power

图3 向下爬坡备用调度优化结果Fig.3 Dispatch optimization results of down-ramping reserve

由图1 — 3 可看出，由于新能源出力（尤其是光伏出力）的影响，系统在午前具有较高的向下爬坡需求，在下午到晚上则有较高的向上爬坡需求。同时，BES 在中午光伏出力较高时段充电，在晚高峰时段发电，实现了削峰填谷，但是其装机容量仅占总功率平衡的极小部分。因此，BES 在电能量调度结果中占比很小，在爬坡备用出清结果中占比却明显较高，体现了其灵活性价值。

将爬坡备用优化结果与图A2 — A4 所示新能源功率波动场景进行对比也可以看出，模型中考虑新能源不确定性物理边界的重要性。在凌晨时段，新能源出力接近最小值，此时不确定性的向下波动幅度受到新能源出力下限的限制，因此预留的向上爬坡备用总量也是全天最低。而在中午时段，由于光伏出力接近额定功率，功率向上波动的可能幅度较小，因此预留的向下爬坡备用也较少。

为了体现调度功率与爬坡备用的关系，图4 展示了G2的出力与爬坡备用结果。图中，在G2出力需要下调（如时段11、12）时，系统将提前分配较高的向下爬坡备用容量，以满足下一时段的确定性与不确定性调峰需求。同理，在需要上调功率（如时段19、20）时，需要提前分配较高的向上爬坡容量。

图4 G2的出力与爬坡备用结果Fig.4 Power output and ramping reserve results of G2

为了验证本文所提分布鲁棒方法对第二阶段再调度安全约束建模的必要性，将本文方法的优化结果与传统的确定性方法进行对比，并采用蒙特卡罗方法测试样本外的平均失负荷量、弃风弃光量等指标进行衡量，相关结果如表1 所示。其中，为了避免不同的爬坡备用需求估算方法对优化结果的影响，人为将确定性方法下的备用需求量设定为分布鲁棒方法计算得到的总需求量，以便对比可靠性指标。

表1 本文方法与确定性方法的结果对比Table 1 Comparison of results between proposed method and deterministic method

表1 的结果表明，在没有考虑再调度阶段的线路容量等安全约束的条件下，本文方法获取等量的灵活爬坡约束的总调度成本略高于传统确定性方法。然而，由于算例系统中存在明显的阻塞，确定性方法的优化调度结果在再调度阶段的模拟中往往不可行，导致其样本外的失负荷、弃风弃光等指标均显著劣于本文方法。

3.3 不同优化方法的对比

本节进一步将所提分布鲁棒方法与鲁棒优化方法、随机优化方法进行比较，利用3 种方法分别对第二阶段再调度安全约束进行建模。其中，鲁棒优化方法采用2.3 节提到的建模方法，使得不确定集Ξ中所有可能的随机波动都能保证再调度安全约束不越限；随机优化方法则仅保证再调度安全约束对所有训练场景都不越限。3 种方法的调度结果如表2所示，其中利用蒙特卡罗模拟方法对5 000个样本外随机场景进行抽样统计得到备用与线路越限概率。

由表2 可知，相较于随机优化方法，本文所提分布鲁棒机会约束方法的总爬坡需求、总调度成本仅分别提高了20 % 左右和2 % 左右，同时大幅降低了安全约束的越限概率。相较而言，鲁棒优化方法可以进一步将越限概率完全降低至0，但同时使总爬坡需求增加了80 % 左右，总调度成本增加了10 %。对比结果表明，本文所提方法可以平衡安全性与经济性的需求，在提高优化结果鲁棒性的同时，避免因为过度保守而增加过多的额外成本。

为了反映随机波动概率分布与训练输入分布不同时模型的有效性，同时进一步比较3 种方法的优化结果，分别采用正态分布和自由度ν=3 的学生-t分布，抽样生成期望和方差相同的2 组随机波动场景数据。考虑阻塞线路7-8 在3 种优化方法下的传输功率，2 组抽样场景下该线路的功率波动分别如图5和图6所示。图中，依据抽样模拟结果给出了置信度分别为60 %、90 %、99 %、99.9 % 的置信区间。

图5 3种方法下线路7-8功率波动的正态分布抽样结果Fig.5 Normal distribution sampling results of power fluctuation of Line 7-8 under three methods

图6 3种方法下线路7-8功率波动的t分布抽样结果Fig.6 t-distribution sampling results of power fluctuation of Line 7-8 under three methods

由于t 分布相比于正态分布具有更显著的长尾特性，其抽样结果也显得更加分散，尤其是在小概率区间。由图5和图6可看出，随机优化调度结果几乎没有预留安全裕度，在t分布下的抽样结果分散程度最高，不仅越限概率更高，越限功率值也更大。鲁棒优化方法则在2 种分布下维持了充足的安全裕度，传输功率的随机波动幅度也较小。相较而言，本文所提方法不仅在2 种不同分布的抽样场景下表现出了较高的鲁棒性，还使得随机功率波动的幅度也最低。这是因为本文所提模型使用了CVaR 方法的同时，考虑了安全越限概率与越限幅度，因此能在优化过程中更好地抑制随机波动的影响。

3.4 灵敏度分析

为了验证本文所提方法的有效性，本节分析了调度优化结果对训练样本数量|S|的灵敏度。分别选取数量为3、5、10、20、50、100、200、500 个的训练样本并求解模型，可以得到不同样本数量下的调度结果，其中向上爬坡备用总需求量随训练样本数量的变化曲线如图7 所示。进而针对每次的优化结果，抽样模拟得到5 000 个样本外的随机场景，通过蒙特卡罗方法统计系统中的安全约束越界概率，得到功率越界概率随样本数量的变化曲线，如图8 所示。不同训练样本规模下的模型求解时间如图9所示。