深度学习视域下实例式教学实施路径——以“最小二乘估计”为例

何俊蓉 金晶

黄冈师范学院数学与统计学院 （湖北省黄冈市 438000）

1 引言

《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》（以下简称“新课标”）对“统计”章节的要求是：通过数据收集、整理和分析，感悟数据统计在实际生活中的进行科学决策的必要性，体会统计思维，积累数据分析的经验，提升数据分析素养[1]。高中数学课堂核心素养的落实需要深度学习，深度学习理论强调学生在已有认知水平和活动经验的基础上建构新知以获得高质量学习结果。实例式教学又称抛锚式教学和基于问题的教学，提倡在实际的情境中教师引导学生发现、探究并解决问题，学生在此过程中结合自身已有知识技能进行新知建构，提升解决问题的能力。从这个意义上来讲，实例式教学为深度学习提供了合适的切入点，深度学习理论与实例式教学不谋而合。乔连全等人比较了中美基于问题的抛锚式教学案例，详细阐述了基于问题的抛锚式教学设计、内容、特征以及实用情况[2]；李少云等人借助抛锚式教学模式研究了导数概念设计[3]；虞秀云等人聚焦真实问题，对抛锚式教学下的课例设计进行解析[4]。依托特定的数学学科知识，提出具体的实例式教学实施步骤的研究相对较少。

“最小二乘估计”是人教A 版高中数学选择性必修第三册“统计”章节的内容，其教学往往由于过程枯燥、知识抽象难以与现实生活联系，使得教学效果不尽如人意。本文以“最小二乘估计”的教学为例，采用问题驱动的方式，构建实例式教学的实施过程，引导学生感受数学模型思想，培养数学建模和数据分析素养，促进学生深度学习。

2 教学模式和理论概述

2.1 深度学习理论

黎加厚教授指出，深度学习（Deep Learning）是在理解的基础上，学生批判地接受新知，并将其纳入原有认知结构与自身已有经验建立联系，将所学迁移到真实情境中以解决问题[5]。深度学习提倡主动的、批判性的有意义学习，要求学习者在真实的情境中注重对信息的深度加工，批判性的反思学习，深度掌握数学核心概念和原理，主动建构知识网络并应用到情境中解决数学问题，最终促成学习目标的完成和核心素养的提升[6]。

2.2 实例式教学

实例式教学模式倡导以学生为主体，教师通过创设实际教学情境以激发学生认知冲突[7]。该模式一般由创设情境、确定问题、自主学习、合作学习、效果评价五个环节组成，强调围绕特定的教学目标，根据教学任务创设真实的问题情境，通过课堂中师与生、生与生的交互式学习，让学生在尽可能真实、完整的情境中产生学习的需要与兴趣，亲身体验和感受、主动识别、探索并解决问题。实例式教学提倡学生在数学活动中自主观察和探究，对学生创新意识、实践能力和思维能力的培养以及实现知识的概括化迁移、“四能”的发展具有重要作用。

图1 实例式教学架构

3 “最小二乘估计”实例式教学的实施探讨

3.1 创设情境,提出问题

问题来源于情境，在数学情境中提出数学问题的过程是学生“数学化”学习过程的基础环节，而数学化又是数学建模活动的焦点。面临新的情境，深度学习提倡将已有经验进行加工、重整，使其在新的问题情境中圆满解决问题，实例式教学尤其重视数学情境的真实性，必须有利于学生对所学内容的意义建构。在此基础上，从学生的兴趣点着手，向学生展示视频《泰城古国槐，记得住乡愁》：历史的积累和沉淀造就了泰安市车道上一棵棵挺拔的国槐树，如今已成为城市一道靓丽的风景线。正所谓“十年树木，百年树人”，通过视频对学生进行文化上的熏陶。贾某想知道家附近道路上一棵古槐树有多高，通过测量得知树的胸径（树的主干在地面以上1.3m 处的直径）约为60cm，你能想办法帮他估计出树高吗？

实例式教学又称基于问题的教学，顾名思义，“问题”是其核心所在。好的提问能增加师生间的有效交流，获得信息增量，促进问题解决。观看完视频之后，教师提问学生：通过树的胸径为60cm，能预测出树高吗？

3.2 确定问题，建立模型

实例式教学采取“支架式”策略和“淡出”策略[8]。支架即搭建的脚手架，在教师的引导下，学生回顾“建立两个变量之间的关系需要搜集相关数据”，通过测量校园里国槐树的胸径和树高搜集到部分数据，得到样本数据和散点图。

表1 树的胸径与树高对应关系

图2 散点图

表1 中，胸径为18.1cm、20.1cm 时，树高分别为18.8m、19.2m；胸径为29.6cm、32.4cm 时，对应树高为22.4m、22.6m；可见树的胸径和树高之间并不是函数关系，因此不能用函数模型刻画。观察图2，发现散点大致分布在从左下角到右上角的直线附近，表名胸径和树高呈线性相关。联想到用一次函数来刻画这种关系，设即胸径和树高的关系模型，模型中参数a、b 刻画了变量y 与变量x 的线性关系。根据成对样本数据估计这两个参数，换言之，能否找到一条直线，使得所有的散点尽可能地接近这条直线呢？如果可以，又怎样刻画散点与直线的接近程度呢？

学生可能的想法：第一，测量法，即先找出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时的斜率和截距，可以得到一条直线；第二，画图法，在图中画出一条直线，使得分布在该直线两侧的散点的数量基本相等，即为所求直线；第三，平均值法，在图中多取几对点，确定出几条直线，分别计算出几条直线的斜率和截距，然后将将它们斜率和截距的平均值作为所求直线的斜率和截距。

图3 学生成果展示

问题推动教学，教师通过问题串带领学生深入分析，从尝试表示样本数据点与直线的接近程度，到成功建立起数学模型，学生经历将现实问题抽象成数学问题的“数学化”过程，深深体会数学来源于生活也应用于生活，从而强化学习的内部驱动力。

3.3 自主学习，解析模型

学生经历了由特殊到一般、最小二乘法思想，明白模型建立的核心是最小二乘法，过程中也渗透了二次函数最小值的思想。借助数学概念和原理分析数学问题，通过教师提供的相关线索，学生亲身经历知识的生成过程，根据提示完成任务。而学生通过上网查阅相关书籍、搜集资料等，是一个自主探索的过程。当遇到困惑（用什么方法求的最小值）时，教师根据本节课的核心给予适当提示——转化成二次函数求最值问题，学生攻克难题的同时，掌握了用最小二乘法求、的方法。

3.4 合作学习，解决问题

依据模型找到刻画胸径与树高关系的函数关系式，再回归到具体问题，通过合作学习，在学习共同体中各成员的讨论交流、补充修正之后，对模型进一步完善，最终解决问题。

图4 胸径、树高经验回归直线

3.5 反思评价，提升素养

实例式教学解决的是学生面临的真实问题，学生学习的过程就是问题解决的过程，即该过程能够直接反映出学生的学习效果，学生的接受和内化程度也就决定着教学实施效果。基于此，教师带领学生反思：根据建立模型得到的预测结果是准确值吗？倘若我们在教师再搜集一组数据进行预测，得到的预测值还会一样吗？如果不一样，造成误差的原因有哪些？你能总结出用最小二乘估计的一般步骤吗？

学生回顾数学模型建立过程：发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型；数学模型搭建了数学世界与实际问题的桥梁。学生反思学习过程，教师反思教学过程，正是效果评价环节的意义所在。

实例式教学为学生进行深度学习搭建了平台，真实的情境降低了学生将现实问题抽象成数学问题的思维难度。从发现问题到提出问题，锻炼了学生的数学抽象思维；建立模型和自主学习环节也使学生数学建模和数据分析素养得到提升。教学的五个环节由浅入深、环环相扣，让学生体会统计思想、积累数学活动经验，实现深度学习。

4 实例式教学启示

4.1 情境创设需遵循量力性原则

维果茨基的“最近发展区”理论指出教学要走在发展的前面。实例式教学的特色在于通过创设逼近现实的问题情境，激发学生自主探索、与同伴交互式学习，解决真实问题。因此，开展教学的前提就是创设一个良好的数学情境，情境的创设就要遵循“最近发展区”理论，使数学活动涉及到的学科知识在学生的认知范围内，才能实现知识的建构，促成有效学习。此外，学生自主探究的问题也要适度、适量，注意问题梯度的设置，层层递进、循序渐进地启发学生向目标靠近。

4.2 主题教学促进核心素养的提升

以“最小二乘估计”为例的实例式教学主要以两条线索展开：一条是用最小二乘法预测数值，另一条是搜集、整理、分析数据的过程。在开放性的问题背景下，教师以“辅助者”的角色引导学生参与问题生成与解决的全过程，深入学习，不仅可以提升学生的数据分析素养，也锻炼了学生的数学思维。学生从多元化视角思考问题，亲身体验用最小二乘法原理构建模型，有利于数学建模能力的培养和素养的提升，达到巩固“四基”、提升“四能”的教学目标。