高中数学平面向量解题教学过程中的一点思考

哈尔滨师范大学教师教育学院 张椿悦

普通高中数学课程标准指出,学科核心素养是育人的集中体现,解题教学是提高学生数学核心素养的重要途径之一.教师要注重对教材内容的解读与分析,夯实学生基础知识,提高学生数学抽象能力;同时,教师不仅要向学生传授教材基本知识,还要引导学生拓展解题技巧,培养数据分析、逻辑推理能力.在解题教学过程中,设置适合学生认知发展水平的问题,关注学生思维的发展,重视一题多解,引导学生总结一般的解题方法并思考可能的特殊方法,有意识地向学生渗透常用的数学思想方法,以此在教师维度关注学生思维发展,提升学生解题能力.

1 夯实基础知识,构建联想基础

基础知识的运用是解题过程中最为关键的一个环节,无论对何种水平的学生来说都是至关重要的.没有牢固的基础知识作支撑,学生无法在题目中抽象出数学概念、建立适当的数学模型,也会由于无法调动旧知而在解题过程中绕圈子.有些优等学生认为做基础题是浪费时间,但作为教师要认识到并不是只有难题才是“好题”.有时也难免会有一些优秀学生因为过于关注难题的训练而忽视了基础的重要性,在面对一些常规问题时绕不出来“难”的怪圈,把简单问题复杂化.

图1

=8.

本题考查平面向量数量积运算(非坐标)、数量积定义、三角形的垂心及平面向量共线的知识.应用平面向量共线定理,结合平面向量运算的知识可以求得三角形边AB,AC的关系.解决本题的先决条件是学生要对平面向量共线定理及其推论非常熟悉,识别出共线的“爪形”结构,从而通过已知条件推出三角形的边AB,AC的关系,进而解题.本题也反映出扎实掌握基础知识、理解本质、熟悉知识的结构与形式将更有助于提高学生数学抽象、直观想象等能力,所以教师在教学过程中要充当好引导者的角色,重视学生对基础知识的内化,习题讲解时注重设置问题情境,启发学生思考.

2 “通法”雪中送炭,“巧解”锦上添花

所谓通法,通常指解决某类问题的常规方法,这类方法以基础知识为依据,往往容易理解,对大多数学生来说也容易掌握.“巧解”的关键在于“巧”,对于某类习题也可以打破常规,化繁为简,避开某些通法所涉及到的冗长计算,这种方法灵活性强,有助于训练学生的发散思维.教学过程中教师应该重视一题多解,在重基础、讲通法的同时,也要兼顾到“巧解”的引导和介绍.注意“巧解”并非是万能的,要引导学生在重视通法的基础上兼顾巧解,否则可能会导致弄“巧”成拙的局面,即通法一触即发,而固化思维却一直在寻求所谓的“巧解”.

图2

本题解法灵活多样,教学过程中要强调一题多解,引导学生从多角度分析问题,让他们在同一数学情境中强化对基础知识的灵活运用.

例4已知a,b是单位向量,a·b=0,若c满足|c-a-b|=1,求|c|的取值范围.

分析：本题设有单位向量且二者垂直,可联想到坐标法,设点C的坐标,由|c-a-b|=1求出|c|的范围.由于向量模块集几何与代数于一体,很多问题都可以通过几何与代数相结合的形式来破解,如本题也可通过画出c,a+b构成的向量三角形求解.

解法一：由题意知单位向量a,b垂直,不妨设a=(0,1),b=(1,0).

该方程表示点C在以(1,1)为圆心,1为半径的圆上运动.

图3

解法三：从代数角度分析.

记c-a-b=d,则c=a+b+d.

3 提高数学素养,实现知识互联

数学家泰勒曾说过:“有丰富知识和经验的人,会比只有一种知识和经验的人更能产生新的想法和独到的见解.”良好的联想能力能够促进学生对知识、方法、经验的迁移.在教学中,运用已有认知结构中的知识联想解题策略,引导学生通过在已有的探究活动过程中积累的经验联想解题方法和数学思想,感受数学思想的运用与迁移.在整个教学环节中强化学生对数学思想方法的积累,加强他们在学习知识的过程中对活动经验的体验和感受,培养联想意识.