解无定法,但有法可寻——抛物线与直线方程问题的解法探究与变式演练

江苏省南通市海安立发中学 蔡宏梅

求抛物线与直线的方程是解析几何中最基本、最重要的问题之一,是用代数方法研究几何问题的基础.这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融于一体,成为历年数学高考的高频考点与重点题型之一[1].

由于动点运动规律所给出的已知条件不同,因此求解方法也不相同,虽然解题的方法不固定,但是却有法可寻.下面结合高考真题来具体探究这类问题的思路与解法.

1 真题展示

例1(2022年高考全国数学甲卷第20题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.

(1)求C的方程;

(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程.

2 解法探究

2.1 第(1)问的解法

所以抛物线C的方程为y2=4x.

点评与总结：定义法是求抛物线方程最常用的一种方法.

2.2 第(2)问的解法

因为Δ>0,且y1y2=-4,所以由斜率公式可得

同理可得y4=2y1.

点评与总结：解决第(2)问的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简,最后利用韦达定理即可得出坐标间的关系.

3 变式演练

(1)求该抛物线的方程;

(Ⅰ)第(1)问的解法

(Ⅱ)第(2)问的解法

由第(1)问可先求A,B两点的坐标,用λ表示出点C,代入求值即可.

整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.

点评与总结：解决此类问题通常采用“设而不求”的方法,首先设出直线与抛物线两交点的坐标,根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长,再利用已知条件求解.

思路分析：先将|MN|转化为焦半径|AF|,|BF|的关系式,再变形,应用基本不等式即可求最大值.

解析：如图1,过点A,B分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为A1,B1.由题意,可知

图1

在△AFB中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF|·|BF|·cos 120°=|AF|2+|BF|2+|AF||BF|,所以

当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.

综上所述,求解抛物线与直线的有关运动规律类问题,虽然没有可套的通用模式,但是有灵活的方法可寻.大多要经过审题、寻找并确定求解途径、逐步转化推演、综合陈述、完整作答或给出恰当的结论等必不可少的环节[2].在具体的解题过程中,在积极寻找恰当方法的同时,还要注意挖掘一些隐含条件,注明x,y的取值范围;要针对轨迹的不同情况,分别讨论,确保解题的完整性.